發(fā)展數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維 培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)①

黃秦安 張 靜 曹新潤(rùn)

(1.陜西師范大學(xué) 710119；2. 西安市高新第一學(xué)校 710076)

培養(yǎng)知識(shí)創(chuàng)新型人才已經(jīng)作為一項(xiàng)國家奠基工程被放在中國教育改革的突出位置，并獲得了教育界的共識(shí).從數(shù)學(xué)教育的角度看，數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維及其培育應(yīng)該成為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)教育的一項(xiàng)統(tǒng)領(lǐng)性和貫穿性的重要任務(wù).數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的集中體現(xiàn)，綜合性地展現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本要素，并且是衡量數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要指標(biāo).作為數(shù)學(xué)素養(yǎng)教育的一個(gè)重要內(nèi)容，本文從討論數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的特征與結(jié)構(gòu)入手，提出了數(shù)學(xué)創(chuàng)造力培育的對(duì)象是全體學(xué)生的基本理念，構(gòu)建了數(shù)學(xué)創(chuàng)造性解決問題培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的樣例，最后以數(shù)學(xué)審美為例表明培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的途徑與方式.

1 創(chuàng)造性思維的特征與數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的結(jié)構(gòu)

為了對(duì)數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的特征予以探究，首先要從一般創(chuàng)造性思維的緣起談起.在具有開創(chuàng)性的《創(chuàng)造性思維能力的因素分析研究》一文中，威爾遜和吉爾福德等學(xué)者首先提出了創(chuàng)造力測(cè)量的8個(gè)主要指標(biāo)(特征)：對(duì)問題的敏感性；流暢性；靈活性；獨(dú)創(chuàng)性；洞察力；分析力；綜合力以及遷移力，以及每個(gè)指標(biāo)所包括的具體內(nèi)容.[1](見表1)

表1 威爾遜和吉爾福德創(chuàng)造力測(cè)量指標(biāo)與細(xì)則

上述關(guān)于一般創(chuàng)造性思維指標(biāo)、特征的描述同樣也是適用于數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的，只不過數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維除了上述特征之外，更具有其學(xué)科與知識(shí)的獨(dú)特性.這種獨(dú)特性具體體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的知識(shí)特征和思維特征上.數(shù)學(xué)基本的思維類型可以看作是數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的成分.包括邏輯、直覺、潛意識(shí)和想象.如果把發(fā)散思維和收斂思維結(jié)合在內(nèi)，就構(gòu)成了數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的6個(gè)基本成分.

關(guān)于數(shù)學(xué)創(chuàng)造性過程的描述已有很多研究的成果，這里采用彭加萊和阿達(dá)瑪關(guān)于數(shù)學(xué)創(chuàng)造的4階段論.可以將其表述為：準(zhǔn)備、嘗試與探索、形成與完成、元認(rèn)知評(píng)價(jià).

我國著名數(shù)學(xué)家徐利治教授把創(chuàng)造能力定義為：創(chuàng)造能力=知識(shí)量×發(fā)散思維能力.[2]在這個(gè)公式中，徐老特別強(qiáng)調(diào)了發(fā)散思維在創(chuàng)造力中的分量.借鑒徐利治教授的研究成果，同時(shí)考慮到數(shù)學(xué)思維的成分與特征，我們把數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的平面維度定義為數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的基本成分(記為A)與數(shù)學(xué)創(chuàng)造性基本特征(記為B)的乘積，記為D=A×B.進(jìn)而，把數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的結(jié)構(gòu)(記為G)定義為數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的平面維度D與數(shù)學(xué)創(chuàng)造性階段(過程，記為C)形成的體，即G=D×C= A×B×C.(圖1)

圖1 數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維基本結(jié)構(gòu)G= A×B×C

數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的結(jié)構(gòu)可以與某一標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維層次相結(jié)合，形成特定歷史時(shí)期、知識(shí)類別或難易程度不同的數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的質(zhì)性分析，并通過賦值分析加以定量研究.

2 在創(chuàng)造性思維發(fā)展中培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的典型樣例

數(shù)學(xué)問題解決活動(dòng)是培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維的一個(gè)基本方式和教學(xué)平臺(tái).在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，可以根據(jù)教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)內(nèi)容，充分運(yùn)用數(shù)學(xué)創(chuàng)造的邏輯，調(diào)動(dòng)數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維的基本要素，依據(jù)促進(jìn)創(chuàng)造性思維的教學(xué)原則，建構(gòu)數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)模式.在整個(gè)創(chuàng)造性解決問題過程中，教師所扮演的角色是指導(dǎo)者、咨詢者,而不是包辦者或代辦者.教師要特別留意學(xué)生獨(dú)特的、與眾不同的解法，鼓勵(lì)合作學(xué)習(xí)和研究性學(xué)習(xí).在數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、運(yùn)算能力、直觀想象和數(shù)據(jù)分析這6大核心素養(yǎng)中，每一類都可以通過上述模式開展創(chuàng)造性思維的培育.以下舉其中的數(shù)學(xué)抽象、邏輯思維、運(yùn)算能力為例加以說明.

