平面等距變換及其矩陣表示

胡永建 周 蓓

(北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 100875)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》將平面與空間等距變換列為普通高中數(shù)學(xué)選修課程A類課程“空間向量與代數(shù)”專題的教學(xué)內(nèi)容. 通過該內(nèi)容的學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解平面與空間變換的定義，理解平面與空間等距變換，掌握常見平面與空間等距變換及其矩陣表示[1]．平面和空間等距變換對(duì)于高中數(shù)學(xué)教師來說，幾乎都是全新的教學(xué)內(nèi)容．本文首先介紹有關(guān)映射和變換的基本概念[2,3]，然后介紹平面等距變換的定義、性質(zhì)和矩陣表示，最后通過例子介紹平面等距變換的矩陣表示的應(yīng)用．希望本文的介紹對(duì)高中數(shù)學(xué)教師理解和講授這部分內(nèi)容有參考價(jià)值.

1 映射與變換

設(shè)σ為從集合X到Y(jié)的映射，如果存在從集合Y到X的映射τ，使得τσ=idX，στ=idY，則稱σ為可逆映射．此時(shí)，τ稱為σ的一個(gè)逆映射．事實(shí)上，如果σ是可逆映射，則它的逆映射是唯一的．我們將σ的逆映射記作σ-1.可以證明，σ為可逆映射當(dāng)且僅當(dāng)σ為雙射．并且，如果σ，τ為可逆映射，則σ-1,τσ也是可逆映射.

集合X到自身的一個(gè)映射稱為X的一個(gè)變換．所以，恒等映射也稱為恒等變換. 設(shè)σ為集合X的一個(gè)變換，x∈X．如果σ(x)=x，則稱x為σ的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．顯然，X中的每一個(gè)元素都是恒等變換idX的不動(dòng)點(diǎn).

2 平面等距變換及其性質(zhì)

下面介紹平面等距變換的一些基本性質(zhì).

如果在性質(zhì)1中限定t∈[0，1],那么線段AB在σ下的象為線段A′B′.因此，平面等距變換將線段變成與之等長(zhǎng)的線段，進(jìn)而將直線變成直線，將三角形和平行四邊形分別變成與之全等的三角形和平行四邊形．一般地，平面等距變換將每個(gè)平面圖形變?yōu)榇笮『托螤钆c之完全一樣的圖形.

性質(zhì)2平面等距變換的乘積還是平面等距變換.

證明設(shè)σ，τ為平面等距變換．對(duì)平面內(nèi)任意兩點(diǎn)P,Q，令P′=τ(P)，Q′=τ(Q)，P″=σ(P′),Q″=σ(Q′),則P″=στ(P)，Q″=στ(Q)．由于σ，τ均為平面等距變換，故PQ=P′Q′，P′Q′=P″Q″，從而PQ=P″Q″．故στ是平面等距變換.

由性質(zhì)2知，平面等距變換關(guān)于變換的乘積運(yùn)算是封閉的.

性質(zhì)3平面等距變換是可逆變換，且其逆變換也是平面等距變換.

上式表明，P′與P″重合，即P′為點(diǎn)P在σ之下的象．故σ又是滿射．綜上所述，σ是雙射，從而是可逆變換，即σ-1存在．另外，對(duì)平面內(nèi)任意兩點(diǎn)S，T，令S′=σ-1(S)，T′=σ-1(T)，則S=σ(S′),T=σ(T′)．由于σ為等距變換，故ST=S′T′．因此，σ-1也是平面等距變換.

3 平面等距變換的矩陣表示

建立平面直角坐標(biāo)系后，平面上的點(diǎn)P(x，y)與R2中的向量a=(x，y)T一一對(duì)應(yīng)．于是，我們可以用R2表示平面，用列向量a=(x，y)T表示平面上的點(diǎn)P(x，y)．此時(shí)，每個(gè)平面變換均可唯一地表示成R2的變換的形式．并且，如果a，b∈R2分別表示平面上的點(diǎn)P,Q，則線段PQ的長(zhǎng)恰好等于向量a-b的長(zhǎng)度，即

這樣一來，我們可以用代數(shù)方法研究平面等距變換.

