促進核心素養(yǎng)發(fā)展的問題解決教學
——以“向量的概念及表示”為例

胡云飛

(江蘇省溧陽市教師發(fā)展中心 213300)

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》的重點是落實數(shù)學學科核心素養(yǎng)，高中數(shù)學課堂教學應以發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)為導向，[1]創(chuàng)設合適的教學情境，啟發(fā)學生思考，引導學生把握數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì).[2]事實上，教師講學生聽仍是當前課堂的常見樣式，這一種教學方式因?qū)W生缺乏學習的主動性，既不利于學生對知識的掌握，也不利于學生素養(yǎng)的發(fā)展.課堂應該是師生問題解決的過程，學生在教師創(chuàng)設的情境中探究，通過“問題解決”來達成知識的掌握、素養(yǎng)的發(fā)展和能力的提升.

本文以“向量的概念及表示”的教學為例，就課堂教學中“問題解決教學”的實踐與思考與同仁交流.

1 教學設計

1.1 內(nèi)容分析

向量既是代數(shù)研究對象，也是幾何研究對象，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁，是進一步學習和研究其他數(shù)學領域問題的基礎，在解決實際問題中發(fā)揮重要作用.[2]本節(jié)課是本章的開篇課，是全章學習的基礎，決定著本章后續(xù)學習的狀況.這種基礎體現(xiàn)在兩個方面，第一是知識基礎，向量的概念是后續(xù)學習向量的運算和向量的應用等內(nèi)容的基礎；第二，是思想方法的基礎，向量的概念是數(shù)與形的集中體現(xiàn)，數(shù)形結(jié)合思想從向量的概念開始，在全章一以貫之.因此，本課的教學目標包括“知識”與“素養(yǎng)”兩個維度.知識目標：了解向量的實際背景，會用字母表示向量，理解向量的幾何表示；理解零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量、相反向量等概念.素養(yǎng)目標：在概念生成的過程中發(fā)展學生數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)，為持續(xù)研究向量獲得研究方法層面的感受與體會；在問題解決的過程中培養(yǎng)學生提出問題、發(fā)現(xiàn)問題的能力，分析問題、解決問題的能力.

1.2 問題設計

問題1-1：湖面上有三個景點O，A，B.一游艇將游客從景點O送至景點A，半小時后再將游客送至景點B.從景點O到景點A有一個位移，景點O和景點A之間還有一個距離.位移和距離這兩個量有什么不同？

問題1-2：你能分別舉幾個類似于位移和距離的量嗎？

問題1-3：怎么來表示向量呢？

問題1-4：向量有兩個要素：大小和方向，從向量的“大小”也就是向量的“長度”這個要素思考，你認為有哪些特殊的向量？

問題1-5：那么從“方向”這個要素思考，你認為有怎樣的特殊關系的向量？

問題1-6：從“長度”和“方向”兩個要素思考，有怎樣的特殊關系的向量？

問題2：已知O為正六邊形ABCDEF的中心，在圖中所標出的向量中：

問題2圖

問題3圖

問題4：判斷下列說法是否正確：

(1)若兩個向量相等，則它們的起點和終點重合；

(2)若a和b都是單位向量，則a=b；

(3)模相等的兩個平行向量是相等向量；

(4)相等向量的模一定相等；

(5)相等向量一定是共線向量；

(6)平行于同一個向量的兩個向量一定是共線向量；

問題5：你能否畫一個結(jié)構圖表示這節(jié)課所學的內(nèi)容？

1.3 設計說明

本節(jié)課是概念課，子概念多，弄不好就會散亂，課堂就會成為“教師講學生聽”的流水賬.確定課堂線索很重要，本節(jié)課的線索是按照向量的“大小”和“方向”兩個屬性展開，把概念組有機整合，讓概念體系有邏輯地深入、生成.

本節(jié)課共分3個階段：概念生成，概念理解，概念反思.

第一個階段是概念生成.通過問題解決生成向量及相關概念.相關概念組成的概念組是有內(nèi)在的邏輯關系的，是向量的“大小”與“方向”這兩個屬性的產(chǎn)物.這些概念的得來，通過“尋找特殊向量”的問題來生成，自然生長，自成體系.這一階段通過問題1六個問題串進行.具體地說，通過問題1-1、1-2的解決得到向量的概念，通過問題1-3的解決得到向量的表示，通過問題1-4、1-5、1-6的解決得到零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量、相反向量等概念.

