淺談函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

張宏斌

摘要：數(shù)學(xué)思想是人類在長(zhǎng)期的社會(huì)實(shí)踐以及理論推理中得出來的現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)公式之間的關(guān)系.而函數(shù)思想就是數(shù)學(xué)思想中的一種，在高中學(xué)習(xí)中，函數(shù)思想對(duì)學(xué)生們的解題做題有很重要的影響.可以這樣說函數(shù)思想貫穿學(xué)生高中學(xué)習(xí)的整個(gè)階段，數(shù)列問題、空間幾何問題，以及三角函數(shù)等學(xué)生們都可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)進(jìn)行解決.老師要養(yǎng)成學(xué)生們運(yùn)用函數(shù)解題的思想，在遇到新題型之后，探索是否能運(yùn)用函數(shù)解決問題.同樣函數(shù)教學(xué)在高中階段也非常的重要，因?yàn)樗呛芏鄦栴}解題的基礎(chǔ).

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);函數(shù)思想;問題轉(zhuǎn)化

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）18-0026-03

在高中學(xué)習(xí)一開始，學(xué)生們就會(huì)學(xué)習(xí)到各種函數(shù)，函數(shù)的各種性質(zhì)需要學(xué)生們熟練的掌握理解運(yùn)用.這些函數(shù)是學(xué)生們高中學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，一元二次方程中韋達(dá)定理和求根公式，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算法則等的應(yīng)用.

1 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用函數(shù)思想的意義

1.1 培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最重要的就是要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，也就是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解題的能力，常見的數(shù)學(xué)思想有數(shù)形結(jié)合、函數(shù)等，學(xué)生如果能夠運(yùn)用這些數(shù)學(xué)思想進(jìn)行解題，便能夠在一定程度上提高自身的數(shù)學(xué)解題能力，促進(jìn)自身的全面發(fā)展.如果教師在教學(xué)的過程中能夠滲透函數(shù)思想，那么學(xué)生不僅能夠更好的理解函數(shù)的意義，還能夠綜合不同的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，讓學(xué)生以一種系統(tǒng)的方式學(xué)習(xí)復(fù)雜的數(shù)學(xué)內(nèi)容.也就是說，學(xué)生將函數(shù)作為線索串聯(lián)了不同的數(shù)學(xué)知識(shí)，這有助于學(xué)生掌握復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)，幫助學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，同時(shí)也能夠鍛煉學(xué)生運(yùn)用函數(shù)思維解決數(shù)學(xué)題目的能力，有助于學(xué)生更好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí).

1.2 提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最重要的就是要培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，也是學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.如果教師在教學(xué)的過程中能夠滲透函數(shù)思想，那便意味著學(xué)生能夠逐步理解函數(shù)的基本內(nèi)涵，并且能夠?qū)⑵鋺?yīng)用在解決數(shù)學(xué)題的過程之中，函數(shù)是一種數(shù)學(xué)思想，運(yùn)用這種思維進(jìn)行解題能夠提高學(xué)生的解題能力，這對(duì)學(xué)生而言是一種高效學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的方法.所以，高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)的過程中要善于運(yùn)用函數(shù)思想進(jìn)行解題，并以此為范例讓學(xué)生知曉解題的過程和步驟，從而讓學(xué)生具備運(yùn)用函數(shù)思想進(jìn)行解題的意識(shí)，當(dāng)學(xué)生獲得這種解題意識(shí)之后，他們會(huì)在做題的過程中運(yùn)用函數(shù)思想，這有助于學(xué)生多個(gè)角度尋找解題的方向，有助于培養(yǎng)學(xué)生的解題能力.

