運(yùn)用偶函數(shù)性質(zhì)優(yōu)化解題

安徽省宿城第一中學(xué) (234000) 陳玉龍

函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，本文通過(guò)典型實(shí)例的分析剖解，介紹偶函數(shù)幾種性質(zhì)特點(diǎn)的應(yīng)用，旨在強(qiáng)化對(duì)偶函數(shù)性質(zhì)的理解，提升所學(xué)知識(shí)的運(yùn)用能力，供同行們參考.

一、關(guān)注偶函數(shù)的定義域

例1 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c是定義在[a-1,,2a]上的偶函數(shù)，求此函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.

解析：由于f(x)是偶函數(shù)，則其定義域應(yīng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即有1-a=-2a，則，所以f(x)=-x2+bx+c，又由偶函數(shù)的定義得，在定義域內(nèi)都有f(-x)=f(x)得-bx=bx成立，即有b=0，故f(x)=-x2+c，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,0].

評(píng)注：函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)為“奇函數(shù)和偶函數(shù)”的必要條件，此條件比較容被忽視，必須進(jìn)行強(qiáng)化.

例2 已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且在(0，+∞)上單調(diào)遞增，若f(-1)=0，試求關(guān)于x的不等式xf(x)<0的解集.

圖1

評(píng)注：考慮到偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則由給出的部分單調(diào)區(qū)間可推出整個(gè)函數(shù)的定義域和單調(diào)性，再抓住特殊點(diǎn)，就能夠勾畫(huà)出函數(shù)的大致圖像，這樣成功解題就是比較容易的事了.

二、關(guān)注f(-x)=f(x)的應(yīng)用

評(píng)注：由f(-x)=f(x)一般常用來(lái)判斷一個(gè)函數(shù)是否是偶函數(shù)，而本例中反用此性質(zhì)化簡(jiǎn)所給的不等式，從而顯露出解決的機(jī)會(huì).

例4 設(shè)a為非零實(shí)數(shù)，偶函數(shù)f(x)=x2+a|x-m|+1(x∈R)在區(qū)間(2,3)上存在唯一的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

評(píng)注：根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)解決了所給表達(dá)式中的參數(shù)，為下一步的解題掃清了障礙，這是成功解題的重要一環(huán).

三、關(guān)注偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

例5 若f(x)是R上的偶函數(shù),且滿足f(x+2)=f(x)，當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=2x.若在區(qū)間[-2,3]上方程ax+2a-f(x)=0恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

圖2

評(píng)注：偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱是函數(shù)的重要幾何性質(zhì)，在涉及畫(huà)圖像時(shí)必須關(guān)注幾何性質(zhì)的運(yùn)用，本題中，根據(jù)此性質(zhì)畫(huà)出整個(gè)函數(shù)圖像是解題的成功的關(guān)鍵.

例6 定義在R上的函數(shù)在(-∞,a]上是增函數(shù)，函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù)，當(dāng)x1a，且|x1-a|<|x2-a|時(shí)，試判斷f(2a-x1)與f(x2)的大小關(guān)系.

解析：由于函數(shù)y=f(x+a)是由y=f(x)向左平移a個(gè)單位所得，而y=f(x+a)是偶函數(shù)，所以y=f(x)的函數(shù)圖像關(guān)于x=a對(duì)稱.又在(-∞,a]上是增函數(shù)，故在(a,+∞)是減函數(shù)，當(dāng)x1a，且|x1-a|<|x2-a|時(shí)，去掉絕對(duì)值符號(hào)得a-x1a，x2>a，由在(a,+∞)是減函數(shù)得f(2a-x1)>f(x2).

評(píng)注：通過(guò)研究給出的偶函數(shù)條件，判斷出函數(shù)y=f(x)的圖像的對(duì)稱性，這是判斷兩個(gè)函數(shù)值大小的關(guān)鍵舉措，此處顯示了圖像性質(zhì)的對(duì)于解題的重要性.

四、關(guān)于f(x)=f(|x|)的應(yīng)用

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)判斷出函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性后，就將一個(gè)隱含關(guān)系轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單的絕對(duì)值不等式，充分發(fā)揮了隱含的偶函數(shù)條件的解題作用.

評(píng)注：這里通過(guò)運(yùn)用f(x)=f(|x|)和函數(shù)的單調(diào)性，將待求的函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為絕對(duì)值不等式，成功地避免了分類討論所引起的不方便.

在我們的解題教學(xué)中，要幫助學(xué)生挖掘一些概念和性質(zhì)的用途，尤其是如何運(yùn)用它們?nèi)?yōu)化解題，通過(guò)在我們的課堂上示范和歸納，可以起到率先垂范、畫(huà)龍點(diǎn)睛的作用.