通過隨機變量刻畫隨機現(xiàn)象加深理解隨機思想(續(xù))

程?？?章建躍

(1.河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 050024; 2.人民教育出版社 課程教材研究所 100081)

4.4 二項分布與超幾何分布

二項分布是最常見的一種離散型分布，19世紀(jì)以前的概率統(tǒng)計可以說就是二項分布的天下.我們知道，保險業(yè)是最早應(yīng)用概率論的領(lǐng)域，在有關(guān)保險的問題中涉及大量的二項分布計算問題.另外，在很長時期內(nèi)，統(tǒng)計方法在社會問題中的應(yīng)用主要限于人口統(tǒng)計，特別是出生的男、女嬰兒的性別比例問題，這是一個典型的二項分布問題.

就像函數(shù)中的基本初等函數(shù)一樣，二項分布是離散型概率模型的代表，其研究的整體架構(gòu)是：

背景——n重伯努利試驗的特征——二項分布模型——應(yīng)用.

超幾何分布的研究也有類似的架構(gòu).

4.4.1 抽象 n重伯努利試驗的特征

在抽象n重伯努利試驗的特征時，要特別關(guān)注“重復(fù)”和“獨立”這兩個關(guān)鍵詞的含義.“重復(fù)”是指每次試驗的條件完全相同，且事件A的概率保持不變；“獨立”指的是各次試驗的結(jié)果互相不受影響.

教學(xué)中，應(yīng)通過創(chuàng)設(shè)情境、提出問題，引導(dǎo)學(xué)生開展n重伯努利試驗特征的抽象活動：每個問題中的伯努利試驗是什么？定義“成功”的事件為A，那么A的概率是多大？重復(fù)試驗的次數(shù)是多少？各次試驗的結(jié)果是否獨立，如何判斷？關(guān)注的隨機變量是什么？下面通過5個實際問題情境的分析，討論如何引導(dǎo)學(xué)生思考的問題.

(1)擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次, 恰好有4次正面朝上的概率是多少？

(2)圖2是高爾頓板的示意圖.將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.求小球落入從左到右第3號格子內(nèi)的概率.

圖2

(3)(隨機游動問題)如圖3，一個質(zhì)點在隨機外力的作用下，從原點0出發(fā)，每隔1s等可能地向左或向右移動一個單位，共移動8次.求質(zhì)點回到原點的概率.

圖3

(4)1000名中學(xué)生購買了“意外傷害保險”，假設(shè)一年內(nèi)出險的概率為0.001，那么一年內(nèi)恰好2人發(fā)生意外傷害事故的概率是多少？

(5)袋子中有4個紅球，6個白球，從中不放回地抽取4個，那么其中有2個紅球的概率是多少？

將問題的思考結(jié)果列表如下：

問題編號伯努利試驗事件AP(A)重復(fù)試驗次數(shù)n各次試驗是否獨立關(guān)注的隨機變量X1擲硬幣正面朝上0.510是正面朝上的次數(shù)2小球下落的方向向右下落0.510是小球向右下落的次數(shù)3質(zhì)點移動方向向右移動0.58是質(zhì)點向右移動的次數(shù)4觀察個人是否出險發(fā)生意外0.0011000是發(fā)生意外的人數(shù)5摸球試驗摸到紅球0.45否摸到紅球的個數(shù)

其中問題1，2，3雖然情境不同，但試驗的本質(zhì)特征完全相同，都可以歸為重復(fù)擲硬幣試驗.關(guān)于試驗獨立性的判斷，有時是根據(jù)實際問題情境來判斷(問題1和問題4)，有時是合理的假定(問題2和問題3)，問題5由于是不放回摸球，所以各次試驗的結(jié)果不獨立，不滿足n重伯努利試驗的特征.