首先，我們給出平面等距變換的一個(gè)分解．

引理1如果φ為平面等距變換，那么φ=τσ，其中τ是以v=φ(0)為平移向量的平移變換，σ是以0為不動(dòng)點(diǎn)的平面等距變換．

證明設(shè)τ是以v=φ(0)為平移向量的平移變換，則τ為可逆變換．令σ=τ-1φ，則σ也是平面等距變換，且滿足φ=τσ.由于τ(0)=v，故σ(0)=τ-1φ(0)=τ-1(v)=0．所以，σ是以0為不動(dòng)點(diǎn)的平面等距變換.

引理1表明，每一個(gè)平面等距變換總可以分解為一個(gè)平移變換和一個(gè)以0為不動(dòng)點(diǎn)的平面等距變換的乘積．下面，我們研究引理1中平面等距變換σ的性質(zhì).

引理2如果σ是以0為不動(dòng)點(diǎn)的平面等距變換，那么σ保持向量的內(nèi)積不變，即：對(duì)任意a，b∈R2，σ(a)·σ(b)=a·b.

證明由于σ為平面等距變換，故對(duì)任意a，b∈R2，都有|σ(a)-σ(b)|=|a-b|．選取b=0，可得|σ(a)|=|a|．于是，

|σ(a)-σ(b)|=|a-b|

?(σ(a)-σ(b))·(σ(a)-σ(b))

=(a-b)·(a-b)

?|σ(a)|2+|σ(b)|2—2σ(a)·σ(b)

=|a|2+|b|2-2a·b

?σ(a)·σ(b)=a·b.

故結(jié)論成立．

設(shè)σ為R2的一個(gè)變換．如果σ滿足

(1)對(duì)任意a，b∈R2，

σ(a+b)=σ(a)+σ(b)；

(2)對(duì)任意k∈R，a∈R2，σ(ka)=kσ(a)，

則稱σ為R2的一個(gè)線性變換．

引理3如果σ是以0為不動(dòng)點(diǎn)的平面等距變換，那么σ是線性變換．

證明由引理2知，對(duì)任意a，b∈R2，

|σ(a+b)-σ(a)-σ(b)|2

=(σ(a+b)-σ(a)-σ(b))·(σ(a+b)

-σ(a)-σ(b))

=(a+b)·(a+b)-2(a+b)·a-2(a+b)·b+2a·b+a·a+b·b

=-(a+b)·(a+b)+2a·b+a·a

+b·b

=0.

故σ(a+b)=σ(a)+σ(b)．

另一方面，對(duì)任意k∈R，a∈R2，

|σ(ka)-kσ(a)|

=(σ(ka)-kσ(a))·(σ(ka)-kσ(a))

=(ka)·(ka)-2k(ka)·a+k2a·a=0．

故σ(ka)=kσ(a)．綜上所述，σ是一個(gè)線性變換.

接下來，我們推導(dǎo)平面等距變換的矩陣表示.

ψ(a)=τσ(a)=σ(a)+v=xσ(e1)+yσ(e2)+v．

如果記ψ(a)=(x′，y′)T，則上式可以寫成矩陣乘積的形式：

(1)

或者

(2)

反過來，設(shè)平面變換ψ由(1)或(2)給出．容易檢驗(yàn)，對(duì)任意a，b∈R2，|ψ(a)-ψ(b)|=|a-b|．故ψ為平面等距變換.

因此，建立平面直角坐標(biāo)系后，每一個(gè)平面等距變換均可唯一地表示成(1)或(2)的形式．我們稱(1)和(2)為平面等距變換的矩陣表示．其中(1)式表示的平面等距變換ψ稱為第Ⅰ型平面等距變換，(2)式表示的等距變換ψ稱為第Ⅱ型平面等距變換．如果某個(gè)第Ⅰ型平面等距變換ψ有不動(dòng)點(diǎn)P(x0，y0)，那么(1)式可改寫為

(3)

此時(shí)，ψ為繞點(diǎn)P(x0，y0)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角θ的旋轉(zhuǎn)變換．類似地，如果某個(gè)第Ⅱ型平面等距變換ψ有不動(dòng)點(diǎn)P(x0，y0)，那么(2)式可改寫為

此時(shí)，ψ為關(guān)于過點(diǎn)P(x0，y0)的直線sinθ(x-x0)-(1+cosθ)(y-y0)=0的反射變換．

特別地，當(dāng)平移向量v=(0，0)T時(shí)，由(1)表示的第Ⅰ型平面等距變換ψ為繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角θ的旋轉(zhuǎn)變換；由(2)表示的第Ⅱ型平面等距變換ψ為關(guān)于過原點(diǎn)的直線xsinθ-y(1+cosθ)=0的反射變換．

4 應(yīng)用舉例

應(yīng)用平面等距變換的矩陣表示，我們可以證明有關(guān)平面等距變換的一些有趣性質(zhì).

