高中數(shù)學(xué)解題中引入數(shù)形結(jié)合思想的實踐

劉智娟

【摘要】數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的核心和精髓.在數(shù)學(xué)課堂中，教師不僅要傳授給學(xué)生知識、技能，還要挖掘知識背后的數(shù)學(xué)思想，增進(jìn)學(xué)生對所學(xué)知識的理解，讓學(xué)生掌握解題技巧，更好地提升解題能力.而數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)思想的重要組成部分，兩者在解題中的有機結(jié)合，可以讓難以解決的問題變得簡單化、明朗化和清晰化.本文就高中數(shù)學(xué)解題中如何滲透數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行探討，溝通數(shù)、形之間的聯(lián)系，為更好地提升學(xué)生的解題能力和綜合素養(yǎng)、實現(xiàn)學(xué)生的全面發(fā)展提供幫助.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);解題能力;數(shù)形結(jié)合;課堂教學(xué)

著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微.”這充分說明了數(shù)形結(jié)合的重要性，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中應(yīng)該予以重視.數(shù)和形作為數(shù)學(xué)中兩個最古老和最基本的研究對象，在一定條件下能夠相互轉(zhuǎn)化.高中數(shù)學(xué)研究的對象主要分為數(shù)與形兩大部分，數(shù)和形是存在聯(lián)系的，這種聯(lián)系就是數(shù)形結(jié)合思想.在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想是一種較為常用的解題方法，教師需指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實際情況把數(shù)與形進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化或有機結(jié)合，借此真正提高他們的解題速度和正確率.本文從五個方向進(jìn)行闡述，以供參考.

一、引入數(shù)形結(jié)合思想，有效解決集合問題

在高中數(shù)學(xué)知識體系中，集合問題是相對基礎(chǔ)的內(nèi)容，雖然難度一般，但是也是重點知識之一.高中生在學(xué)習(xí)集合知識過程中，經(jīng)仔細(xì)研究后發(fā)現(xiàn)無論是交集，還是補集，都存在著一定的內(nèi)在聯(lián)系，均能夠通過數(shù)形結(jié)合的方式來分析和解答，可有效解決問題.高中數(shù)學(xué)教師可指導(dǎo)學(xué)生引入數(shù)形結(jié)合思想，分析集合問題中的元素，讓他們減少煩瑣的計算流程，更好地提升解題效率.

例1 已知全集U={x1丨x2<50，x∈N}，L∩（C∪M）={1，6}，M∩（C∪L）={2，3}，C∪（M∪L）={0，5}，求集合M與L.

解析 學(xué)生首先需要求得全集U={x丨x2<50，x∈N}，U={0，1，2，3，4，5，6，7};把L∩（C∪M）={1，6}，M∩（C∪L）={2，3}，C∪（M∪L）={0，5}，三個集合中的元素在韋恩圖中依次定位;定位集合中的4，7元素;根據(jù)下圖集合U中的元素位置，得出集合M={2，3，4，7}，集合L={1，4，6，7}.接著，教師繼續(xù)設(shè)置題目：已知集合A={x1丨x<—1或x≥1}，B={x1丨2a

上述案例，學(xué)生在處理集合問題時引入數(shù)形結(jié)合思想，借助韋恩圖分析和解題，通過圓表示集合，假如兩圓相交，就表明兩個集合存在公共元素，相離則說明不存在公共元素，從而幫助學(xué)生快速地厘清解題思路，得出準(zhǔn)確的結(jié)論，提升了課堂學(xué)習(xí)效率.

二、引入數(shù)形結(jié)合思想，直觀解決方程問題

方程也是整個數(shù)學(xué)體系中的基礎(chǔ)知識之一，雖然學(xué)生從小學(xué)階段就開始接觸方程，但是高中階段出現(xiàn)的方程問題難度較大，有時僅僅依靠純粹的列式計算比較復(fù)雜，極易出錯，影響學(xué)生對題目的解答.這時高中數(shù)學(xué)教師可指引學(xué)生引用數(shù)形結(jié)合思想分析方程類的題目，根據(jù)圖像判定方程的實根情況，輔助學(xué)生簡單、直觀地解決問題，增強數(shù)學(xué)解題的自信，讓他們領(lǐng)略化逆為順的精彩.