4.4.2 二項分布分布列的推導(dǎo)

人教A版采用由特殊到一般的方法，推導(dǎo)二項分布的分布列.先設(shè)計探究欄目，引導(dǎo)學(xué)生考慮特殊情形，以3次射擊為例，求中靶次數(shù)X的分布列.借助樹狀圖，表示事件{X=k}，利用概率的加法公式及獨立事件的乘法公式求P{X=k}.接著思考射擊次數(shù)為4時，如何表示事件{X=k}？如何求P{X=k}? 最后由特殊到一般地得到X的分布列.

在這個過程中，用到了事件的表示、概率的運算法則、組合計數(shù)等知識，以及由特殊到一般的推理方法.教學(xué)中要讓學(xué)生充分經(jīng)歷這個探究過程.

我們還可以類比二項式定理的推導(dǎo)過程，直接從一般情形推導(dǎo)X的分布列：

設(shè)每次試驗，“成功”用1表示，“失敗”用0表示，則n重伯努利試驗的樣本空間為

Ω={x1x2…xn|xi=0，1；i=1，2，…，n}.

可以得到如下結(jié)果：

求a+b()n的展開式求P(X=k),k=0,1,…,n根據(jù)多項式乘法,展開式共有2n項,每一項都是一些a與b的乘積,次數(shù)為n.樣本空間包含2n個樣本點(基本事件),每個樣本點都是長度為n的由1和0構(gòu)成的數(shù)組.根據(jù)組合計數(shù)原理,包含k個a、n-k個b的項akbn-k共Ckn項,合并同類項得展開式的一般項為Cknakbn-k.事件X=k{}包含所有的有k個1、n-k個0的樣本點,共有Ckn個.由獨立性條件,每個樣本點的概率均為pk(1-p)n-k,由概率的加法公式得P(X=k)=Cknpk(1-p)n-k.a+b()n=∑nk=0Cknakbn-k.∑nk=0Cknak(1-p)n-k=(p+(1-p))n=1.

4.4.3 二項分布與超幾何分布的聯(lián)系與區(qū)別

超幾何分布主要用于不放回簡單隨機抽樣中概率的計算，其中對抽取的每個個體只考慮是否具有某種特征.例如，抽取的產(chǎn)品是否合格，選擇的學(xué)生代表是男生還是女生，觀察某電子產(chǎn)品的使用壽命是否超過5000小時等等.對于不放回簡單隨機抽樣，每次抽取時條件不同，且各次抽取的結(jié)果不獨立，不滿足n重伯努利試驗的特征.

我們可以用摸球試驗來描述超幾何分布模型特征.

袋子中有大小相同的N個球，其中有M個紅球，N-M個白球，不放回隨機摸出n個球，設(shè)X表示摸出的n個球中紅球的個數(shù)，則X所服從的分布稱為超幾何分布.

問題100個球中有40個紅球，60個白球，采用有放回和不放回兩種方式隨機抽樣，分別抽取20個球，設(shè)X為這20個球中紅球的個數(shù).采用有放回隨機抽樣，顯然X服從二項分布B(20, 0.6)；采用不放回抽樣，由于各次抽樣結(jié)果之間不相互獨立，不符合n重伯努利試驗的特征，可以根據(jù)古典概型求X的分布列.

無論采用有放回抽樣還是不放回抽樣，每次抽取一個個體，都是一個伯努利試驗，區(qū)別在于有放回抽樣時各次試驗結(jié)果相互獨立，而不放回抽樣各次試驗結(jié)果不獨立.

摸球方式X的分布E(X)D(X)有放回摸球二項分布 B(n,p)npnp(1-p)不放回摸球超幾何分布h(N,M,n)npnp(1-p)N-nN-1

(1)對應(yīng)同一個摸球模型，兩個分布的均值相同，但超幾何分布的方差較小，反映超幾何分布概率更集中于均值附近.

樣本容量有放回抽樣P|Xn-0.4|≤0.1()不放回抽樣P|Xn-0.4|≤0.1()n=200.74690.7988n=400.85470.9399n=600.91420.9936n=800.94841

可以發(fā)現(xiàn)：用樣本中紅球的比例估計總體中紅球的比例，在相同的樣本容量誤差限定下，不放回抽樣估計的可信度要高；同時，兩種抽樣方式，樣本容量越大估計的可信度越高.

