轉(zhuǎn)變數(shù)學(xué)知識觀 做好單元教學(xué)設(shè)計(jì)

薛紅霞

(山西省教育科學(xué)研究院 030009)

本輪課改以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱“課標(biāo)”)在凝練數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)上，更新了學(xué)科內(nèi)容，“重視以學(xué)科大概念為核心，使課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，以主題為引領(lǐng)，使課程內(nèi)容情境化，促進(jìn)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí)．”在“教學(xué)建議”中，課標(biāo)指出：教師要以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，抓住函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動等內(nèi)容主線，明晰數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在內(nèi)容體系形成中表現(xiàn)出的連續(xù)性和階段性，引導(dǎo)學(xué)生從整體上把握課程，實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展．新教材的實(shí)施過程中我們發(fā)現(xiàn)，在落實(shí)課標(biāo)的這些理念和要求上，單元教學(xué)具有強(qiáng)大作用．

單元教學(xué)區(qū)別于知識點(diǎn)教學(xué)，它選擇比知識點(diǎn)更上位的“核心知識”，挖掘知識蘊(yùn)含的學(xué)科視角、數(shù)學(xué)思想和方法，在“一般觀念”的統(tǒng)領(lǐng)下設(shè)計(jì)教學(xué)活動．單元教學(xué)旨在促進(jìn)學(xué)生開展持續(xù)、深刻的探究活動，在習(xí)得知識、熟練技能的過程中，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)基本思想，積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)，提升發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，使數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落實(shí)在獲得“四基”、發(fā)展“四能”的過程中．單元教學(xué)的實(shí)施并不苛求集中在一個時段內(nèi)完成，可以通過“單元設(shè)計(jì)——課時教學(xué)”的方式完成，這種方式與當(dāng)下普遍采用的課時教學(xué)銜接，容易被廣大教師接受并實(shí)踐．

基于上述思考，本文探討如何通過單元教學(xué)設(shè)計(jì)，撬動知識點(diǎn)教學(xué)中形成的固有思維，形成核心素養(yǎng)落實(shí)于課堂教學(xué)的策略與方法．

1 從知識點(diǎn)到“一般觀念”，讓單元教學(xué)設(shè)計(jì)破繭而出

教學(xué)設(shè)計(jì)由教師的知識觀主導(dǎo)．在人民教育出版社普通高中教科書數(shù)學(xué)(A版)教師教學(xué)用書中寫到：“教科書除了介紹……基本知識，還特別注意指引學(xué)生‘如何研究一類數(shù)學(xué)對象’，即引入一個新的數(shù)學(xué)對象后，需要研究些什么，研究方法是什么等等”[1:15]，即在教材編寫中“貫穿研究一個數(shù)學(xué)對象的基本套路……”[2:30]，這些都是“……研究中的‘一般觀念’”[3:160]．站在“一般觀念”的視角審視數(shù)學(xué)知識，超越碎片化的知識觀，追求數(shù)學(xué)的整體性，自然生成的就是單元教學(xué)設(shè)計(jì)．

1.1 自下而上追溯“一般觀念”

明確統(tǒng)領(lǐng)一個單元的“一般觀念”是做好單元教學(xué)設(shè)計(jì)的前提．從實(shí)踐的角度出發(fā)，一個可行的方法是從具體單元的知識內(nèi)容出發(fā)，對研究同類對象或問題中的數(shù)學(xué)思想和方法的共性進(jìn)行歸納，從而獲得研究此類對象或問題的一般觀念．其路徑如圖1所示．

以“直線與平面垂直”為例，可以按照如圖2所示的路徑追溯“一般觀念”：

第一層，以教科書為依據(jù)，列舉單元內(nèi)容，得到概念、判定、性質(zhì)等；

第二、三層，是依據(jù)知識的共性將之分類整理，逐級抽象；

第四層，抽象得到研究幾何圖形思路的“一般觀念”，即“研究視角”：“研究圖形的位置關(guān)系，就是對它們的組成元素之間位置關(guān)系的研究”[2:157].

