計(jì)算機(jī)自動(dòng)生成數(shù)學(xué)命題
——以三元均值不等式的加強(qiáng)為例

彭翕成 曹洪洋

(1.華中師范大學(xué) 國(guó)家數(shù)字化學(xué)習(xí)工程技術(shù)研究中心 430079；2.常州九章教育科技有限公司 213002)

數(shù)學(xué)命題是數(shù)學(xué)研究的重要部分.如果沒有好的題目源源不斷地“生產(chǎn)”出來，解題研究也難以持續(xù)發(fā)展.然而，發(fā)現(xiàn)一個(gè)好的命題并不容易.

設(shè)a，b，c為正數(shù)(下同)，求證：a3+b3+c3≥3abc+a(b-c)2+b(c-a)2+c(a-b)2.

這是華東師范大學(xué)《數(shù)學(xué)教學(xué)》(1985年第三期)上的一題.供題人冷崗松教授在《數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題的若干命題策略》中講述此題的發(fā)現(xiàn)經(jīng)歷.他給學(xué)生講解瑞典1983年試題abc≥(-a+b+c)·(a+b-c)(a-b+c)時(shí)，一個(gè)學(xué)生采取“暴力展開”，于是有了發(fā)現(xiàn).

我們簡(jiǎn)單還原一下.展開計(jì)算

abc-(-a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)

=a3+b3+c3-a2b-ab2-b2c-bc2-a2c-ac2+3abc

=a3+b3+c3-3abc-a2b-ab2-b2c-bc2-a2c-ac2+6abc

=a3+b3+c3-3abc-a(b-c)2-b(c-a)2-c(a-b)2,

于是

abc≥(-a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)

等價(jià)于

a3+b3+c3

≥3abc+a(b-c)2+b(c-a)2+c(a-b)2.

這一發(fā)現(xiàn)的過程抽象出來，即是曾經(jīng)研究問題A，后來研究問題B，發(fā)現(xiàn)A和B之間的關(guān)聯(lián)，于是得到命題C.這從側(cè)面反映出命題之艱辛.首先是命題者需要長(zhǎng)期積累，掌握足夠多的素材，然后在接收新信息時(shí)，新老信息相互撞擊，才可能有新的發(fā)現(xiàn).此題若沒有學(xué)生的“魯莽”計(jì)算，發(fā)現(xiàn)也將擦身而過.說明命題除了需要大量積累和廣泛聯(lián)系，有時(shí)可能還需要一點(diǎn)運(yùn)氣.

有沒有簡(jiǎn)單的方法，量產(chǎn)數(shù)學(xué)命題，就像現(xiàn)在的工農(nóng)業(yè)已經(jīng)實(shí)現(xiàn)機(jī)械化生產(chǎn)一樣？本文將以三元算術(shù)幾何均值不等式的加強(qiáng)為例，分享我們借助計(jì)算機(jī)探索命題的心得.

1 建立模型

由于目前的計(jì)算機(jī)還不能像人一樣思考問題，所以我們需要將研究問題轉(zhuǎn)化成計(jì)算機(jī)能處理的形式，或者說是將研究問題具體化：探索a3+b3+c3≥3abc+T，其中T≥0.為了使研究不致于漫無目的，需確定T的形式以及相關(guān)參數(shù)的范圍，以便操作.這也是建立模型的過程.

設(shè)T=f(a,b,c)+f(b,c,a)+f(c,a,b)，f(a,b,c)=k1(a+k2b+k3c)(k4a+k5b+k6c)2，

這樣所得的T是循環(huán)對(duì)稱多項(xiàng)式，符合我們的習(xí)慣審美.而f(a,b,c)的形式是憑經(jīng)驗(yàn)建立，并不能保證這樣形式的T一定存在，還需試驗(yàn)檢驗(yàn).如不要求T是循環(huán)對(duì)稱式，或是放開參數(shù)的范圍，可得到更多的T.

根據(jù)乘法原理，T的可能取值為3×5×5×5×5×5=9375個(gè)，遠(yuǎn)超過人工所能處理的范圍.由于變量實(shí)在太多，即使借助計(jì)算機(jī)，解不等式a3+b3+c3≥3abc+T≥3abc也頗為不易.我們此處不解不等式，而是搜索驗(yàn)證給定范圍內(nèi)符合要求的T.下面借助符號(hào)計(jì)算軟件Mathematica來進(jìn)行處理.

2 數(shù)據(jù)分析

對(duì)于可能的9375個(gè)T，每一個(gè)T都對(duì)應(yīng)著不等式a3+b3+c3≥3abc+T≥3abc.這其中絕大多數(shù)T不符合要求.而排除不合要求的T，最直接的方式就是舉反例.

篩選數(shù)據(jù)計(jì)算機(jī)隨機(jī)生成一組正數(shù)，賦值給a,b,c，并對(duì)9375個(gè)不等式a3+b3+c3≥3abc+T≥3abc進(jìn)行驗(yàn)證，可排除部分T.對(duì)這一操作重復(fù)執(zhí)行3000次，能通過數(shù)值驗(yàn)算的T只有幾十個(gè).

如a(b-c)2+b(c-a)2+c(a-b)2與a(c-b)2+c(b-a)2+b(a-c)2，看似有差別，實(shí)則一樣，保留一個(gè)即可.最后，我們選取如下8個(gè).

a2(a-b)+b2(b-c)+c2(c-a)……(t7)，

a(b-c)2+b(c-a)2+c(a-b)2……(t8).

