極坐標(biāo)巧解涉及多點(diǎn)聯(lián)動問題的最值

安徽省亳州市第十八中學(xué) (236800) 郭中華 張官升 陳 思

近年來，各種聯(lián)考中涉及求解三角形邊長、面積的最值問題，一直以壓軸小題形式出現(xiàn)，試題求解往往是利用正余弦定理來解決，但關(guān)系復(fù)雜、計(jì)算繁瑣，特別是其中的聯(lián)動點(diǎn)的軌跡問題更為繁瑣.這類問題利用極坐標(biāo)的思想方法來求解相對容易.本文從三個方面例析尋找隱圓方法求其最值.

1 涉及動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離最值

例1 已知圓O：x2+y2=1，若A,B是圓O上兩個不同的兩點(diǎn)，以AB為邊作等邊△ABC，則線段OC的最大值是( ).

圖1

圖2

評析：本題中A,B,C均為動點(diǎn)，已知點(diǎn)A,B在定圓上，點(diǎn)C隨著A,B的運(yùn)動而運(yùn)動. 且動點(diǎn)C(x,y)坐標(biāo)之間的關(guān)系不明確. 因?yàn)閮蓚€點(diǎn)都在運(yùn)動，所以不容易判斷，求解中通過先固定點(diǎn)A，再觀察到點(diǎn)B在圓上的運(yùn)動，那么聯(lián)動點(diǎn)C的運(yùn)動軌跡就很容易發(fā)現(xiàn). 再利用GeoGebra畫圖軟件的追蹤工具，便可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C的軌跡是一個圓. 由于點(diǎn)C、B為聯(lián)動點(diǎn)，所以其軌跡形狀相似. 通過建立極坐標(biāo)系的方法，由B點(diǎn)的軌跡和固定角∠CAB=60°，求出C的軌跡.

2 求有固定夾角的兩動點(diǎn)距離最值

圖3

評析：本題是多點(diǎn)聯(lián)動類問題，根據(jù)條件先固定D點(diǎn)，由動點(diǎn)A,B都在以D為圓心的圓上，再根據(jù)聯(lián)動原理，易知動點(diǎn)C的軌跡也是一個圓. 再建系處理點(diǎn)B、C的軌跡. 進(jìn)而求出圓的軌跡方程達(dá)到求出CD的最小值.

3 求三角形面積的最值

例3 如圖4所示，在平面四邊形ABCD中，已知AB=1,BC=2,△ACD為正三角形，求△BCD的面積的最大值.

圖4

圖5

評析：本題涉及到多點(diǎn)聯(lián)動變化而引起的面積最值類問題.動點(diǎn)A在以點(diǎn)B為圓心的圓上，根據(jù)聯(lián)動原理，可知動點(diǎn)D的軌跡也是一個圓. 通過求出圓的極坐標(biāo)方程就可以解決三角形頂點(diǎn)D到底邊BC的最大值求解問題，由此求得△BCD面積最大值.