第一，數(shù)學(xué)抽象.數(shù)學(xué)抽象就是采用數(shù)學(xué)的知識(shí)對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行概括和歸納的一種方法.數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)本質(zhì)特征，也是數(shù)學(xué)思維的一種基本方式.

例1在哥尼斯堡，有一條河穿過城市，河上有兩個(gè)小島，有七座橋把兩個(gè)島與河岸連起來.(圖2)來這里散步的大學(xué)生好奇地問了這樣一個(gè)問題：能否從某個(gè)地點(diǎn)開始，不重復(fù)地一次走完這七座橋，最后回到起點(diǎn).

過程分析：著名數(shù)學(xué)家歐拉聽到這個(gè)有趣的問題后，通過數(shù)學(xué)抽象的方法，把河兩岸的陸地和兩個(gè)島看成4個(gè)點(diǎn)，而將七座橋看作是7條直線，這樣，哥尼斯堡7橋問題(圖2)就被抽象成圖3.于是，問題就變成了能否從圖3中的某個(gè)點(diǎn)出發(fā)，一次走完所有的點(diǎn)而不重復(fù).歐拉后來給出了相關(guān)問題(即一筆畫問題)的定理，據(jù)此定理，哥尼斯堡7橋問題屬于不可能問題.

圖2 哥尼斯堡7橋

圖3 抽象圖

正如哥尼斯堡7橋問題的成功獲解那樣，數(shù)學(xué)抽象包括一定程度的去情景化和去語境化.大數(shù)學(xué)家希爾伯特就曾主張：“數(shù)學(xué)實(shí)踐要求人們發(fā)展一種能力，在沒有完全擺脫語境的情況下，知道應(yīng)該專注于什么是重要的.”[3]

第二，邏輯思維.邏輯思維是采用演繹推理進(jìn)行的一種思維方式.比如數(shù)學(xué)中常用的反證法，就是建立在基本邏輯規(guī)律——排中律的基礎(chǔ)之上的.

例2證明素?cái)?shù)有無窮多個(gè).

分析與解答：這個(gè)問題在古希臘歐幾里得《幾何原本》中就已得到解答.采用的就是反證法.假設(shè)素?cái)?shù)只有有限多個(gè)P1，P2,…,Pn，那么構(gòu)造P=P1P2…Pn+1，則無論P(yáng)是一個(gè)素?cái)?shù)，還是一個(gè)合數(shù)，都會(huì)推出矛盾.

有時(shí)候，正向思維的方向會(huì)有困難，逆向思維的恰當(dāng)運(yùn)用會(huì)有突破思維定勢(shì)的創(chuàng)造.這時(shí)候可以從事物的對(duì)立關(guān)系中尋求解決之道.

例3n個(gè)人中，至少兩人有相同生日的概率是多少？

分析與解答：對(duì)于許多問題，正面解決往往難度較大.本題目可以考慮“對(duì)立事件”：n個(gè)人有完全不同的生日的概率，就較容易解決.此題的方法體現(xiàn)了一種典型的“逆向思維”特征.而在事件的相互對(duì)立中尋求轉(zhuǎn)換與統(tǒng)一，正是數(shù)學(xué)思維的精髓之一.因此，本題的答案為：

第三，運(yùn)算能力.運(yùn)算是一種最常見的數(shù)學(xué)方法.中國古代數(shù)學(xué)家劉徽和祖沖之對(duì)圓周率的計(jì)算精確度，達(dá)到了當(dāng)時(shí)世界計(jì)算技術(shù)的巔峰.

例4劉徽對(duì)圓周率的計(jì)算.

過程分析：在割圓術(shù)中，劉徽在一尺為半徑的圓內(nèi)，作出圓內(nèi)接正六邊形，然后倍增邊數(shù)，進(jìn)而不斷求出正十二邊形、正二十四邊形、正四十八邊形、正九十六邊形和正一百九十二邊形的面積.在這一過程中，劉徽對(duì)運(yùn)算能力的使用和把控達(dá)到了相當(dāng)精確的高度.通過不斷逼近的方法，求得圓周率為3.14(后人稱之為徽率).

