GeoGebra可視化數(shù)學(xué)軟件支持下的圓錐曲線定義性質(zhì)探究

◎強(qiáng)德平(甘肅省蘭州市第五十一中學(xué)，甘肅 蘭州 730000)

一、引 言

什么是圓錐曲線？用一個(gè)水平平面去截圓錐，得到的截口曲線是圓(如圖1).古希臘人發(fā)現(xiàn)，如果改變平面的角度，會(huì)得到橢圓、雙曲線、拋物線等一系列曲線，人們便將這些從圓錐中截取而來(lái)的曲線稱(chēng)之為圓錐曲線.我們利用GeoGebra中的滑動(dòng)條按鈕，改變平面的傾斜度，會(huì)清晰地看到這三種曲線.根據(jù)原始定義，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這樣的曲線有橢圓(如圖2)、拋物線(如圖3)，如果我們?cè)趫A錐頂部再放置一個(gè)等大的圓錐，會(huì)得到新的截口曲線——雙曲線(如圖4).

圖1

圖2

圖3

圖4

雖然圓錐曲線的原始定義很好地交代了曲線的來(lái)源和命名的理由，但是無(wú)法讓學(xué)生準(zhǔn)確理解圓錐曲線的原始定義和第一定義之間的關(guān)系.例如橢圓的定義為：平面上到兩定點(diǎn)的距離等于定值的動(dòng)點(diǎn)的軌跡，其中定值大于兩定點(diǎn)間的距離.我們利用GeoGebra動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，構(gòu)建Dandelin雙球模型，可以直觀地解釋這個(gè)問(wèn)題.

二、橢圓定義研究

如圖5，在圓錐內(nèi)部放兩個(gè)球，使其分別和圓錐表面和截面相切，將兩個(gè)球和截面的切點(diǎn)分別記為F1,F2.下面說(shuō)明截面與圓錐的截面：在截面曲線上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作圓錐的母線切兩圓于E,F兩點(diǎn)，由圓外一點(diǎn)作切線的性質(zhì)可知，|FP|=|F1P|，|EP|=|F2P|，因 |EP|+|EF|為定值，所以|F1P|+|F2P|為定值，得證.

圖5

三、雙曲線定義研究

如圖6，在對(duì)頂放置的兩個(gè)圓錐內(nèi)部放兩個(gè)球，使其分別和圓錐表面和截面相切，將兩個(gè)球和截面的切點(diǎn)分別記為F1,F2.下面說(shuō)明截面與圓錐的截面：

圖6

在截面曲線上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作圓錐的母線切兩圓于E,F兩點(diǎn)，由圓外一點(diǎn)作切線的性質(zhì)可知，|FP|=|F1P|，|EP|=|F2P|，因|EP|-|EF|為定值，所以|F1P|-|F2P|為定值，得證.

四、拋物線定義研究

拋物線推導(dǎo)過(guò)程與前兩者略有不同，下面先給出等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)定義：如圖7，根據(jù)拋物線定義可知，|PF|=|PB|，等價(jià)于|PF|=|PP′|+|AF|.

圖7

如圖8，在圓錐內(nèi)放置一球，使其和圓錐表面和截面相切，和圓錐相切的部分為圖中黑色圓，和截面相切于點(diǎn)P，下說(shuō)明截面與圓錐的截面.過(guò)點(diǎn)A作圓錐的母線BC，連接A、F并延長(zhǎng)交圓錐底面與截面的交線于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作圓錐底面與截面的交線的平行線，在截面曲線上任選一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作AD的平行線PP′，顯然|PP′|=|AD|.作圓錐的母線EP.由截面與球相切可知，三角形ADC為等腰三角形，所以|AD|=|AC|，由球面切線性質(zhì)可知，|EP|=|BC|，|EP|=|FP|，|AF|=|AB|.所以|PP′|+|AF|=|AC|+|AB|=|BC|=|PF|，得證.

圖8

五、光學(xué)性質(zhì)探究

在圓錐曲線的眾多性質(zhì)中，光學(xué)性質(zhì)是最為重要和應(yīng)用最為普遍的性質(zhì).橢圓的光學(xué)性質(zhì)是：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線交于橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).我們利用GeoGebra軟件中的點(diǎn)反射工具、迭代與迭代列表指令，可以形象地描述這一性質(zhì).如圖9，我們可以清晰地看到，從焦點(diǎn)中射出的光線，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，會(huì)經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn).雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)雙曲線反射后，反射光線是散開(kāi)的，它們的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)，如圖10.拋物線的光學(xué)性質(zhì)是：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，如圖11.

圖9

圖10

圖11

六、圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的證明

1.橢圓

圖12

2.雙曲線

圖13

3.拋物線

圖14

關(guān)于圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，在傳統(tǒng)教學(xué)概念中，教師是直接給出的，學(xué)生缺乏直觀感受.而幾何知識(shí)恰恰與光學(xué)性質(zhì)緊密聯(lián)系，我們利用GeoGebra動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，可以動(dòng)態(tài)刻畫(huà)光的路徑，教會(huì)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界.此外，學(xué)生體悟了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)后，將會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)之美和數(shù)學(xué)之用產(chǎn)生深刻印象.

七、結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)難教、難講、難理解，原因是其具有高度的概括性和抽象性.在具體的教學(xué)過(guò)程中，如果教師對(duì)于學(xué)生好奇的地方模糊處理，不僅不利于學(xué)生理解學(xué)習(xí)概念，還會(huì)對(duì)學(xué)生探究、想象和抽象能力的培養(yǎng)造成阻礙.在信息時(shí)代，GeoGebra動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用，為數(shù)學(xué)抽象概念的學(xué)習(xí)搭建了良好的平臺(tái).本文所研究的內(nèi)容，其優(yōu)勢(shì)在于：一是將抽象的圓錐曲線截取定義可視化，便于學(xué)生理解知識(shí)的起源過(guò)程；二是將動(dòng)態(tài)定義中的定量關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，便于學(xué)生理解知識(shí)的原理規(guī)律；三是將動(dòng)態(tài)表征靈活處理，通過(guò)旋轉(zhuǎn)、縮放、迭代等方式，增強(qiáng)學(xué)生的直觀感受.在課堂教學(xué)中，教師深度挖掘GeoGebra動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件的輔助功能，將讓學(xué)生的直觀想象能力得到深度培養(yǎng)，使其具備解決問(wèn)題的能力.