4.5 由誤差模型構(gòu)建正態(tài)分布模型

正態(tài)分布是概率論中最重要的一種分布.一方面，正態(tài)分布是自然界最常見的一種分布，例如，測量誤差，射擊時彈落點的分布，人的生理特征的尺寸(身高、體重等)，自動流水線生產(chǎn)的各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)(如零件的尺寸、袋裝食品的質(zhì)量)等，都近似服從正態(tài)分布.一般地，若影響某一數(shù)量指標(biāo)的因素很多，而每個單一因素影響又非常微小時，則這個指標(biāo)近似服從正態(tài)分布.另一方面，正態(tài)分布有許多優(yōu)良性質(zhì)，許多分布可用正態(tài)分布來近似，統(tǒng)計中的一些重要分布可以通過正態(tài)分布來導(dǎo)出.因此在理論研究中，正態(tài)分布十分重要.

4.5.1 如何刻畫連續(xù)型隨機變量的分布

現(xiàn)實世界中多數(shù)隨機變量可分為離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量.我們知道，一維幾何概型是一個連續(xù)型分布模型.考慮到學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，課程標(biāo)準(zhǔn)不再要求學(xué)生學(xué)習(xí)幾何概型，而且不要求對連續(xù)型隨機變量做一般研究，只要求通過誤差模型，借助于直方圖的直觀，了解服從正態(tài)分布的隨機變量，知道連續(xù)型隨機變量.

由于對連續(xù)型隨機變量不進(jìn)行嚴(yán)格定義，所以教學(xué)中通過典型隨機試驗，直觀認(rèn)識連續(xù)型隨機變量的特征很有必要.這類變量的主要特征有：

(1)取值不能一一列舉；

(2)取值充滿某個區(qū)間(整個實軸)；

(3)取每個單點值的概率都為0；

(4)不能使用分布列來描述其概率分布規(guī)律，在實際應(yīng)用中，主要關(guān)注的是變量的取值落在任意區(qū)間內(nèi)的概率.

4.5.2 如何建立正態(tài)分布模型

必修課程中，我們用頻率分布表整理數(shù)據(jù)，用頻率直方圖直觀描述連續(xù)數(shù)據(jù)的分布，這給構(gòu)建連續(xù)分布模型提供了重要的思路.人教A版建立正態(tài)分布模型的過程如下：

(1)對誤差隨機變量X進(jìn)行觀測，獲得誤差樣本數(shù)據(jù)；

(2)借助直方圖的直觀，描述樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律；

(3)根據(jù)頻率與概率的關(guān)系進(jìn)行直觀想象，得到一條鐘形曲線；

(4)對這條曲線的特征作出描述：在x軸上方，具有對稱性且曲線與x軸圍成的面積為1.

上述過程可以用圖4表示.由此就可用任意區(qū)間[a,b]上對應(yīng)的曲邊梯形面積表示概率P(a≤X≤b)，只要給出曲線對應(yīng)的解析表達(dá)式(密度函數(shù))，就完成模型的構(gòu)建過程.這是由經(jīng)驗分布模型過渡到理論模型的數(shù)學(xué)建模過程.

圖4

接著考察密度曲線的特征，參數(shù)對密度曲線的影響及意義，通過正態(tài)分布的3σ原則，加深對正態(tài)分布的認(rèn)識.

必須注意的是：

(1)由于中學(xué)數(shù)學(xué)知識的限制，正態(tài)分布的許多結(jié)論無法嚴(yán)格證明或直接計算.例如，密度曲線與x軸圍成的面積為1，概率P(a≤X≤b)的計算，3σ原則的證明，連續(xù)型隨機變量的均值和方差的嚴(yán)格定義等.教學(xué)中可以借助數(shù)學(xué)軟件加以彌補.