3 證明檢驗(yàn)

特例法，我們?nèi)粘＝忸}時(shí)也經(jīng)常用，只不過人工舉例，特例的個(gè)數(shù)少，可能出錯(cuò)的可能性就大.而利用計(jì)算機(jī)的快速計(jì)算，經(jīng)過上千次的檢驗(yàn)，錯(cuò)誤的可能性就低.因此所得的8個(gè)T，大概率保證是符合要求的.為進(jìn)一步檢驗(yàn)這些不等式的正確性，我們將GroebnerBasis算法加以改進(jìn)，讓計(jì)算機(jī)自動(dòng)生成多項(xiàng)式之間的關(guān)系式，也就是將要求證的關(guān)系式改寫成若干非負(fù)項(xiàng)之和：

對(duì)于t1，不妨設(shè)c=min(a,b,c)，

a3+b3+c3-3abc

因此a3+b3+c3≥3abc+t1≥3abc得證.

對(duì)于t2，

a3+b3+c3-3abc

+b(a-c)2+c(b-a)2；

=a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)(舒爾不等式形式)；

因此a3+b3+c3≥3abc+t2≥3abc得證.

對(duì)于t3，

a3+b3+c3-3abc

因此a3+b3+c3≥3abc+t3≥3abc得證.

對(duì)于t4，

a3+b3+c3-3abc

因此a3+b3+c3≥3abc+t4≥3abc得證.

剩余4式，證法基本類似，留與讀者證明.

4 直觀顯示

一次得到多個(gè)結(jié)論的同時(shí)，又有新問題冒出，即所得這些T之間的相互比較.首先要注意存在兩個(gè)T無法比較的可能.譬如t1和t2.

當(dāng)a=1，b=1，c=2時(shí)，

當(dāng)a=2，b=1，c=2時(shí)，

所以t1和t2之間不可比較.

我們?nèi)圆捎脭?shù)值檢驗(yàn)方法.從T中任選兩項(xiàng)ti和tj，計(jì)算得到ti-tj的正負(fù)號(hào)，隨機(jī)對(duì)a,b,c賦值，重復(fù)執(zhí)行3000次.若1000次結(jié)果都為非負(fù)，輸出ti≥tj；若3000次結(jié)果都為非正，輸出ti≤tj；其余情況，則不輸出.

為了更直觀地顯示，有必要借助圖論中有向圖的概念，將一個(gè)T看成一個(gè)點(diǎn)，若ti≤tj，則ti→tj，即生成一條有向邊，不等式中較小的項(xiàng)指向較大的項(xiàng)，于是可得到一個(gè)不等式的關(guān)系圖(圖1).正如上文所說，t1和t2之間不可比較，因此兩者之間無邊相連.另外，t6,t8不在圖1中，說明這兩個(gè)T互相之間不可比較.

圖1

如果設(shè)a3+b3+c3……(t9)，3abc……(t10)，重新生成不等式關(guān)系圖(圖2).因?yàn)槎嗔丝杀容^對(duì)象，因此t6,t8在圖2中出現(xiàn).顯然t9最大，而t10與t1～t8無法比較強(qiáng)弱.

至此，我們通過建立模型、分析數(shù)據(jù)、證明檢驗(yàn)、直觀顯示四個(gè)步驟，探索了三元均值不等式的加強(qiáng)，所得的結(jié)論可為教學(xué)、考試、研究等提供素材.本文研究如果單靠人工，需花費(fèi)較多時(shí)間.而這樣的工作量對(duì)于計(jì)算機(jī)則是小菜一碟.在考慮成熟，建立合適的模型以及編寫好程序之后，計(jì)算機(jī)輸出8個(gè)T以及作圖1、2，總共無需2分鐘，這樣就能把節(jié)省下來的時(shí)間投入到更有創(chuàng)造力的研究中去.

萊布尼茲認(rèn)為，一個(gè)出色的人像奴隸一樣把時(shí)間浪費(fèi)在計(jì)算上是不值得的.如果有了機(jī)器，這種工作可以放心地交給任何人.意思是不要把時(shí)間浪費(fèi)在加減乘除這樣煩瑣的腦力勞動(dòng)上.推而廣之，還有哪些腦力勞動(dòng)可以讓計(jì)算機(jī)來幫助完成？吳文俊先生認(rèn)為這其中大有可為.工業(yè)革命是使用某種機(jī)器來減輕甚至代替體力勞動(dòng)，現(xiàn)在是信息技術(shù)時(shí)代，可利用計(jì)算機(jī)來減輕甚至代替腦力勞動(dòng).計(jì)算機(jī)對(duì)于數(shù)學(xué)家，勢(shì)將與顯微鏡對(duì)于生物學(xué)家，望遠(yuǎn)鏡對(duì)于天文學(xué)家那樣不可或缺.計(jì)算機(jī)提供了有力工具，使數(shù)學(xué)有 可能像其他自然科學(xué)一樣，躋身科學(xué)試驗(yàn)行列.

目前初等數(shù)學(xué)的研究，主要還是紙筆手算.大數(shù)據(jù)時(shí)代，數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析已成為中學(xué)數(shù)學(xué)需要培養(yǎng)的核心素養(yǎng).能否針對(duì)要研究的初等數(shù)學(xué)問題建立數(shù)學(xué)模型，并借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)據(jù)計(jì)算和分析，批量處理一類問題？本文的探索表明，完全可行.同時(shí)本文也為中學(xué)數(shù)學(xué)建模提供了參考案例.由于中學(xué)生知識(shí)水平、投入精力等多方面的限制，研究一些生活、生產(chǎn)問題存在多方面的困難，而研究初等數(shù)學(xué)內(nèi)部的一些問題可能更具有可操作性.