再談“陪位中線”

崔 浩

(北京市第十二中學(xué) 100071)

《數(shù)學(xué)通報(bào)》2019年第12期發(fā)表汪學(xué)思老師關(guān)于三角形陪位中線的文章(以下簡稱文[1])，讀后深受啟發(fā).巧合的是，筆者在長期數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)工作中，也發(fā)現(xiàn)三角形陪位中線有著廣泛的運(yùn)用，于是，在研讀文[1]的基礎(chǔ)上，對陪位中線從作法到證明，從性質(zhì)到應(yīng)用，以及學(xué)生在課堂上的若干意外生成，做了進(jìn)一步地研究與思考，僥幸有了一些新的發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)不揣淺陋，特向同行匯報(bào)一下自己的研究結(jié)果，以期得到專家的指正.

1 作法

考慮到三角形的陪位中線并非平面幾何中的主干內(nèi)容，為方便讀者，重溫陪位中線的定義：

圖1

如圖1，已知AD是△ABC(AB

圖2

(1)作法1如圖2，AD是△ABC(AB

(2)作法2如圖3，過B，C兩點(diǎn)作不過點(diǎn)A的圓O, 與直線AB、AC分別交于點(diǎn)F、G，F(xiàn)G的中點(diǎn)為M，AM與BC交于點(diǎn)E，則AE是△ABC邊BC上的陪位中線.

圖3

(3)作法3如圖4，作△ABC的外接圓O，分別過點(diǎn)B、C作圓O的切線，兩條切線交于點(diǎn)P，連接PA交BC于點(diǎn)E，則AE是△ABC邊BC上的陪位中線.

(說明：這里△ABC的內(nèi)角∠BAC是銳角，至于∠BAC是鈍角的情形，限于篇幅，留給有興趣的讀者完成.)

證明如圖4，記AP與圓O交于點(diǎn)Q，

連接BQ和CQ，

圖4

因?yàn)镻B是圓O的切線，

因?yàn)镻C是圓O的切線，

即AB·CQ=AC·BQ.

由托勒密定理得

AQ·BC=AB·CQ+AC·BQ,

又D為BC的中點(diǎn)，

所以AQ·2DC=2AC·BQ，

又∠AQB=∠ACD, 所以△AQB∽△ACD，

所以∠CAD=∠BAE，

即AE是△ABC邊BC上的陪位中線.

上面我們證明了△AQB∽△ACD，連接DQ，容易證明△AQB∽△CQD,所以△ACD∽△CQD，進(jìn)而得出∠ADC=∠CDQ，即射線DA與射線DQ關(guān)于BC對稱，在此基礎(chǔ)上可得出作法4.

(4)作法4如圖5，作射線DA關(guān)于BC對稱的射線，交△ABC的外接圓O于點(diǎn)F，連接AF交BC于點(diǎn)E，則AE是△ABC邊BC上的陪位中線.

證明如圖5，連接OA、OD，作半徑OG，使∠AOD=∠GOD,連接GB、GD、FC，則△AOD≌△GOD，所以DA=DG，∠ADO=∠GDO.

圖5

(5)作法5如圖6，作△ABC的外接圓O，連接OA，與AD的中垂線交于點(diǎn)O1，以O(shè)1為圓心以O(shè)1A為半徑的圓，交BC于點(diǎn)E，則AE是△ABC邊BC上的陪位中線.

圖6

(6)作法6如圖7，作邊AB的中垂線GM，交AD于點(diǎn)M，作邊AC的中垂線HN，交AD于點(diǎn)N，直線BM與CN交于點(diǎn)P，作直線AP交BC于點(diǎn)E，則AE是△ABC邊BC上的陪位中線.

圖7

所以∠ABM=∠BAM=θ-α,

因?yàn)镠N是邊AC的中垂線，

所以∠ACN=∠CAN=α,

(1)

(2)

因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，

所以ACsinα=ABsin(θ-α)，

所以sin(θ-β+α)-sin(θ-α+β)=0，

所以2sin(α-β)cosθ=0.

所以∠CAD=∠BAE，

所以AE是△ABC邊BC上的陪位中線.

2 性質(zhì)

如圖8，已知AD是△ABC邊BC上的中線，AE是△ABC邊BC上的陪位中線，則有下列四條常用性質(zhì).