2 在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用函數(shù)思想的措施

2.1 函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用

在高中階段學(xué)生們會(huì)接觸到數(shù)列，關(guān)于數(shù)列的題型大致分為數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的前n項(xiàng)和這兩個(gè).在每年的高考試卷中第17題不是數(shù)列題型就是解三角形，大多數(shù)情況下都是數(shù)列題型.在試卷的前面部分的選擇和填空題中也會(huì)出現(xiàn)數(shù)列的題型.可見，數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，相對(duì)其他題型而言，數(shù)列題也容易拿分，但是需要注意的是，不少數(shù)列題的難度較大，較為抽象，教師如果在數(shù)列教學(xué)的過程中滲透函數(shù)思想，有助于幫助學(xué)生更好地理解知識(shí)點(diǎn)，學(xué)習(xí)數(shù)列.

數(shù)列教學(xué)中最簡(jiǎn)單的就是等差數(shù)列和等比數(shù)列，整兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式很容易表示出來，并且也有相對(duì)的求和公式.其實(shí)我們可以把等差數(shù)列看做不連續(xù)的一次函數(shù)，等比數(shù)列則是不連續(xù)的指數(shù)函數(shù)，兩種數(shù)列對(duì)應(yīng)的前n項(xiàng)和公式也是如此.在學(xué)習(xí)數(shù)列的過程中，老師都會(huì)把數(shù)列給學(xué)生們寫在黑板上，但是在以后的解題過程中，更多人會(huì)把數(shù)列當(dāng)做一個(gè)函數(shù)來進(jìn)行解題.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sn>0，Sn+1<0，問當(dāng)n為何值時(shí)Sn最大？這是一個(gè)非常常見的數(shù)列題型，當(dāng)然，在實(shí)際的案例中也會(huì)有真正的數(shù)據(jù).首先我們要對(duì)解題中需要的數(shù)據(jù)進(jìn)行假設(shè)，之后再寫出Sn和Sn+1的表達(dá)式，判斷公差d的正負(fù)，根據(jù)題意解出答案.在這個(gè)過程中，就相當(dāng)于解函數(shù)題型.其實(shí)完全可以把這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn畫成圖像，圖像的兩個(gè)零點(diǎn)分別是原點(diǎn)和點(diǎn)A，n取值范圍在為（12，13）.

2.2 函數(shù)思想在三角函數(shù)中的運(yùn)用

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)重要的知識(shí)點(diǎn)之一.在必修四第一單元和一五第一單元都是對(duì)函數(shù)的講解，前者關(guān)于對(duì)三角函數(shù)的圖像以及規(guī)律，三角函數(shù)也是函數(shù)的一種，但是也有自己的特點(diǎn).如果將函數(shù)思想運(yùn)用到解決三角函數(shù)題型之中，學(xué)生對(duì)該題型的理解會(huì)更加深刻，在解題的過程中也會(huì)更加游刃有余.

一般在填空題最后一小題，選擇題中都會(huì)出現(xiàn)三角函數(shù).在選擇題中主要考察三角函數(shù)的二倍角公式的運(yùn)用以及函數(shù)圖像的平移問題;但是在填空題中，對(duì)于三角函數(shù)的考察難度較高，令很多學(xué)生望而生畏.函數(shù)的圖像平移規(guī)律都是一樣的，只不過在三角函數(shù)中增加了圖像的拉伸與壓縮，這對(duì)于學(xué)生們來說是一個(gè)新的知識(shí)點(diǎn).學(xué)生們要熟練地掌握二倍角公式，把題目中所有的角度都換成一個(gè)角度，之后再用換元進(jìn)行解決問題.這就要求學(xué)生們?cè)谡莆斩督枪降幕A(chǔ)上，還要了解正弦角、余弦角以及正切角之間的關(guān)系.在解三角形問題中，學(xué)生們要熟練的掌握邊角互換公式.這部分題型比較抽象，學(xué)生們僅靠思考可能沒有沒有正確的思路，在必要時(shí)候?qū)W生們可以通過畫圖加深對(duì)題型的理解.在運(yùn)用正弦定理和余弦定理的時(shí)候，通常需要確定三角形邊長(zhǎng)或者角度范圍，學(xué)生們可以運(yùn)用二次函數(shù)圖像確定范圍.在換元過程中，學(xué)生們要注意三角函數(shù)的取值范圍，在很多情況下學(xué)生們往往會(huì)忘記自己所設(shè)參數(shù)的取值范圍，而造成解題錯(cuò)誤的情況.