(2)就像各種基本初等函數(shù)一樣，正態(tài)分布也是一個理論模型，現(xiàn)實中的一些變量一般只是近似服從正態(tài)分布.對于有的隨機變量，可以通過觀測獲得樣本數(shù)據(jù)，根據(jù)直方圖的形狀大致判斷是否服從正態(tài)分布.例如，人教A版統(tǒng)計必修中給出的100戶城市居民家庭月用水量數(shù)據(jù)，其直方圖明顯不符合正態(tài)分布；又如，我們經(jīng)常假設(shè)學(xué)生的考試成績服從正態(tài)分布，這需要試卷試題數(shù)目、難度系數(shù)的分布、各題的區(qū)分度等都符合一定要求的條件下，這個假定才合理.

下面舉一個不服從正態(tài)分布的連續(xù)型隨機變量的例子.

例在近似計算中，需要按規(guī)定的精度對實數(shù)進(jìn)行四舍五入，如果對任意取得的一個實數(shù)四舍五入保留整數(shù)，那么舍入誤差X是連續(xù)型隨機變量.請問，X服從怎樣的分布？

對任意得到的n個實數(shù)，四舍五入保留到整數(shù)，誤差的取值范圍為[-0.5,0.5]，直方圖如圖5所示：

圖5

觀察直方圖，可以發(fā)現(xiàn)，隨著樣本容量的增大，X的取值落在每個小區(qū)間內(nèi)的頻率(小矩形的面積)都在0.1附近波動.所以推測X取值于任何長度為0.1的區(qū)間內(nèi)的概率為0.1，稱X服從區(qū)間上[-0.5,0.5]的均勻分布.可以用密度函數(shù)

描述X的概率分布.如圖6所示，我們有

圖6

5 在解決實際問題的過程中滲透隨機思想

概率研究隨機現(xiàn)象的規(guī)律性，為人們從不確定性的角度認(rèn)識客觀世界提供重要的思維模式和解決問題的方法.所以概率教學(xué)應(yīng)以理論聯(lián)系實際為導(dǎo)向，利用概率知識解釋客觀事實，解釋某些規(guī)則的合理性，進(jìn)行風(fēng)險決策，使學(xué)生在解決實際問題的過程中領(lǐng)悟隨機思想，提高數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng).下面舉例說明概率的實際應(yīng)用.

例1為了比較甲、乙兩種新藥哪種更有效，進(jìn)行動物試驗方案如下：每一輪選擇兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗，隨機選取一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗，當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時就停止試驗，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈，則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈，則甲藥得-1分，乙藥得1分；若都治愈或都未治愈，則兩種藥都得0分.

設(shè)甲、乙兩藥的治愈率分別為0.5和0.8，若甲藥和乙藥在試驗開始時都賦予4分，pi表示“甲藥的累計得分為i時，最終認(rèn)為甲藥更有效的概率”, 求p4并根據(jù)p4的值解釋這種試驗方案的合理性.

從直觀分析，甲藥的治愈率明顯低于乙藥，但經(jīng)過多輪試驗，事件A=“甲藥比乙藥多治愈4個”是有可能發(fā)生的，如果A的概率很小，說明試驗方案合理，如果事件A的概率較大，則說明試驗方案不合理.概率決策不可能做到百分之百正確，只要發(fā)生錯誤的概率可控制在一個較小的范圍內(nèi)就是合理的.

容易計算，每輪試驗甲藥得分X的分布列為

X-101P0.40.50.1

.

由全概率公式得

pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1，

i=1，2，…，7，p0=0,p8=1.

例2設(shè)某種疾病的自然痊愈率為20%.在有關(guān)部門批準(zhǔn)后，某醫(yī)院把一種新藥給患有這種疾病的10位病人服用，試驗方案為：若這10個病人中至少有6個治愈了，則認(rèn)為這種藥有效，提高了治愈率；否則認(rèn)為這種藥無效.

如果新藥的確有效，把治愈率提高到了80%，求通過試驗卻認(rèn)定該藥無效的概率p，并根據(jù)p值的大小解釋試驗方案是否合理．

將10人服用新藥視為10重伯努利試驗.在每次試驗中，每位病人痊愈的概率為0.8，且每個人是否痊愈是相互獨立的.設(shè)X表示這10個人中痊愈的人數(shù)，則X～B(10,0.8).設(shè)事件B=“經(jīng)過試驗該藥被認(rèn)定無效”，事件B發(fā)生等價于{X≤4}.