圖8

性質(zhì)1(陪位中線長)

記AB=c,BC=a,CA=b，則

證明(1)見文[1]第54頁.

(2)由斯特瓦爾特定理得

b2BE+c2EC=a·BE·EC+a·AE2(*)，

由(1)和BE+EC=a可得

代入(*)并化簡得

(3)又由斯特瓦爾特定理可得

從性質(zhì)1(3)可以看出，三角形邊上的中線長不小于它對應(yīng)的陪位中線長.

性質(zhì)2如圖8-1，設(shè)N是AE上任一點(diǎn)，點(diǎn)N在AB、AC上的射影分別為P、Q，則

圖8-1

證明(1)因?yàn)镹在AB、AC上的射影分別為P、Q，所以

NP=ANsin∠BAE,NQ=ANsin∠CAE,

所以

因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，

所以ABsin∠BAD=ACsin∠CAD,

(2)又N在AB、AC上的射影分別為P、Q可得A,P,N,Q四點(diǎn)共圓，所以∠PAE=∠PQN,因?yàn)椤螧AE=∠CAD, 所以∠PQN=∠CAD, 所以PQ⊥AD.

值得注意的是，性質(zhì)(2)的證明沒有用到D是BC中點(diǎn)的條件.

性質(zhì)3如圖8-2，過B、C兩點(diǎn)的圓與AB、AC分別交于點(diǎn)F、G，F(xiàn)G分別與AE、AD交于點(diǎn)D1,E1，則AD1,AE1分別是△AFG的中線和陪位中線.

圖8-2

證明由題意，B,C,G,F四點(diǎn)共圓，

所以∠AFG=∠ACB, 因?yàn)椤螧AE=∠CAD,

所以△AFD1∽△ACD,

又由B,C,G,F四點(diǎn)共圓得△ABC∽△AGF,

因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以D1是FG的中點(diǎn)，

即AD1,AE1分別是△AFG的中線和陪位中線.

性質(zhì)4(有關(guān)外接圓)如圖8-3，若AE與△ABC外接圓O的交點(diǎn)為F，則

圖8-3

(1)射線DA、DF關(guān)于BC對稱；

(2)FE是△FBC的邊BC的陪位中線；

(3)四邊形ABFC是調(diào)和四邊形(1)若圓的內(nèi)接四邊形的對邊乘積相等，則稱此四邊形為調(diào)和四邊形..

所以BF=GC，且∠DBF=∠DCG，

因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，

所以△BFD≌△CGD，所以∠BDF=∠CDG，

因?yàn)椤螦DB=∠CDG，所以∠BDF=∠ADB，

即射線DA、DF關(guān)于BC對稱；

(2)由作法4，根據(jù)(1)的結(jié)論知：

FE是△FBC的邊BC的陪位中線；

(3)由題意得∠BAF=∠DAC，

因?yàn)椤螦FB=∠ACD,

所以△ABF∽△ADC，

所以AF·DC=BF·AC，

因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，

所以AF·BC=2BF·AC，

由托勒密定理得

AF·BC=BF·AC+FC·AB，

所以BF·AC=FC·AB，

故四邊形ABFC是調(diào)和四邊形.

3 應(yīng)用

例1(2011年全國高中聯(lián)賽加試第一題)如圖9，P，Q分別是圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC,BD的中點(diǎn)，若∠BPA=∠DPA，證明∠AQB=∠CQB.

證明記AC與BD交于點(diǎn)O，由題意，結(jié)合作法4知DO是△ACD的陪位中線，再由性質(zhì)4(3)知，四邊形ABCD是調(diào)和四邊形，

因?yàn)椤螦BQ=∠ACD，所以△ABQ∽△ACD.

因?yàn)椤螩BQ=∠CAD，所以△BCQ∽△ACD，

所以△ABQ∽△BCQ，故∠AQB=∠CQB.

圖9

例2(2013年東南數(shù)學(xué)奧林匹克)如圖10，在鈍角△ABC中，AB>AC，點(diǎn)O是其外心，邊BC、CA、AB的中點(diǎn)分別為D、E、F，中線AD與OF、OE分別交于點(diǎn)M、N，直線BM、CN交于點(diǎn)P,證明：OP⊥AP.