2.3 函數(shù)思想在解析幾何中的運(yùn)用

函數(shù)在幾何中的應(yīng)用是數(shù)形結(jié)合的完美闡釋，在中學(xué)階段學(xué)到的所有的圖形，都可以在二維坐標(biāo)系中用函數(shù)的形式表達(dá)出來.在必修二、選修1-1第二章、必修五的線性規(guī)劃中學(xué)生們都需要用到函數(shù)方程解決問題.所以，教師在講解幾何知識(shí)的時(shí)候，要善于將其與函數(shù)思想結(jié)合起來，并且要注重用深入淺出的方式進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，幫助學(xué)生更好得學(xué)習(xí)幾何知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

在幾何圖形中，最常見的就是用函數(shù)解決焦點(diǎn)、切線問題，其實(shí)是將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化的過程.在高考選擇的后兩題中，會(huì)有一道題是幾何題型的焦點(diǎn)問題或者最值問題.第18題多數(shù)學(xué)生也會(huì)選擇建立三維空間坐標(biāo)系解決問題.第20題被大部分學(xué)生稱為試卷上最難的題.這三道題都是將幾何問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題進(jìn)行解決，首先幾何問題是抽象的學(xué)生們?cè)诳紙?chǎng)上無法畫出標(biāo)準(zhǔn)的圖形以及焦點(diǎn)，所以學(xué)生們只能借助函數(shù)解出所求點(diǎn)的坐標(biāo).直線與其他圖形相交求焦點(diǎn)，將直線的方程代入其他圖形的方程，通常函數(shù)的交點(diǎn)就是所求方程的零點(diǎn)，韋達(dá)定理的熟練掌握是解題的關(guān)鍵所在.同樣這種問題看似復(fù)雜，其實(shí)如果學(xué)生們有思路，很容易得出答案，但是計(jì)算量會(huì)比較大.

2.4 函數(shù)思想在應(yīng)用題中的運(yùn)用

很多學(xué)生在思想中高中學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)和應(yīng)用沒有關(guān)系，在日常的練習(xí)中學(xué)生們可能會(huì)遇到關(guān)于統(tǒng)計(jì)類問題，這部分題型多以應(yīng)用題的形式展現(xiàn)，但是在高考中這僅僅作為一個(gè)很小的知識(shí)點(diǎn)，在填空選擇中出現(xiàn).所以，教師要能夠意識(shí)到函數(shù)知識(shí)與應(yīng)用題之間的密切聯(lián)系，并在教學(xué)的過程中借助例子讓學(xué)生親自認(rèn)識(shí)到二者之間的聯(lián)系，并幫助學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)思想解決應(yīng)用題，這不僅僅是為了解題，另一方面，這種方式也能夠幫助學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)知識(shí)，將其更好地內(nèi)化于心.

