例談幾何法在圓錐曲線問題中的運用

廣州大學附屬中學 (510006) 朱驚濤

解析法和幾何法是解決圓錐曲線問題的兩大途徑. 幾何法的獨立運用或與解析法的有機結(jié)合有利于減少計算量，巧妙解決問題，同時，幾何法又有利于培養(yǎng)學生的觀察能力、直觀想象力和思維發(fā)散力，是培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維能力的重要手段. 本文通過一些實例介紹部分幾何性質(zhì)在圓錐曲線問題中的應用，供讀者借鑒和參考.

一、線段比、面積比的轉(zhuǎn)化

1.共線下的線段比的轉(zhuǎn)化

圖1

點評：把線段比轉(zhuǎn)化為縱坐標差的比或橫坐標差的比是常用的方法，從幾何角度上看是構(gòu)造相似的直角三角形，把斜邊比轉(zhuǎn)化為直角邊之比. 至于何時轉(zhuǎn)化為縱坐標差的比，何時轉(zhuǎn)化為橫坐標差的比，則需結(jié)合圖像和已經(jīng)條件，以簡單化為原則來做選擇. 如在本例中，將線段比轉(zhuǎn)化為縱坐標差之比則簡單，若轉(zhuǎn)化為橫坐標差的比則變復雜.

2. 同底三角形面積比的轉(zhuǎn)化

圖2

點評：抓住兩個三角形同底的特征，通過三次轉(zhuǎn)化巧妙解決了問題. 轉(zhuǎn)化一：將面積比轉(zhuǎn)化為對應高的比；轉(zhuǎn)化二：將對應高的比轉(zhuǎn)化為線段MN與OM的長度之比；轉(zhuǎn)化三：將線段MN與OM的長度之比轉(zhuǎn)化為N、M、O三點縱坐標的差的比，從而直接代入坐標運算即可.

二、相似三角形的運用

1. 利用相似三角形對應邊成比例

圖3

點評：從幾何角度入手，利用FM//OE易得到△AFM∽△AOE且△BOQ∽△BFM，再將對應底邊之比轉(zhuǎn)化為x軸上的對應側(cè)邊之比，從而快速解決問題.

2. 利用相似三角形對應角相等

圖4

解析：如圖5，連接F1G，GF2，則∠F1GF2=90°，又由雙曲線的對稱性可知MF1=MF2,所以MO是∠F1MF2的角平分線，從而△F1MP的內(nèi)切圓圓心G必在y軸上，且易有△GF1M≌△GF2M，所以∠GF1M=∠GF2M，又F1G為∠MF1P的角平分線，所以∠MF1G=∠GF1P，從而∠GF1P=∠GF2P，設(shè)F1P與GF2交于點Q，則有△F1GQ∽△F2PQ，從而有∠F1PF2=∠F1GF2=90°，命題得證.

圖5

點評：利用相似三角形證明角度相等是常見手法，本題易知有∠F1GF2=90°，為證∠F1PF2=90°，易想到證明△F1GQ∽△F2PQ，再結(jié)合F1G為∠MF1P的角平分線，則有∠GF1Q=∠GF1M=∠GF2P，從而命題得證.

3. 利用射影定理

例5 (2000年北京春季高考試題)如圖6，設(shè)點A、B為拋物線y2=4px(p>0)上原點以外的兩個動點，已知OA⊥OB，OM⊥AB.求點M的軌跡方程.

圖6

三、圓的相關(guān)性質(zhì)的運用

1. 四點共圓

圖7

點評：從幾何角度出發(fā)，由|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|聯(lián)想到割線定理，進而得B、A、P、Q四點共圓，最后巧妙利用曲線系思想解決問題，其計算量相比常規(guī)的聯(lián)立直線方程與雙曲線方程求解的方法大幅降低.

2. 相交弦定理

圖8

解析：如圖9，設(shè)圓C與x軸交點坐標分別為E、F，連接ME、MF、NE、NF、OM、ON，則由相交弦定理有MA·AN=EA·AF，而EA=AB，AF=OA，所以MA·AN=OA·AB，所以M、O、N、B四點共圓，所以∠MBA=∠ANO，∠NBA=∠AMO，又ON=OM，∠ANO=∠AMO，所以∠MBA=∠NBA.

圖9

點評：利用MN、EF是圓O的一對相交弦，點A既是OF的中點，又是EB的中點，巧妙利用相交弦定理，將MA·AN=EA·AF轉(zhuǎn)化為MA·AN=OA·AB，從而得到M、O、N、B四點共圓，再將∠MBA、∠NBA轉(zhuǎn)化為∠ANO、∠AMO，則此題得解，從中可以看到觀察能力和思維發(fā)散能力的創(chuàng)造性.

3. 等弧對等角、等角對等弧

例8 如圖10，已知圓C:x2+y2=2，過點P(1,1)作兩條直線分別與圓C相交于點A、B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補，O為坐標原點，判斷直線OP與AB是否平行，并請說明理由.

圖10

圖11

通過以上實例看出，幾何法在圓錐曲線問題中的運用常能出奇制勝，化繁為簡. 教師積極鼓勵學生從幾何角度觀察思考圓錐曲線問題，有利于幫助學生擺脫一味使用解析法的僵化思維，增強學生運用幾何原理解決問題的能力，使學生感受欣賞幾何法之精彩，進而幫助其拓寬解題思路、增進問題理解、提升解題能力.