圖10

證明由題意，得FM、EN分別是AB、AC的中垂線，結(jié)合作法6，可得AP在邊BC的陪位中線上，

所以∠BAM=∠ABM=∠PAC,

∠NAC=∠NCA=∠BAP，

因?yàn)镋、F分別是AC、AB的中點(diǎn)，

所以△BFP∽△AEP，所以∠BFP=∠AEP,

故F,P,E,A四點(diǎn)共圓，

由OF⊥AB,OE⊥AC得O,F,E,A四點(diǎn)共圓，

所以O(shè),F,P,E,A五點(diǎn)共圓，

所以∠OPA=∠OEA=90°,即OP⊥AP.

例3(2000年全國高中聯(lián)賽加試第一題)如圖11，銳角△ABC的邊BC邊上有兩點(diǎn)E、F，滿足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB,FN⊥AC(M,N為垂足)，延長AE交三角形ABC的外接圓于點(diǎn)D，證明：四邊形AMDN與△ABC的面積相等.

圖11

4 文[1]拾遺

例4(文[1]例7) 如圖12，在△ABC中，AB>AC，過點(diǎn)A作△ABC的外接圓⊙O的切線，與BC的延長線交于點(diǎn)D，E為AD的中點(diǎn)，BE與⊙O交于點(diǎn)F，求證：AF在△ACD的邊BC的陪位中線上.

圖12

分析文[1]中給出的兩種證明都用了性質(zhì)，若回到定義中去證明，則想法更自然、過程更簡潔.

證明取CD的中點(diǎn)M，由題意EM是△ACD的中位線，所以∠DEM=∠DAC,

因?yàn)椤螪AC=∠ABD，所以∠DEM=∠ABD，故A,B,M,E四點(diǎn)共圓，

所以∠MAD=∠DBE,

因?yàn)椤螩AF=∠DBE，所以∠CAF=∠MAD，

所以AF在△ACD的邊BC的陪位中線上.

例5(文[1]例5)如圖13，在△ABC中，已知頂點(diǎn)A、重心G和其經(jīng)過A點(diǎn)的陪位中線所在直線與△ABC外接圓的交點(diǎn)S，然后擦去點(diǎn)B、C及其外接圓，請從保留的三個已知點(diǎn)A,G,S出發(fā)，作圖畫出原△ABC.

圖13

文[1]中的解法可概括為如下六個步驟，如圖13-1：

圖13-1

②以M為圓心，以MS為半徑作圓c1；

③設(shè)AM的延長線交圓c1于點(diǎn)T；

④作△AST的外接圓c2；

⑤過M作TS的平行線交圓c2于點(diǎn)B、C；

⑥連接A、B、C，則△ABC即為所求.

上述解法完全正確，筆者由衷佩服文[1]作者超強(qiáng)的解題能力，但從我的學(xué)生角度看，他們對解題過程一定會心生疑惑，如在第②、③兩步，怎么想到要作點(diǎn)T？第⑤步作TS的平行線，學(xué)生很難想到.如果做法不能給出自然、平實(shí)的解釋，那么很難內(nèi)化為學(xué)生的能力，無疑會使解題教學(xué)的效益大打折扣.事實(shí)上，若學(xué)生掌握了陪位中線性質(zhì)4(2)，下面的作法就可以自然生成，如圖13-2：

圖13-2

②連接MS，作∠AMS平分線所在的直線l；

③過點(diǎn)M作直線l的垂線l1；

④作AS的中垂線與直線l1的交點(diǎn)記為O；

⑤以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑的圓與直線l的交點(diǎn)為B,C；

⑥連接A、B、C，則△ABC即為所求.

5 結(jié)束語

綜上所述，陪位中線是三角形中的重要元素，本文所匯集的幾種陪位中線的作法，大多由競賽輔導(dǎo)教學(xué)中師生思維火花碰撞而成，所附帶的作法證明，主要通過構(gòu)造三角形相似、利用四點(diǎn)共圓以及三角計(jì)算完成，這又為平面幾何證明提供了豐富的訓(xùn)練素材.至于陪位中線性質(zhì)的提煉，基本是教學(xué)中師生互動探究的結(jié)果.實(shí)踐表明，帶領(lǐng)學(xué)生系統(tǒng)地研究陪位中線作法、性質(zhì)及其證明，對學(xué)生在復(fù)雜的問題情境中識別陪位中線問題的模型，預(yù)判解決(證明)問題的方向，大幅度提升解決問題的能力，是非常有益的.