巧用同構(gòu)方法構(gòu)造函數(shù)解決復(fù)雜問題

江蘇省溧陽中學(xué) (213300) 徐 蘭

江蘇省連云港市錦屏高級中學(xué) (222021) 車樹勤

同構(gòu)式是指變量不同，結(jié)構(gòu)、形式都相同的數(shù)學(xué)表達式.同構(gòu)的過程就是通過移項、拆分、配湊等手段將一個數(shù)學(xué)表達式恒等變形，使其左右兩邊呈現(xiàn)形式、結(jié)構(gòu)完全一樣的狀態(tài)，然后構(gòu)造輔助函數(shù)，通過輔助函數(shù)的性質(zhì)來解決問題.下面我們來體驗一下同構(gòu)之路.

一、同構(gòu)的初級階段

例1 (2020年全國1卷12題)若2a+log2a=4b+2log4b,則( ).

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

解析：2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b=22b+log22b-1.設(shè)函數(shù)f(x)=2x+log2x,∴原不等式等價于f(a)=f(2b)-1

二、同構(gòu)的發(fā)展階段

例2 (2020年八省聯(lián)考)已知a<5且ae5=5ea,b<4且be4=4eb,c<3且ce3=3ec,則( ).

A.c

C.a

A.(-∞,e] B.(-∞,e)

評注：本題中的兩個變量x2、x1不關(guān)聯(lián)，采用集中變量后出現(xiàn)了結(jié)構(gòu)相同的式子，于是構(gòu)造新的函數(shù)u(x)=xf(x), 利用函數(shù)的單調(diào)性來解決問題.

在以上的問題中構(gòu)造出同構(gòu)式的要求有所提高，但難度系數(shù)不大.這兩個問題的解決中，都是對表達式進行集中變量的變形就能得到相同的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造出新的函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性就可以解決問題.

三、同構(gòu)的演變階段

第四步：把原不等式用復(fù)合函數(shù)的形式表達出來f(e-x)≥f(xa),并分析內(nèi)函數(shù)的取值范圍?原不等式等價于f(e-x)≥f(xa),∵x∈(1,+∞),e-x∈(0,1),又由選項可知只需研究a<0的情況，a<0時，xa∈(0,1)；

第五步：根據(jù)函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，把f(e-x)≥f(xa)轉(zhuǎn)化為e-x與xa之間的關(guān)系?e-x≤xa；

評注：利用指數(shù)對數(shù)運算的之間的內(nèi)部關(guān)系，我們可以構(gòu)造相同的結(jié)構(gòu)e-x-lne-x≥xa-lnxa，通過構(gòu)造新的函數(shù)f(x)=x-lnx，原不等式就可以等價變形為f(e-x)≥f(xa)，從而轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)中利用函數(shù)的單調(diào)性來解決的常見不等式問題.達到了化陌生為熟悉的效果.

(1)函數(shù)f1(x)=x±lnx=elnx±lnx，與g1(x)=ex±x同構(gòu)，或者變換g1(x)=ex±x=ex±lnex,與f1(x)=x±lnx同構(gòu)；

(3)函數(shù)f3(x)=xlnx=elnxlnx與g3(x)=xex同構(gòu)；或者變換g3(x)=xex=exlnex與f3(x)=xlnx同構(gòu).

可以發(fā)現(xiàn)，指對同構(gòu)的過程中的核心是lnex=x=elnx，也就是利用指冪運算來構(gòu)造相同的結(jié)構(gòu)，指對同構(gòu)的主要方法是指對式分離，找出內(nèi)層函數(shù).同構(gòu)的演變題型其實就是命題人把一個結(jié)構(gòu)整齊的同構(gòu)式重新打亂，重組，變有序為無序，而我們要做的是將這打亂的式子按照一定的目標進行整合變形，合理拆分，使其恢復(fù)原貌,化復(fù)雜為簡單，利用同構(gòu)構(gòu)造出一個新的函數(shù)，把原式寫成復(fù)合函數(shù)的形式，再利用外層函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)變?yōu)閮?nèi)層函數(shù)之間的關(guān)系，達到化繁為簡. 弄清楚這種解法的數(shù)學(xué)思維起點在哪里，解決問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么.

例5 (2020年山東高考卷第21題)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.(1)當a=e時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積:(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.

解析：(1)略.(2)中的這個不等式恒成立，既有指數(shù)式又有對數(shù)式，不妨用指對分離來試一試.

第一步：分離指對式，變換出lna?elnaex-1≥-lna+lnx+1；

第二步:變換為同構(gòu)式,找到內(nèi)函數(shù)lna+x-1?elna+x-1+lna+x-1≥lnx+x；

第三步：構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex+x,且在定義域(-∞,+∞)上為單調(diào)增函數(shù)；

第四步：原不等式等價于f(lna+x-1)≥f(lnx)恒成立；

第五步：根據(jù)函數(shù)f(x)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為lna+x-1≥lnx恒成立；

第六步：分離出lna，lna≥(lnx-x+1)max.令g(x)=lnx-x+1,求導(dǎo)求出最大值為0.∴l(xiāng)na≥0,解之a(chǎn)≥1.

通過以上分析，同構(gòu)的演變題型都可以用這六步驟來解決問題，同構(gòu)的外層函數(shù)總是由指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)與一次函數(shù)的組合而成，一旦式子兩邊構(gòu)造出相同結(jié)構(gòu)，就可以構(gòu)造出新的函數(shù)，把一個很復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為一個常見函數(shù)的性質(zhì)來解決，難點就是對結(jié)構(gòu)的變形處理，靈活處理指冪運算來達到自己想要的效果.