≈0.0064.

由題意，新藥有效.當(dāng)痊愈的人數(shù)不超過4人時，認(rèn)定新藥無效，此時做出了錯誤的判斷.因為概率p很小，所以試驗方案合理.

思考：在問題2中，如果給100位病人服用，結(jié)果至少有40人痊愈了，這種新藥是否有效？

假設(shè)新藥無效，由于該疾病的自愈率只有20%，根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，100人大約有20人左右痊愈.現(xiàn)在至少有40人痊愈了，因此直觀判斷新藥是有效的.

對這個問題，應(yīng)該如何進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)描述呢？

設(shè)100個人服藥后治愈的人數(shù)為X，假設(shè)新藥無效，則X～B(100,0.2).那么100個人至少有40人痊愈的概率為

≈3.61×10-6.

依據(jù)小概率原理，這么小概率的事件認(rèn)為是不會發(fā)生的，一旦發(fā)生了，則認(rèn)定假設(shè)“新藥無效”是一個錯誤的判斷，所以認(rèn)為新藥有效.

6 教學(xué)建議

6.1 通過典型實例幫助學(xué)生理解概念, 培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

在本單元中，條件概率、隨機變量、隨機變量的均值和方差等都是不容易理解的概念，教學(xué)中要通過典型的、豐富的、學(xué)生熟悉的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷具體實例的分析到共性特征的歸納再到本質(zhì)特征的抽象的完整過程，使抽象概念建立在具體背景的基礎(chǔ)上.

(1)對于條件概率的概念，可以按如下步驟展開教學(xué)：

先選擇從2×2分類的總體中抽樣的問題，使學(xué)生認(rèn)識到附加事件A發(fā)生的條件下，試驗的樣本空間縮小了，即事件A發(fā)生的條件下，事件B的條件概率本質(zhì)上是在縮小的樣本空間A上求事件B發(fā)生的概率；

再引導(dǎo)學(xué)生考慮一般的古典概型，進(jìn)一步認(rèn)識條件概率的意義；

最后從特殊到一般，歸納出條件概率的定義.

從這個抽象過程中，可歸納出求條件概率的兩種方法.

對隨機事件的獨立性與條件概率之間的關(guān)系，也要采用先直觀描述再進(jìn)行數(shù)學(xué)推理的方法.

(2)引入隨機變量概念，將隨機試驗的樣本點數(shù)量化，建立樣本空間到實數(shù)集的對應(yīng)關(guān)系，這是對隨機現(xiàn)象的進(jìn)一步抽象，為利用豐富的數(shù)學(xué)工具全面、系統(tǒng)地研究隨機現(xiàn)象的規(guī)律性提供了新方法．對離散型隨機變量概念的教學(xué)，應(yīng)結(jié)合典型的隨機試驗，引導(dǎo)學(xué)生建立樣本空間，根據(jù)需要建立樣本點到實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，在共性分析的基礎(chǔ)上歸納概括出隨機變量的定義．同時，要讓學(xué)生通過用隨機變量的關(guān)系式表示隨機事件，用分布列描述變量的概率取值規(guī)律，充分理解基于隨機變量及其分布解決實際問題的一般方法．

(3)隨機變量的均值與方差都是度量性概念，度量性概念一般因比較而產(chǎn)生.教學(xué)中可選擇有關(guān)比較的問題情境，例如為比較兩名運動員的射箭水平，從n次射箭命中環(huán)數(shù)的均值出發(fā)，根據(jù)頻率穩(wěn)定到概率的原理，引入隨機變量均值的概念．

總之，對于隨機變量這樣抽象程度高的概念，多舉例子，通過例子幫助學(xué)生理解，這是基本的教學(xué)策略.