例5祖沖之對(duì)圓周率的計(jì)算.

過程分析：據(jù)《隋書·律歷志》記載：“祖沖之更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈朒二限之間”.這就是說，祖沖之算出了圓周率數(shù)值的上下限：

3.1415926(朒數(shù))<π<3.1415927(盈數(shù)).

數(shù)學(xué)史家推測(cè)，祖沖之是采用劉徽的割圓術(shù)，從正六邊形一直算到正24576邊形，才能得到圓周率的上述取值范圍.[4]

更進(jìn)一步看，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力不能簡(jiǎn)單地理解為程序性的計(jì)算步驟的完善性和計(jì)算過程的準(zhǔn)確性，而是與數(shù)學(xué)課程改革中所倡導(dǎo)的數(shù)感緊密相關(guān)的一種能力，比如對(duì)數(shù)字的(超)直覺的一種感悟力和創(chuàng)造力.英國著名數(shù)學(xué)家哈代在《一個(gè)數(shù)學(xué)家的辯白》一書中曾舉了2個(gè)相關(guān)的有趣例子.[5](見例6和例7)

例6在四位數(shù)中，只有8712和9801是其翻轉(zhuǎn)數(shù)2178和1089的整數(shù)倍，即

8712=4×2178，9801=9×1089.

例7在1之后，只有4個(gè)數(shù)可以表示為其各位數(shù)字的立方和.這4個(gè)數(shù)分別是：

153=13+53+33，370=33+73+03，

371=33+73+13，407=43+03+73.

例8有一次，英國著名的數(shù)學(xué)家哈代乘坐出租車去看望住院的印度青年數(shù)學(xué)才俊拉馬努金，哈代記得所乘坐的出租車號(hào)碼是1729，就對(duì)拉馬努金說這個(gè)數(shù)字看起來相當(dāng)單調(diào)，而拉馬努金則說：“不，它是一個(gè)非常有意思的數(shù)，它是最小的能用兩種不同的方式表示成兩個(gè)數(shù)立方之和的數(shù)”，即1729=123+13=103+93.這一發(fā)現(xiàn)看似偶然，卻精妙無比.拉馬努金的這種超級(jí)數(shù)感能力可謂大師級(jí)水準(zhǔn).要想達(dá)到這樣一種境界自然不易，所謂冰凍三尺非一日之寒.但若從小處留意，從細(xì)微處做起，通過不斷的數(shù)學(xué)文化積累(例如描繪數(shù)學(xué)家故事和成就的數(shù)學(xué)閱讀、數(shù)學(xué)史上的典型事例)和長(zhǎng)期不懈的數(shù)學(xué)解題欣賞和歷練，最后達(dá)到一個(gè)較高的數(shù)感能力與數(shù)學(xué)直覺水平，對(duì)于每一個(gè)學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)生都是可以實(shí)現(xiàn)的目標(biāo).

3 讓數(shù)學(xué)課堂的創(chuàng)造力培養(yǎng)模式常態(tài)化：數(shù)學(xué)美的視角

最后需要強(qiáng)調(diào)的是，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生創(chuàng)造力和核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，可以體現(xiàn)在任何教學(xué)環(huán)節(jié)和任何教學(xué)活動(dòng)當(dāng)中.在此，我們提出讓數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的培養(yǎng)常態(tài)化的口號(hào).其基本含義是，創(chuàng)造性思維培養(yǎng)模式不僅僅是在問題解決活動(dòng)中才可以使用，而是可以普遍地內(nèi)化在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)形態(tài)中，它應(yīng)該成為日常數(shù)學(xué)教學(xué)不可或缺的一部分.進(jìn)而，創(chuàng)造力作為核心素養(yǎng)最具本質(zhì)特征的一個(gè)構(gòu)成，就成為大眾數(shù)學(xué)的重要培養(yǎng)目標(biāo)，而不再限于精英教育的范疇.重要的是，只要教學(xué)活動(dòng)是開放的、嘗試性的、探索性的、鼓勵(lì)猜想和推測(cè)的，只要主體是主動(dòng)的、積極的、有想象力的和情感激越的，就給創(chuàng)造性思維提供了一個(gè)可以充分展示的教學(xué)空間.以下以“數(shù)學(xué)美感”為主題來對(duì)相關(guān)論點(diǎn)予以論證.