例2 已知方程2a2x2+2ax+1-a2=0的兩個根在（-1，1）之內(nèi)，那么a的值是多少？

解析 學(xué)生如果直接采用代數(shù)法，那么解題過程將會變得異常煩瑣，還容易出現(xiàn)錯誤，很難順利求出正確答案.教師可提示學(xué)生引入數(shù)形結(jié)合思想，根據(jù)題目中給出的已知方程，繪制出相應(yīng)的二次函數(shù)y=a2x2+2ax+1-a2的草圖，如圖2所示.學(xué)生通過觀察圖像，發(fā)現(xiàn)拋物線和x軸的交點在（-1，1）之內(nèi)，需要滿足的條件是（a-1）2>0，（a+1）2>0，12-a2≤0.之后，在具體的解題環(huán)節(jié)，學(xué)生根據(jù)圖像得出上述三個不等式，將它們聯(lián)立起來構(gòu)成一個一元二次不等式組，解之得a≥22或a≤-22且a≠±1，由此得出a的取值范圍.之后，教師可以設(shè)置一些同類題目，如“方程ax-2x-1=0（a>1，a≠0）有兩個零點，求a的取值范圍”繼續(xù)引領(lǐng)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合思想求解.

如此，學(xué)生可以采用函數(shù)圖像解決方程近似解的個數(shù)問題.在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，將會出現(xiàn)不少不規(guī)則的方程，教師均可指引學(xué)生引入數(shù)形結(jié)合思想，借助函數(shù)圖像順利求解，幫助學(xué)生降低解題的難度，獲得解題成功的滿足感.

三、引入數(shù)形結(jié)合思想，降低函數(shù)問題難度

在高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，函數(shù)是一大“重頭戲”，是較為重要的知識內(nèi)容，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，且涉及范圍廣泛，還和數(shù)形結(jié)合思想有著直接聯(lián)系.在具體的解題環(huán)節(jié)，高中數(shù)學(xué)教師可以引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合思想處理難度系數(shù)相對較高的函數(shù)類問題，明晰函數(shù)式與圖像之間的關(guān)系，將抽象的函數(shù)知識變得具體化，借此降低函數(shù)試題的解答難度，提高他們的解題速度和水平，領(lǐng)略數(shù)學(xué)知識的魅力所在.

例3 已知函數(shù)f（x）=x3-3x2+ax+2，曲線y=f（x）在點（0，2）處的切線和x軸交點的橫坐標(biāo)是-2.

（1）求a的值;（2）證明，當(dāng)k<1時，曲線y=f（x）和直線y=kx-2只存在一個交點.

解 （1）設(shè)f′（x）=3x2-6x+a，f′（0）=a，曲線y=f（x）在點（0，2）處的切線方程是y=ax+2，根據(jù)題意可得-2a=-2，a=1;（2）教師應(yīng)提醒學(xué)生先分類，再引用數(shù)形結(jié)合思想尋求突破，不過分離變量的時候需注意x的取值范圍.令f（x）-kx+2=x3-3x2+（1-k）x+4=0，則k=x2-3x+4x+1（x≠0），令g（x）=x2-3x+4x+1（x≠0），定性畫出g（x）的圖像，通過觀察求得當(dāng)a<1時，曲線y=f（x）和直線y=kx-2只存在一個交點.

對于上述案例，教師指引學(xué)生采用數(shù)形結(jié)合思想尋求新的突破口，能夠有效降低這一問題的難度，使其結(jié)合圖像一目了然地獲取答案，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)題目變得非常直觀和具體，讓學(xué)生體驗到數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢，從而省掉很多不必要的計算步驟和環(huán)節(jié).