第二個階段是概念理解.這一階段通過問題2、3、4進行，這是知識在具體題目中的應用和深化.選取了課本上的2個例題，又用了一個判斷題來進行概念的辨析.問題的指向很明確，指向本課所學的知識，特別地，把零向量與任意向量共線的性質(zhì)隱藏在問題4(6)中處理，通過問題的解決來辨析.

第三個階段是概念反思.這其實就是課堂小結(jié)，這一階段通過問題5進行.通過畫知識結(jié)構圖的方式，讓學生進行回顧概括，自主建構，促進學生深度思維.教師在學生解答的基礎上進行完善和升華.

整個課堂就是一個完整的問題組，問題與問題之間環(huán)環(huán)相扣層層遞進，學生在問題解決的過程中思考，獲得新知，發(fā)展數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)，提高分析問題和解決問題的能力，促進探究思維習慣的養(yǎng)成.

2 指向核心素養(yǎng)的問題解決教學思考

數(shù)學學科核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學基本特征的思維品質(zhì)、關鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學學習和應用的過程中逐步形成和發(fā)展的.[2]培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)至少應當遵循兩個原則，一個原則是把握數(shù)學知識的本質(zhì)，另一個原則是設計并且實施合理的教學活動.[3]核心素養(yǎng)的發(fā)展，需要學生有真實而深刻的自我學習過程，需要學生真實的“問題解決”過程.

2.1 問題解決教學的含義

數(shù)學教學實際上是一種特殊數(shù)學活動的教學，教師是數(shù)學活動教學過程的組織者和引導者，數(shù)學活動教學過程是圍繞開放性“教學問題”而展開的，隨著教學問題的逐步完成，向?qū)W生傳授數(shù)學知識，教給學生經(jīng)驗材料的數(shù)學化思想方法，幫助其了解、掌握數(shù)學的實際應用的程式和思維方式方法.[4]

“問題解決教學”是以數(shù)學問題為對象，以問題的解決來組織學生學習的一種教學方式.在這個過程中，學生通過操作、體驗和感悟去實現(xiàn)知識的再創(chuàng)造并提升學習能力.在這一過程中激發(fā)學習興趣，培養(yǎng)探究能力，發(fā)展核心素養(yǎng).

“問題解決”于教師而言是一種教學方式，于學生而言是一種學習形式，共同的特征就是以問題為載體進行的數(shù)學教與學的活動.

2.2 問題解決教學的實施要點

2.2.1 突出教學過程的探究性

學生是學習的主體，學習是學生的個體行為，重要的不是教師“教過了”，而是學生“學會了”.學生要學會不能僅靠老師反復講，數(shù)學教學不是“告訴教學”，需要的是學生的親自參與.[5]“問題解決教學”的科學之處在于教師通過設置問題致學生于“數(shù)學創(chuàng)造”的問題解決情境之中，引導學生通過“探究”，讓學生發(fā)現(xiàn)問題解決問題，來實現(xiàn)數(shù)學原理的“創(chuàng)造”、數(shù)學素養(yǎng)的發(fā)展和數(shù)學能力的提升.因此，問題解決教學要突出學生的主體地位，要突出教學過程的探究性.比如本課中，在通過問題1-1和1-2的解決，得到了“向量”這一個新的概念后，提出了問題1-3：怎么來表示向量？學生自然會結(jié)合以往的學習經(jīng)驗提出個人的觀點，通過嘗試和比較，經(jīng)歷從無到有、從模糊到精準的過程，這一個過程，是學生探究的過程.統(tǒng)觀整節(jié)課，從第一個問題到最后一個問題，也是一個整體探究的過程.蘇州教科院祁平曾說過：“關注探究的數(shù)學教學是培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維和創(chuàng)造能力最重要的方式，離開探究的數(shù)學教學，就沒有思維的廣闊空間，就沒有鮮活的思維火花，就不可能有創(chuàng)造能力的培養(yǎng)和提升.[6]“向量的概念及表示”的教學設計通過問題來引起學生的認知沖突，激發(fā)學生的探究熱情，這種基于探究的“問題解決”要比“講述+訓練”的教學方式科學得多，這樣的教學過程能真正地落實核心素養(yǎng).