例1證明：第Ⅰ型平面等距變換為平移變換或旋轉(zhuǎn)變換，第Ⅱ型平面等距變換為直線反射變換或平移變換與直線反射變換的乘積.

證明設(shè)ψ為第Ⅰ型平面等距變換，(1)為ψ的矩陣表示．當(dāng)θ=2kπ(k∈Z)時(shí)，(1)式變?yōu)?/p>

(4)

此時(shí)，ψ為平移變換．當(dāng)θ≠2kπ(k∈Z)時(shí)，二元一次方程組

有唯一解(x0，y0)T．容易檢驗(yàn)，P(x0，y0)為ψ的不動(dòng)點(diǎn)．此時(shí)，ψ為繞點(diǎn)P(x0，y0)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角θ的旋轉(zhuǎn)變換.

再設(shè)ψ為第Ⅱ型平面等距變換，(2)為ψ的矩陣表示．當(dāng)ψ有不動(dòng)點(diǎn)P(x0，y0)時(shí)，由上一節(jié)最后的分析知，ψ為關(guān)于直線sinθ(x-x0)-(1+cosθ)(y-y0)=0的反射變換．當(dāng)ψ沒有不動(dòng)點(diǎn)時(shí)，ψ是以v=(s，t)T為平移向量的平移變換與關(guān)于直線xsinθ-y(1+cosθ)=0的反射變換的乘積.

從例1的結(jié)果可以看出，每個(gè)平面等距變換要么是平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、直線反射變換之一，要么是平移變換與直線反射變換的乘積．所以，我們稱平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、直線反射變換是三種基本的平面等距變換.

例2證明：每個(gè)平移變換和旋轉(zhuǎn)變換總可表示為兩個(gè)直線反射變換的乘積.

其中θ=2φ-π．容易檢驗(yàn)，σ，τ均有不動(dòng)點(diǎn)且στ的矩陣表示為(4)．因此，σ，τ為直線反射變換且ψ=στ.

再設(shè)ψ是繞點(diǎn)P(x0，y0)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角θ的旋轉(zhuǎn)變換．則ψ的矩陣表示具有(3)的形式. 選取平面等距變換σ，τ，其矩陣表示分別為

則σ，τ分別為以P(x0，y0)為不動(dòng)點(diǎn)的直線反射變換．容易檢驗(yàn)，στ的矩陣表示恰好與ψ的矩陣表示相同．故ψ=στ．這表明，旋轉(zhuǎn)變換ψ可以表示為兩個(gè)直線反射變換的乘積．

從例1和例2可以看出，每個(gè)平面等距變換總可以表示為不超過3個(gè)直線反射變換的乘積．

例3設(shè)σ，τ分別為關(guān)于直線l1，l2的反射變換．證明：如果l1，l2平行，則στ為平移變換；如果l1，l2相交，則στ為繞交點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換.

證明當(dāng)l1，l2平行時(shí)，建立平面直角坐標(biāo)系，使得l1，l2的方程分別為y=a與y=0，則σ，τ的矩陣表示分別為

則στ的矩陣表示為(x′，y′)T=(x，y)T+(0，2a)T．故στ為以v=(0，2a)T為平移向量的平移變換.

當(dāng)l1，l2相交時(shí)，以交點(diǎn)為原點(diǎn)，并以l2為橫軸建立平面直角坐標(biāo)系，那么σ，τ的矩陣表示分別具有下面的形式：

其中θ≠2kπ(k∈Z)．容易檢驗(yàn)，στ的矩陣表示為

故στ為繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角θ的旋轉(zhuǎn)變換.

此外，利用平面等距變換的矩陣表示，我們也可以證明平面等距變換是可逆變換，以及有公共不動(dòng)點(diǎn)的平面旋轉(zhuǎn)變換與直線反射變換的乘積為直線反射變換.