6.2 引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷抽象隨機試驗的特征、推導(dǎo)分布列的過程

在二項分布、超幾何分布、正態(tài)分布的教學(xué)中，要通過設(shè)計恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，讓學(xué)生經(jīng)歷歸納概括隨機試驗的特征、推導(dǎo)分布列的過程，從而理解每一種分布的本質(zhì)特征，這對學(xué)生在面對實際問題時能否正確選擇概率模型起著關(guān)鍵作用.

(1)二項分布的教學(xué)

可以通過不同背景的隨機試驗，引導(dǎo)學(xué)生思考：

問題中的伯努利試驗是什么？

定義“成功”的事件為A，那么A的概率是多大？

重復(fù)試驗的次數(shù)是多少？各次試驗的結(jié)果是否獨立？關(guān)注的隨機變量是什么？

對于分布列的推導(dǎo)，可以借助樹狀圖，利用事件的關(guān)系與運算、概率的加法公式、獨立事件的乘法公式、排列組合等知識，由特殊到一般的方式展開.

(2)超幾何分布的教學(xué)

要借助有放回抽樣和不放回抽樣的對比，重點是判斷各次試驗結(jié)果是否獨立.可以讓學(xué)生思考：

建立二項分布和超幾何分布模型的過程與建立古典概率模型的過程有什么不同之處？

實際上，古典概率模型是根據(jù)試驗的特征，用定義的方式規(guī)定了事件的概率計算公式；二項分布是根據(jù)試驗的特征，利用概率的加法公式與乘法公式推導(dǎo)出分布列，而超幾何分布是一個特殊的古典概型.

(3)正態(tài)分布的教學(xué)

從描述誤差數(shù)據(jù)的分布引入，首先應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識誤差隨機變量的取值不能一一列舉，不能用分布列描述其概率分布，從而使他們認(rèn)識到尋找新的工具來刻畫變量的概率分布的必要性.在問題的引導(dǎo)下，從頻率分布直方圖，過渡到分布密度曲線，根據(jù)密度曲線的特征，建立用分布密度函數(shù)刻畫概率分布的正態(tài)分布，在此過程中使學(xué)生體會由經(jīng)驗?zāi)Ｐ徒⒗碚撃Ｐ偷乃枷敕椒?

6.3 在一般觀念指導(dǎo)下研究相關(guān)性質(zhì)，培養(yǎng)直觀想象和推理能力

本單元內(nèi)容基于隨機變量描述隨機現(xiàn)象，側(cè)重概念、模型.在對相關(guān)性質(zhì)的教學(xué)中，要注意一般觀念的指導(dǎo)作用，運用類比、從特殊到一般、直觀想象加計算驗證等方法，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力.例如：

(1)對于條件概率的性質(zhì)，根據(jù) 條件概率是縮小樣本空間上的概率的意義，可得其具有和概率相同的性質(zhì)——非負(fù)性、規(guī)范性、可加性等，再由條件概率的定義進(jìn)行驗證．

(3)對于隨機變量均值和方差的性質(zhì)，可以先根據(jù)數(shù)字特征的意義以及隨機變量的實際意義猜想結(jié)果，再計算驗證.可以引導(dǎo)學(xué)生類比函數(shù)性質(zhì)(單調(diào)、最值、對稱)，觀察二項分布的各種不同的概率分布圖，猜想二項分布有哪些性質(zhì)，再進(jìn)行證明.

6.4 加強與信息技術(shù)的融合，加深對概率分布的理解

二項分布、超幾何分布、正態(tài)分布有關(guān)概率的計算、概率分布圖或正態(tài)密度曲線的繪制等都需要借助信息技術(shù)工具來完成.例如，利用電子表格或GeoGebra軟件計算二項分布和超幾何的分布列，了解二項分布與超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系；通過隨機模擬試驗，了解樣本均值(方差)與隨機變量的均值(方差)的關(guān)系；利用正態(tài)分布隨機數(shù)函數(shù)產(chǎn)生隨機數(shù)，繪制頻率分布直方圖，了解正態(tài)分布的特征；利用GeoGebra軟件計算正態(tài)分布相關(guān)概率等等.(續(xù)完)