2.2.2 注重問題設置的科學性

既然課堂教學是問題解決的過程，問題設置就成了課堂教學的重點，問題設置的科學性也就成為了“問題解決教學”的關鍵.要基于教學目標和學生的認知規(guī)律來設計問題，要突出整體性原則、層次性原則、指向性原則和生長性原則.

(1)整體性原則.

問題設置形成一個整體的問題鏈，組成一個整體的問題解決單位，是問題解決教學的重要原則.在問題設置的時候，要基于教學目標和教學內(nèi)容從整體出發(fā)設置問題.在明確教學主題的情況下，圍繞主題設置不同的問題，這些問題形成一個整體的問題組.問題組之間的各個問題又是有邏輯關系的，要有一條線索，把問題組形成一個“問題鏈”.比如，本節(jié)課的教學線索是向量的“大小”和“方向”兩個屬性，在問題的設置中，把單位向量、零向量、共線向量、相等向量等眾多概念“一線串起”.整個課堂的問題解決始終圍繞這條主線進行，所有的問題形成有機的整體，有利于學生思維的開展和深入，有利于能力的提升和素養(yǎng)的發(fā)展.

(2)層次性原則.

學生的認知是有規(guī)律的，從容易到困難，從已知到未知，教學設計要遵循學生的認知規(guī)律.問題設置要注意問題之間的層次性.

第一，問題鏈中各個問題之間的層次性.由淺入深，循序漸進，層層遞進，各個問題之間環(huán)環(huán)相扣.比如本節(jié)課中，后問題常常是在前問題的基礎上跟進的，前問題是后問題的基礎，后問題是前問題的提升.

第二，各個問題本身的層次性.問題的難度要恰到好處，要貼近學生的“發(fā)展區(qū)”，既不能太容易，滯后于學生的認知水平，又不能太難，脫離學生的認知范圍.當出現(xiàn)困難的時候要善于“搭梯子”，通過“追問”的小問題來分解問題.

(3)指向性原則.

問題設置要圍繞目標，抓住本質(zhì)，指向明確.問題的題意要清晰，針對性強,要有利于學生構建知識，有利于教學目標的達成.要圍繞課堂主題來選取問題，圍繞教學過程中的教學功能來設置問題.不能是題意不清，讓學生不知所向的問題.比如，本節(jié)課的問題1-1，是為了引出話題，功能是引導學生“發(fā)現(xiàn)問題”，突出“向量”的本質(zhì)特征，同時在舊知之上探究新知，構建知識體系.

(4)生長性原則.

問題解決是學習形式，探究是學習方式，問題設置要有利于學生主動探究.學生按照問題行走，在解決問題的過程中能達成知識的創(chuàng)造，能力的提升，素養(yǎng)的發(fā)展.這是一種生長性，數(shù)學知識和學生素養(yǎng)的自然生長.開放性是重要的生長性，比如，問題1-2：你能分別舉幾個類似于位移和距離的量嗎？這是一個開放的問題，只有學生把握住位移與距離的本質(zhì)特征，才能完成這個問題，在這個基礎上抽象出“向量”的概念就水到渠成了.再比如，問題5：你能否畫出一個結(jié)構圖表示這節(jié)課所學的內(nèi)容？這個問題達到了整個課堂的高潮，學生在完成這個問題的過程中，自然概括了本節(jié)課的知識要點，并且厘清了各個概念之間的邏輯關系，知識和能力自然生長.

3 結(jié)束語

數(shù)學學科核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，[2]課堂教學的目標應指向數(shù)學學科核心素養(yǎng)的達成.課堂教學不能是“教師講學生聽”的方式，在教學活動中，應結(jié)合教學任務及其蘊含的數(shù)學學科核心素養(yǎng)設計合適的情境和問題，引導學生用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問題，使用恰當?shù)臄?shù)學語言描述問題，用數(shù)學的思想、方法解決問題，在問題解決的過程中，理解數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)，促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，[2]這是“問題解決教學”在新時代課程改革中的意義所在.