紙上得來終覺淺,絕知此事要躬行
——關(guān)于兩道浙江高考數(shù)學(xué)壓軸題的教學(xué)思考

福建省福州華僑中學(xué)(350004) 鄭笑容

2021年高考早已塵埃落定,新課標(biāo)下的全國統(tǒng)一試題的高考終于再次嶄新面世,不言而喻高考的導(dǎo)向作用是人們最為關(guān)注的熱點(diǎn)問題,為了不斷提高數(shù)學(xué)課堂教育教學(xué)質(zhì)量,不斷提升教師自身和學(xué)生的核心素養(yǎng),不斷提高分析和解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵能力,對高考試題深度思考、深入剖析、對于教師不斷更新理念,提升核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力都是十分必要的.

案例一

(2021年浙江高考壓軸題)

設(shè)a,b是實(shí)數(shù),且a＞1,函數(shù)f(x)=ax?bx+e2(x∈R)

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若對于任意b＞2e2,函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求a的取值范圍;

(3)當(dāng)a=e時(shí),證明:對于任意b＞a4,函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2滿足(注:e=2.71828···是自然對數(shù)的底數(shù)).

1.1 參考答案

(1)略

1.2 分析思考

2021年浙江省高考數(shù)學(xué)壓軸題獨(dú)領(lǐng)風(fēng)騷,創(chuàng)新與難度都堪稱一絕,命題組的解法也是別具一格,唯我獨(dú)尊,首先題目所給函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的復(fù)合函數(shù),平中見奇,守正出新,第一問求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,中規(guī)中矩,是考生應(yīng)知應(yīng)會(huì)的基礎(chǔ)的知識與基本技能;充分體現(xiàn)低起點(diǎn)的特征;第二問根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù),求參數(shù)取值范圍,應(yīng)該說難度急劇上升,第三問根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù),確定零點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的特定關(guān)系,使試題難度再上新臺階,登峰造極,命題組的解法是等價(jià)轉(zhuǎn)化,換元法,參變分離,構(gòu)造新函數(shù),求導(dǎo)再求導(dǎo),構(gòu)造再構(gòu)造,可謂逢山開路,遇水搭橋,山窮水盡疑無路柳,暗花明又一村,構(gòu)思新穎,解法獨(dú)特;令人拍案叫絕,我們欣賞專家敏銳的思考和超凡脫俗的解法的同時(shí)不能忘卻思考,尤其是對正常的課堂教學(xué)有哪些啟示是我們最為關(guān)切的問題,這樣的解法我們的教師有多少獲得感,我們的學(xué)生從中有哪些感悟都非常值得思考與借鑒,為什么很多學(xué)生總覺得課堂中學(xué)到的知識與技能高考難以應(yīng)用,為什么總是感嘆高考試題離課堂教學(xué)實(shí)際越來越遠(yuǎn),總希望到課外去補(bǔ)充這樣或那樣的各種所謂的“妙招與技巧”.

我們中學(xué)階段學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)主要是兩個(gè)方面,一是學(xué)生對導(dǎo)數(shù)概念的理解,二是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,只有對導(dǎo)數(shù)概念有更深刻的更準(zhǔn)確的理解,才能更好的應(yīng)用;教材中,是從代數(shù)和幾何,也就是通過數(shù)形結(jié)合來理解和闡述導(dǎo)數(shù)的概念的,導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的平均變化率,(曲線的割線斜率)的極限—瞬時(shí)變化率,即(也就是曲線在點(diǎn)x0出的切線的斜率),也就是說切線是割線的極限位置!而函數(shù)零點(diǎn)問題只是強(qiáng)調(diào)函數(shù)與方程,變量與常量的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系;基于教學(xué)思考,我們試圖從有利于夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)與提高學(xué)生核心素養(yǎng)的,提高學(xué)生解決問題的興趣與信心,從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā),給出問題的切割線分析法,化難為易,化繁為簡,努力使真正好的高考命題不僅有利于選拔,更有利于對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的導(dǎo)向.