按照這個“一般觀念”，研究直線與平面垂直的判定，就是要研究直線與平面內(nèi)直線的位置關(guān)系；已知直線與平面垂直的性質(zhì)，是轉(zhuǎn)化為研究直線、平面內(nèi)的直線，以及與相關(guān)直線、平面之間的位置關(guān)系，比如與已知直線平行或垂直的直線、平面，與已知平面平行或垂直的直線、平面等．直線與平面所成的角是轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)某條特殊直線所成的角．

換一個角度審視第一層，如果只看具體知識，它們是孤立零散的，這是課時教學(xué)設(shè)計(jì)采用的知識觀．在“一般觀念”指導(dǎo)下研究位置關(guān)系，則要強(qiáng)調(diào)研究的“基本套路”：實(shí)例→定義→性質(zhì)→判定→應(yīng)用．對于一個具體的研究對象，比如“直線與平面垂直”，這個“套路”可以具體化為：實(shí)例→直線與平面垂直的定義、表示、唯一性(過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條)→應(yīng)用(點(diǎn)到平面的距離)→判定定理→應(yīng)用(直線與平面相交的刻畫：直線與平面成的角)→性質(zhì)定理→應(yīng)用(直線到平面的距離，兩個平行平面間的距離)，如圖2所示．

圖2

事實(shí)上，尋找“一般觀念”還有一個捷徑，即在教科書和教師用書中尋找，這是教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)與教育教學(xué)理論相結(jié)合，高效快捷地理解教材的過程．

1.2 自上而下形成單元教學(xué)設(shè)計(jì)

明確“一般觀念”為教學(xué)設(shè)計(jì)指明了方向，并構(gòu)建了教科書與教學(xué)之間的橋梁．“一般觀念”不僅在單元教學(xué)中起統(tǒng)領(lǐng)作用，而且可以轉(zhuǎn)化為教學(xué)過程中的具體問題，從而直接推動教師的教和學(xué)生的學(xué)．下面我們依據(jù)圖2，給出“直線與平面垂直”的教學(xué)設(shè)計(jì)．

(1)以“一般觀念”為指導(dǎo)構(gòu)建先行組織者

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“空間直線、平面的平行”，擁有一定的研究幾何圖形位置關(guān)系的經(jīng)驗(yàn).通過問題1，引導(dǎo)學(xué)生歸納已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，構(gòu)建本單元的學(xué)習(xí)路徑，形成先行組織者．

問題1在日常生活中，我們對直線與平面垂直有很多感性認(rèn)識．比如，旗桿與地面的位置關(guān)系(圖3)，大橋的橋柱與水面的位置關(guān)系，相鄰墻面交線與地面的位置關(guān)系等，都給我們以直線與平面垂直的形象．接下來我們就以這些日常經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)展開“直線與平面垂直”的研究．

圖3

類比直線、平面平行的研究，對于直線與平面垂直，你認(rèn)為要研究哪些內(nèi)容？按怎樣的程序展開研究？研究思路是什么？

簡答：

研究內(nèi)容是直線與平面垂直的定義、判定、性質(zhì)等．

研究的程序是基于情境，抽象出定義，再利用定義、基本事實(shí)等，借助實(shí)物、模型等進(jìn)行直觀，歸納、猜想判定定理、性質(zhì)定理，再用適當(dāng)方法進(jìn)行證明．

研究思路是“空間問題平面化”，這里是將直線與平面的垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)直線的垂直關(guān)系進(jìn)行研究．

該問題是依據(jù)圖2中第一層和第四層的“一般觀念”設(shè)計(jì)的．由第一層可以確定研究內(nèi)容，由第四層的“一般觀念”確定研究視角，由此可以給出本單元的課時劃分：第一課時研究直線與平面垂直的定義、判定，及其相關(guān)知識和應(yīng)用．第二課時研究直線與平面垂直的性質(zhì)，及其相關(guān)知識和應(yīng)用．

(2)以“一般觀念”為指導(dǎo)探索定義、定理

圍繞本單元研究內(nèi)容：直線與平面垂直的定義、判定和性質(zhì)，依據(jù)問題1總結(jié)的“研究思路”，設(shè)計(jì)如下問題．

問題2如圖4，在陽光下觀察直立于地面的旗桿AB及它在地面的影子BC．隨著時間的變化，影子BC的位置在不斷地變化，旗桿所在直線AB與其影子BC所在直線是否保持垂直？

圖4

問題3根據(jù)定義可以進(jìn)行判斷，但無法驗(yàn)證一條直線與一個平面內(nèi)的所有直線都垂直．那么，有沒有可行的方法？如圖5，準(zhǔn)備一塊三角形的紙片ABC，過△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD，DC與桌面接觸)．