線性回歸方程就是將我們現(xiàn)實(shí)生活中的問題，通過統(tǒng)計(jì)運(yùn)用合適的函數(shù)表示出來.在選做題的學(xué)習(xí)中，學(xué)生們會(huì)了解到，運(yùn)用參數(shù)方程極坐標(biāo)方程表示不同的圖形，同樣這些方程也是函數(shù)在幾何中的應(yīng)用的一種表現(xiàn).在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)和統(tǒng)計(jì)案例的過程中，我們會(huì)接觸到一些生活中的優(yōu)化問題，多數(shù)情況下是將生活中的問題進(jìn)行統(tǒng)計(jì)制作表格，之后我們運(yùn)用二次函數(shù)找到其中的最大值或者最小值，其中也可以運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決部分問題.導(dǎo)數(shù)的定義是函數(shù)在各點(diǎn)處切線的斜率，這就會(huì)讓很多學(xué)生都不明白.老師可以將物理的知識(shí)和數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合，物理中最簡(jiǎn)單的路程、速度、加速度，三者之間的關(guān)系就是原函數(shù)和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.在路程時(shí)間圖像中斜率表示速度，而我們用路程除以時(shí)間也是速度，加速度也是如此，這樣學(xué)生們可以清楚的了解到導(dǎo)數(shù)的含義.在教學(xué)過程中學(xué)生們可能會(huì)遇到一些應(yīng)用問題，但是將應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的思想，需要學(xué)生們不斷思考.其實(shí)數(shù)學(xué)主要是對(duì)數(shù)字的學(xué)習(xí)，如果學(xué)生們能有這樣的思想，那么就會(huì)把所有的問題都轉(zhuǎn)化為函數(shù)的形式解決，并且在中學(xué)階段，幾乎所有的問題都可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)，在高考中90%的題型都可以運(yùn)用函數(shù)解決，這就需要學(xué)生們用好函數(shù)思想，在遇到題之后能將題中的信息轉(zhuǎn)化為函數(shù)的形式之后再通過函數(shù)的知識(shí)進(jìn)行解決.總之，教師要借助數(shù)學(xué)教學(xué)讓學(xué)生獲得這樣一種意識(shí)，即函數(shù)思想可以與應(yīng)用題相聯(lián)系，這對(duì)開拓學(xué)生的解題思維具有重要的作用.

2.5 函數(shù)思想在不等式題目中的應(yīng)用

構(gòu)造函數(shù)是將不等式知識(shí)與函數(shù)思想結(jié)合的體現(xiàn)方式.比如：求證ab+bc+ca+1≥0.如果只從不等式的角度出發(fā)進(jìn)行解題，那么該題的難度較大，很多學(xué)生無從下手.但是如果換個(gè)角度思想問題，那么該題的難度會(huì)降低很多.這種轉(zhuǎn)換角度具體而言就是轉(zhuǎn)換解題思路，借助構(gòu)造函數(shù)的方式將不等式問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題.在該題目中，教師引導(dǎo)學(xué)生將AB+BC+CA+1≥0轉(zhuǎn)化成函數(shù)，構(gòu)造F（A）=AB+BC+CA+1，在這種情況下，該題便發(fā)生了變化也就是說該題從不等式問題轉(zhuǎn)化成了一個(gè)函數(shù)問題，這是一個(gè)關(guān)于A 的函數(shù)，A的取值范圍是已知的，只要證明F（1）>F（-1），便能夠證明F（A）≥0.經(jīng)過這樣的轉(zhuǎn)化，題目不僅變得容易理解，而且解題過程也變得簡(jiǎn)單.從學(xué)生的角度考慮問題，他們是樂于接受這種函數(shù)轉(zhuǎn)化的.也就是說，教師要善于將函數(shù)知識(shí)與不等式知識(shí)結(jié)合起來，借助構(gòu)造函數(shù)的方式解決復(fù)雜抽象的不等式問題.教師要在教學(xué)的過程中為學(xué)生提供此類例題，從而加強(qiáng)學(xué)生的練習(xí)，讓學(xué)生掌握轉(zhuǎn)化的方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.總之，解決該題的關(guān)鍵就是構(gòu)造函數(shù)，這也就要求學(xué)生要具備一定的函數(shù)意識(shí)，在遇到具體的題目的時(shí)候要有一定的敏銳性，能夠靈活進(jìn)行轉(zhuǎn)化，簡(jiǎn)化做題步驟，降低解題難度.

在中學(xué)階段函數(shù)思想是一種解題有效的思想之一.多數(shù)的題目都可以通過轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題，通過函數(shù)解題不僅可以拓展學(xué)生們的思維，同時(shí)也非常的方便，它打破了傳統(tǒng)的學(xué)生思考問題的方法，將數(shù)字和圖形結(jié)合起來，可以清晰明了的讓學(xué)生們理解題目.函數(shù)思想的運(yùn)用減少了學(xué)生走彎路的情況，將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，幫助學(xué)生們找到題目的突破口，學(xué)生們提高成績(jī)有著非常重要的影響.

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