四、引入數(shù)形結(jié)合思想，簡便解決數(shù)列問題

在處理數(shù)列相關(guān)問題時，學(xué)生通常習(xí)慣于采用代數(shù)方式和思維方法來解決.但是把數(shù)形結(jié)合思想引入數(shù)列問題，可以把數(shù)列看作一列函數(shù)值，通過圖像的形式來表示，讓他們高效地解決數(shù)列問題.在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師可以引領(lǐng)學(xué)生使用數(shù)形結(jié)合思想解析數(shù)列問題，以圖形的形式來展示數(shù)列，能引導(dǎo)學(xué)生迅速找到解決問題的突破口，顯得快捷又直觀，最終幫助他們簡便、輕松地解決難題.

例4 已知在等差數(shù)列{an}中，3a8=5a13，求Sn中最大的值是（? ）.

A.S21??? B.S20??? C.S11??? D.S10

解析 當(dāng)學(xué)生第一眼看到這一題目時，往往會覺得題中給出的條件較少，一時之間不知道該如何下手解題.這時，教師可提示他們引用數(shù)形結(jié)合思想，將數(shù)列中的點以圖像形式呈現(xiàn)出來，畫成一個一次函數(shù)樣式.具體解答方法如下：根據(jù)題中給出的條件3a8=5a13可知a8a13=53，因為a1>0，所以a8>a13，則數(shù)列{an}是一個遞減數(shù)列，如圖4所示，設(shè)AB=x，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可得xx+5=35，解得x=7.5，那么an的圖像所在直線和x軸的交點坐標(biāo)是（20.5，0），明顯可以看到Sn中的最大值是S20，故正確選項是B.

在上述案例中，學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合思想的形象特點，將抽象化的數(shù)學(xué)問題變得形象化，能夠快速厘清題意，并找到正確的解題策略，減少錯誤現(xiàn)象的出現(xiàn)，鍛煉自身的抽象思維.

五、引入數(shù)形結(jié)合思想，高效解答幾何問題

在數(shù)形結(jié)合思想中，主要包括兩大類，分別是“以數(shù)解形”和“以形助數(shù)”，即借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間的某種關(guān)系.這表明在高中數(shù)學(xué)解題中引入數(shù)形結(jié)合思想時，不僅可用圖形來表示數(shù)，還能夠用數(shù)來表示圖形.教師需要引領(lǐng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解答幾何問題，降低他們出錯的頻率，更好地提升教學(xué)成效.

例5 已知有向線段PQ的起點P和終點Q坐標(biāo)分別是P（-1，1），Q（2，2），如果直線l：x+my+m=0和有向線段PQ延長相交，求實數(shù)m的取值范圍.

解析 學(xué)生可以把直線l的方程x+my+m=0轉(zhuǎn)變成點斜式，即為y+1=-1mx，輕松得知直線l經(jīng)過定點M（0，-1），且斜率是-1m，因為l與有向線段PQ的延長線相交，根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想畫出圖5，得出當(dāng)過點M且與PQ平行時，直線l的斜率趨近于最小，當(dāng)過點M與Q時，直線l的斜率趨近于最大，則kPQ=2-12-（-1）=13，kMQ=2-（-1）2-0=32，設(shè)直線l的斜率是k1，根據(jù)kPQ

針對上述案例，學(xué)生把含有一個變量的直線方程轉(zhuǎn)化為點斜式或經(jīng)過兩直線交點的直線系方程，在化為點斜式方程后看出交點M和斜率，然后結(jié)合圖形判斷出斜率的范圍.

總而言之，解題教學(xué)是高中數(shù)學(xué)課堂中的重要教學(xué)內(nèi)容，有助于培養(yǎng)學(xué)生靈活運用所學(xué)知識的能力，拓展學(xué)生的思維，形成適應(yīng)未來社會的關(guān)鍵能力.但由于高中數(shù)學(xué)課堂中的很多題目難度較大，學(xué)生解答起來并不輕松.教師需引導(dǎo)學(xué)生極力發(fā)揮出數(shù)形結(jié)合思想在解題中的優(yōu)勢，幫助他們優(yōu)化解題思路，使其掌握更為有效的解題技巧，逐步鍛煉和提高自身的數(shù)學(xué)解能力.

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