圖5

(1)折痕AD與桌面垂直嗎？

(2)如何翻折才能使折痕AD與桌面垂直?為什么？

問題4上一節(jié)課的課后作業(yè)讓大家梳理直線與平面平行、平面與平面平行的性質(zhì)的學(xué)習(xí)過程，并歸納“性質(zhì)”所研究的問題，然后通過類比，提出直線與平面垂直的性質(zhì)所要研究的問題，猜想性質(zhì)定理并嘗試證明猜想．哪位同學(xué)來說一說直線與平面垂直的性質(zhì)所要研究的問題是什么？

問題2和問題3中創(chuàng)設(shè)了生活情境，是依據(jù)數(shù)學(xué)教育心理學(xué)，先給出典型例證，再分析實(shí)例的基礎(chǔ)上，抽象概括出定義或猜想，這是依據(jù)“一般觀念”確定的研究程序，是在落實(shí)問題1．

這3個問題中隱含了圖2中第四層的“一般觀念”，即“研究視角”．分別是：問題2中將旗桿與地面的位置關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為旗桿與它在地面上影子的位置關(guān)系問題．問題3中為了探索當(dāng)紙片豎立時折痕何時與桌面垂直，轉(zhuǎn)化為折痕與底邊的位置關(guān)系問題．問題4是第二課時的第一個問題，在“一般觀念”指導(dǎo)下，讓學(xué)生先梳理，再探索已知線面垂直能推出哪些結(jié)論．

通過問題4，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到可以研究與已知直線、平面相關(guān)的直線和平面的位置關(guān)系，提出如下猜想，然后再通過推理論證，逐一檢驗(yàn)真?zhèn)危?/p>

已知直線a⊥平面α，直線b不在平面α中，β是和α不重合的平面．

(1)當(dāng)b∥a時，b⊥α；

(2)當(dāng)b∥α?xí)r，b⊥a；

(3)當(dāng)b⊥a時，b∥α；

(4)當(dāng)b⊥α?xí)r，b∥a；

(5)當(dāng)β⊥a時，β∥α；

(6)當(dāng)β∥a時，β⊥α；

(7)當(dāng)β∥α?xí)r，β⊥a；

(8)當(dāng)β⊥α?xí)r，β∥a；等等．

教學(xué)實(shí)踐表明，學(xué)生確實(shí)可以在“一般觀念”指導(dǎo)下，獨(dú)立提出上述猜想。所以“一般觀念”在提升學(xué)生的“四能”中可以發(fā)揮非常積極的作用．

(3)通過“一般觀念”促進(jìn)學(xué)生課后自主探索

第一課時的課后作業(yè)可以有鞏固性作業(yè)，還可以布置探索性作業(yè)，比如可以布置如下作業(yè)：

根據(jù)問題1，接下來我們要研究直線與平面垂直的性質(zhì)．請你梳理直線與平面平行、平面與平面平行的性質(zhì)的學(xué)習(xí)過程，并歸納“性質(zhì)”所研究的問題，類比提出直線與平面垂直的性質(zhì)所要研究的問題，猜想性質(zhì)定理并嘗試證明猜想．

該作業(yè)體現(xiàn)了本單元用到的兩個“一般觀念”，即問題1得到的研究內(nèi)容和研究思路．

站在更大的單元的角度審視，本單元結(jié)束后還可以布置作業(yè)：

關(guān)于位置關(guān)系，目前還剩兩個平面垂直沒有研究，你能類比本單元的研究過程，對兩個平面垂直的問題進(jìn)行研究嗎？請你試一試，并寫出你的研究報告．

2 理性認(rèn)識“一般觀念”，為單元教學(xué)設(shè)計(jì)奠基

如上結(jié)合案例感受了“一般觀念”在做單元教學(xué)設(shè)計(jì)時的重要作用，接下來要梳理清楚其內(nèi)涵和外延，為做好單元教學(xué)設(shè)計(jì)奠定認(rèn)知基礎(chǔ)．

章建躍認(rèn)為[4]“所謂一般觀念，是對內(nèi)容及其反映的數(shù)學(xué)思想和方法的進(jìn)一步提煉和概括，是對數(shù)學(xué)對象的定義方式、幾何性質(zhì)指什么、代數(shù)性質(zhì)指什么、函數(shù)性質(zhì)指什么、概率性質(zhì)指什么等問題的一般性回答，是研究數(shù)學(xué)對象的方法論，對學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的方式對事物進(jìn)行觀察、思考、分析以及發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題等都具有指路明燈的作用．顯然，能自覺地運(yùn)用一般觀念指導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與探究活動，是學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)的標(biāo)志，是從‘知其然’到‘知其所以然’再到‘何由以知其所以然’的過程，也是理性思維得到良好發(fā)展的表現(xiàn)．”以此為指導(dǎo)，我們可以從學(xué)習(xí)對象、學(xué)生心理、知識發(fā)生發(fā)展過程等角度對“一般觀念”作更具體的闡釋．