一般地看，數(shù)學(xué)美可以成為數(shù)學(xué)知識(shí)通往培育創(chuàng)造力的一個(gè)有力樞紐.惠特科姆(Allan Whitcombe)以數(shù)學(xué)中的算法教學(xué)為例，構(gòu)造了一個(gè)算法、數(shù)學(xué)美與創(chuàng)造力的ABC模型[6](見圖4).在這個(gè)模型中，B(數(shù)學(xué)美)成為從A(算法)到C(創(chuàng)造力)的一個(gè)必經(jīng)之點(diǎn).

圖4 ABC模型

具體地，惠特科姆例舉了如下ABC模型下的詳單序列.

表2 ABC模型詳單

惠特科姆寫到：“除非我們激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，并使其延展到其想象力的極限，在某些情況下甚至超越極限，否則他們的數(shù)學(xué)之旅就會(huì)像泰坦尼克號(hào)一樣，注定要失敗的.”[6]以下通過幾個(gè)典型例子，對(duì)如何在數(shù)學(xué)審美引導(dǎo)下激發(fā)創(chuàng)造活力，解決數(shù)學(xué)問題加以說明.

1)公式的協(xié)調(diào)優(yōu)美性：許多數(shù)學(xué)公式本身就有一種美感，在推廣和延宕的過程中，秉持這一原則常常會(huì)有令人驚喜的收獲.

例9已知三角形的三條邊長(zhǎng)，求其面積，這就是著名的海倫公式

公式中a、b、c分別為邊長(zhǎng)，p為周長(zhǎng)的一半.那么，可以把這個(gè)問題推廣到四邊形嗎？

分析與解答：通過類比，從三角形的三條邊到求四邊形的四條邊長(zhǎng)，這時(shí)候需考慮增加一個(gè)條件，即四邊形是內(nèi)接于圓的，否則，面積就不能完全確定下來.大膽的聯(lián)想是，是否四邊形的面積仍然具有海倫公式那般整齊劃一的美感.此時(shí)的妙處在于，根據(jù)美學(xué)的考量，d分別為四邊長(zhǎng)，p是周長(zhǎng)的一半.果然，是成立的.到此，數(shù)學(xué)之妙與數(shù)學(xué)之美油然而生.

2)結(jié)構(gòu)的完整之美：在不少數(shù)學(xué)問題中，題目條件與結(jié)論的關(guān)系仿佛是“猶抱琵琶半遮面”，需要進(jìn)行結(jié)構(gòu)的完整化，才能使之顯露出“廬山真面目”.

例10如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AP=3，BP=6，CP=11，求DP=？(圖5)

圖5

分析與解答：根據(jù)美觀性原則，矩形內(nèi)一點(diǎn)到各個(gè)頂點(diǎn)的距離，一般需要借助于該點(diǎn)到各邊的距離加以聯(lián)系，因此，就容易想到一個(gè)具有“完美形式”的“關(guān)系圖(圖6)”.

圖6

根據(jù)圖6的“完美圖”，AP、BP和CP所關(guān)聯(lián)的四段長(zhǎng)度AE(DG)、BE(CG)、AH(BF)和CF(DH)，通過勾股定理得以聯(lián)系起來.因此，

AP2+CP2=BP2+DP2.

3)維度的自如轉(zhuǎn)換之美：從面到點(diǎn)與從點(diǎn)到面的聯(lián)想轉(zhuǎn)換空間.有時(shí)候可以先考慮一個(gè)問題的簡(jiǎn)單情形，然后再看簡(jiǎn)單情形下的結(jié)論是否在推廣的情況下依然成立.

例11(如圖7)在邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD內(nèi)，有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形EFGH，求證

圖7

SABFE+SCDHG=SADHE+SBCGF

分析與解答：假如正方形EFGH縮成一點(diǎn)P(圖8)，很明顯的結(jié)論是

圖8

如果把P點(diǎn)再換回成正方形EFGH.猜想應(yīng)該是

SABFE+SCDHG=SADHE+SBCGF

成立.果然結(jié)果不謬(見圖9).

圖9

數(shù)學(xué)創(chuàng)造力與數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個(gè)有機(jī)、重要且最具活力的組成部分，其培育和培養(yǎng)將在未來數(shù)學(xué)教育的改革中扮演越來越重要的作用.需要指出的是，數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的培養(yǎng)絕不是少數(shù)學(xué)生的事，而是關(guān)系到所有學(xué)生和整個(gè)民族的文化素質(zhì)的提高.其目標(biāo)的達(dá)成與實(shí)現(xiàn)既要得到教育界和全社會(huì)的支持和參與，通過數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的發(fā)展培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教育的一項(xiàng)艱巨和長(zhǎng)期的任務(wù)，需要從教育思想、政策、課程、教材、師資培訓(xùn)和教法等方面進(jìn)行全面、深入和持續(xù)的改革.