1.3 創(chuàng)新再解

(1)(略)(2)由(1)可知,當(dāng)b=2e2時(shí),設(shè)函數(shù)f(x)=ax?bx+e2有且只有一個(gè)零點(diǎn)x0,則

也就是當(dāng)b=2e2時(shí),直線y=2e2x?e2與指數(shù)函數(shù)y=e2x的圖像相切與點(diǎn)(1,e2)如圖2,所以對于任意b＞2e2,過定點(diǎn)(0,?e2)的直線束y=bx?e2中的直線斜率率越大,越靠近y軸,底數(shù)越小,過定點(diǎn)(0,1)指數(shù)曲線束y=ax圖像在第一象限的部分越靠近x軸,因此,直線y=bx?e2與指數(shù)函數(shù)y=ax圖像相交,恒有兩個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)f(x)恒有兩個(gè)零點(diǎn);則a取值范圍是a∈(1,e2],如圖3同理可得.

圖2

圖3

原命題的推廣1:設(shè)a,b是實(shí)數(shù),且a＞1,函數(shù)f(x)=ax?bx+e2,(x∈R).若對于任意b＞me2,(m＞0),函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則a的取值范圍為a∈(1,em].

圖4

圖5

案例二

(1)若f(x)在x=x1,x2(x12)處的導(dǎo)數(shù)相等,證明:f(x1)+f(x2)＞8?8ln2.

(2)若a≤3?4ln2,證明:對于任意k＞0,直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點(diǎn).

2.1 創(chuàng)新求解

2.2 深刻反思

第一問,這里我們并沒有放棄對函數(shù)y=f(x)導(dǎo)數(shù)的研究,判定函數(shù)的單調(diào)性,充分利用題目所給數(shù)值的特點(diǎn),聯(lián)想已知函數(shù)f(16)=4?4ln2,從而獲得問題的全新思考與解答!

第二問,若a≤3?4ln2,為了證明對于任意k＞0,直線y=kx+a與曲線y=f(x)有公共點(diǎn).我們沒有為了一定要用零點(diǎn)存在判定定理,而煞費(fèi)苦心去設(shè)計(jì)特殊的m,n的值,而是根據(jù)目標(biāo)驅(qū)動(dòng)創(chuàng)新思維,根據(jù)問題的表征探尋問題的本質(zhì),另辟蹊徑,充分利用第一問的研究成果,簡約自然證明出過曲線上y=f(x)任意一點(diǎn)M(x0,y0).與定點(diǎn)N(0,a)的直線的斜率恒為任意正數(shù),從而證明若a≤3?4ln2,對于任意k＞0,直線y=kx+a與曲線y=f(x)有公共點(diǎn).進(jìn)而分析出要證明有唯一點(diǎn)所需要研究的函數(shù),一氣呵成,自然簡約!

并且我們可以發(fā)現(xiàn)原高考題的推論:

紙上得來終覺淺,絕知此事要躬行,高考試題的研究不能拿來主義,不能順?biāo)浦?不能依樣畫葫蘆,要獨(dú)立思考,要?jiǎng)?chuàng)新思維,要追尋本質(zhì),要崇尚自然,我們研究問題的目的就是要與學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)接軌,不斷提高學(xué)生的核心素養(yǎng),提高學(xué)生創(chuàng)新思維的意識勇氣.

教師一定要不斷更新教學(xué)理念,深刻領(lǐng)會(huì)課標(biāo)精神,通過典型案例的分析和學(xué)生自主探究活動(dòng),使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論的形成過程,體會(huì)蘊(yùn)含在其中的思想方法,追尋數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)所在,把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài)既是我們數(shù)學(xué)教師義不容辭的責(zé)任.也是教師必須堅(jiān)持不懈修煉的內(nèi)功.破除神秘,崇尚自然.