2.1 依據(jù)一個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象的“研究套路”規(guī)劃研究內(nèi)容

相近的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象，有相似的知識結(jié)構(gòu)，通過類比可以確定要研究的具體內(nèi)容，即發(fā)揮“研究套路”的作用．

“直線與平面垂直”和“直線與平面平行”類似，因此可以類比“直線與平面平行”，確定“直線與平面垂直”的“研究套路”，即問題1中得到的研究內(nèi)容：定義→判定→性質(zhì)→應(yīng)用．

向上追溯，可以得到“立體幾何”關(guān)于直線、平面位置關(guān)系的研究套路(如圖6)：

圖6

圖6中部分內(nèi)容在平面幾何中已經(jīng)研究過，由此可見“研究套路”的重要性，它凸顯了數(shù)學(xué)知識的整體性、聯(lián)系性．學(xué)生已經(jīng)擁有豐富的關(guān)于空間中直線、平面位置關(guān)系的研究經(jīng)驗(yàn)，教學(xué)設(shè)計(jì)要利用它在幾何體系中進(jìn)行，這是做單元設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)．

“一般觀念”具有層級性，對應(yīng)的單元可以有不同的容量，即單元的大小具有相對性．比如，可以將“直線與平面垂直”設(shè)計(jì)為一個單元，還可以將“空間直線、平面的垂直”設(shè)計(jì)為一個單元．教師根據(jù)自己的駕馭能力和學(xué)生的自我調(diào)控能力、自主學(xué)習(xí)能力等選擇適宜的單元容量即可．

繼續(xù)向上追溯，可以得到“立體幾何”的“研究套路”．它是對立體幾何研究的指導(dǎo)，有了這個“套路”，才能明晰立體幾何的整體研究規(guī)劃．

2.2 依據(jù)數(shù)學(xué)教育心理學(xué)確定的“研究路徑”設(shè)計(jì)研究程序

不同數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)心理學(xué)路徑不同．比如數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的路徑是：豐富典型例證——觀察比較分析——抽象本質(zhì)特征——習(xí)得定義——辨析理解概念——應(yīng)用掌握概念．學(xué)習(xí)直線與平面垂直的定義，問題2提供了典型例證之一，緊接其后還有變式例證，通過對例證的觀察比較分析，抽象出共同特征，進(jìn)而得到定義，再進(jìn)行辨析、應(yīng)用．

在“直線與平面垂直”中，判定定理獲得的心理學(xué)路徑與定義形成的路徑基本一致：豐富典型例證——觀察比較分析——抽象本質(zhì)特征——獲得猜想——論證反駁——獲得定理——辨析理解定理——應(yīng)用掌握定理．獲得性質(zhì)定理的路徑稍有差異：提出問題——獲得猜想——論證反駁——獲得定理——辨析理解定理——應(yīng)用掌握定理．

這些“研究路徑”在“直線與平面垂直”的教學(xué)設(shè)計(jì)中對應(yīng)的具體問題，此處不予贅述．

不同的課型，如概念課、定理課、規(guī)則課、習(xí)題課、復(fù)習(xí)課，策略課等，其心理學(xué)路徑不盡相同，對應(yīng)的“研究路徑”也有差異，但它們又可以統(tǒng)一．章建躍博士曾經(jīng)提出一個較上位的具有普適性的方法[5,6]，如圖7：

圖7

2.3 依據(jù)數(shù)學(xué)知識內(nèi)在規(guī)律確定的“研究思路”“研究方法”，明確針對哪些因素進(jìn)行研究或者用什么方法研究，即明確研究視角

立體幾何的研究方法總體而言是從整體到局部，從宏觀到微觀，從定性到定量，但每一部分的研究思路又有差異，如圖8所示．圖中第二至四層概述了立體幾何的研究內(nèi)容．第一層給出了不同內(nèi)容對應(yīng)的“研究思路”，前述問題2至4就是據(jù)此設(shè)計(jì)的．單元設(shè)計(jì)時，可以依據(jù)第一層給出的“一般觀念”進(jìn)行．

