《數(shù)學(xué)通報(bào)》2508號(hào)問(wèn)題的加細(xì)與另證

黃傳軍

(江西贛州師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)系 341000)

《數(shù)學(xué)通報(bào)》2019年第10期數(shù)學(xué)問(wèn)題2508是：

在銳角△ABC中，有

此問(wèn)題黃兆麟老師把它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)相關(guān)不等式，利用三角函數(shù)關(guān)系和熟知的三角恒等式以及均值不等式和切比雪夫不等式巧妙地給出了證明.因?yàn)槿切尾坏仁街幸粋€(gè)常見(jiàn)的思路是邊角的相互轉(zhuǎn)化，本文就用這一思路把本題角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊線關(guān)系，并對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行加細(xì)研究，得到了下面的結(jié)論：

在銳角△ABC中，有

為了證明結(jié)論，先給出Bottema基本不等式以及幾個(gè)需要用到的三角恒等式.我們知道在△ABC中，若用p,R,r分別表示三角形半周長(zhǎng)，外接圓半徑，內(nèi)切圓半徑，則有Bottema基本不等式：

以及熟知的恒等式：

下面證明結(jié)論中的第一個(gè)不等式，

利用三角恒等式我們有

因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，

故p2>(2R+r)2，上式去分母得

?rRp2+(r2-4R2)rR≥(4R2-rR-2r2)p2-(2R+r)2(4R2-rR-2r2)

?(4R2-2rR-2r2)p2≤(r2-4R2)rR+(2R+r)2(4R2-rR-2r2)

?(R-r)p2≤4R3-2r2R-r3，

又由Bottema基本不等式右端：

知上式成立只需要證

顯然R=2r即△ABC是正三角形時(shí)，等號(hào)成立.否則，上式等價(jià)于

?(4R2-8rR+4r2)(R2-2rR)≤4R4-16rR3+20r2R2-8r3R+r4

?0≤r4，

這顯然成立.

再證第二個(gè)不等式，

下面證第三個(gè)不等式，利用給出的三角恒等式易知：

?p2≤12R2-12rR+3r2，

同樣由Bottema基本不等式右端：

知上式成立只需要證：

≤12R2-12rR+3r2

=(R-2r)(5R+r)，

顯然R=2r即△ABC是正三角形時(shí)，等號(hào)成立.

再證第四個(gè)不等式，同樣由三角恒等式知

?p2≥12rR+3r2，

這由Bottema基本不等式左端：

知上式成立只需要證：

≥12rR+3r2

顯然R=2r即△ABC是正三角形時(shí)，等號(hào)成立.