圖8

不同數(shù)學(xué)主題，因?yàn)檠芯繉ο蟮念愋筒煌?，所以研究?nèi)容會有不同，但依然能找到相同的“研究思路”．比如，關(guān)于性質(zhì)的研究，立體幾何主要研究圖形的組成元素的相互關(guān)系，代數(shù)主要研究“運(yùn)算中的不變性就是性質(zhì)”，函數(shù)主要研究“變化中的不變性、規(guī)律性”等等?？梢园l(fā)現(xiàn)，從“一般觀念”層面看，性質(zhì)的表現(xiàn)方式具有本質(zhì)的一致．認(rèn)識到知識背后的“一般觀念”，就由關(guān)注差異、拆分內(nèi)容，轉(zhuǎn)向關(guān)注聯(lián)系，注重整體，就能跳出課時教學(xué)設(shè)計(jì)，走向單元教學(xué)設(shè)計(jì)．

3 用好“一般觀念”，讓單元教學(xué)設(shè)計(jì)落地

“一般觀念”有層級之分，可以選擇不同抽象度，或不同容量的“一般觀念”做單元教學(xué)設(shè)計(jì)，從可行性的角度有如下建議．

3.1 發(fā)揮“研究套路”的作用，選擇適當(dāng)容量的內(nèi)容做單元設(shè)計(jì)

如上關(guān)于性質(zhì)研究的闡述中看到，不同數(shù)學(xué)主題呈現(xiàn)出一致的本質(zhì)，但是以“變化中的不變性就是性質(zhì)，變化中的規(guī)律性也是性質(zhì)”這個“一般觀念”為指導(dǎo)，跨越不同主題設(shè)計(jì)單元教學(xué)，在學(xué)習(xí)新內(nèi)容階段是比較困難的．在復(fù)習(xí)階段，作為一種策略課的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)，尚可考慮．作為高中階段教學(xué)的指導(dǎo)思想之一是必要的．

可行的做法是根據(jù)“研究套路”確定研究內(nèi)容，選擇恰當(dāng)容量的內(nèi)容做設(shè)計(jì)，實(shí)施單元教學(xué)．比如“空間直線、平面的垂直”，可以設(shè)計(jì)為三個單元：“直線與直線垂直”“直線與平面垂直”“平面與平面垂直”．如果學(xué)生自我調(diào)控能力和自主學(xué)習(xí)能力達(dá)到了所需水平，并且在學(xué)習(xí)“空間直線、平面的平行”時已經(jīng)培養(yǎng)起學(xué)生應(yīng)用“一般觀念”的意識和能力，也可以將“空間直線、平面的垂直”設(shè)計(jì)為一個比較大的單元．

以內(nèi)容為依據(jù)做單元教學(xué)設(shè)計(jì)，一定要兼顧其他兩個“一般觀念”，切忌做成內(nèi)容的拼盤．

3.2 發(fā)揮“研究路徑”“研究思路”或“研究方法”的作用，運(yùn)用類比，讓單元教學(xué)延綿發(fā)展

以“研究套路”為指導(dǎo)做單元教學(xué)設(shè)計(jì)是直觀易見的，以“研究路徑”“研究思路”或“研究方法”為指導(dǎo)做單元教學(xué)設(shè)計(jì)則是隱性的串聯(lián)．開普勒說：“我珍視類比勝過任何別的東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然界的秘密．”“研究路徑”“研究思路”或“研究方法”就是生成類比的不竭動力．如上問題1、問題4就是讓學(xué)生進(jìn)行類比，激活其已有知識經(jīng)驗(yàn)，針對新的研究對象做出規(guī)劃或者猜想．因此要通過類比、對比，讓單元教學(xué)展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識邏輯的連貫性，思想的一致性，并且延綿發(fā)展，自然生成．

3.3 發(fā)揮“一般觀念”的作用，恰當(dāng)變革，協(xié)同發(fā)展

“一般觀念”一方面指導(dǎo)單元設(shè)計(jì)的整體布局．如上問題1是對整個單元的整體規(guī)劃，問題4則是承上啟下，落實(shí)、延續(xù)規(guī)劃．另一方面帶來單元教學(xué)細(xì)節(jié)的變革，如前所述案例中的兩個作業(yè)．單元教學(xué)讓作業(yè)的變革成為必然，變革作業(yè)又使得單元不因課時而割裂，學(xué)生不因單元結(jié)束而停止思考，反而成為有機(jī)聯(lián)系的整體，自覺推進(jìn)學(xué)習(xí)進(jìn)程．