曹彬
1 問題的提出
在涉及橢圓、雙曲線、拋物線方程與性質(zhì)的題中,直線與圓錐曲線的位置關(guān)系題是高考的熱門考點(diǎn)之一,一般會(huì)出現(xiàn)在解析幾何題的第(2)問.分析近五年全國(guó)高考數(shù)學(xué)理科試題I、Ⅱ、Ⅲ卷,從2016年到2018年,這種題的常規(guī)解題過程都是設(shè)直線方程,再設(shè)直線與圓錐曲線交點(diǎn),聯(lián)立直線與圓錐曲線方程,于是根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出交點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系式,再將結(jié)論轉(zhuǎn)化成上述關(guān)系式求解,這就是用“設(shè)而不求”思想的解題過程,整個(gè)過程需要高強(qiáng)度的計(jì)算和清晰的邏輯思維為支撐.正因如此高三師生更愿意將這個(gè)過程程序化,而后在復(fù)習(xí)備考階段,將大量的精力放在研究“設(shè)而不求”的程序上,并希望借此程序?qū)懙酶?,走得更遠(yuǎn),
近5年的高考試題統(tǒng)計(jì)表明,2016年至2018年的解析幾何試題的考查的確較為關(guān)注“設(shè)而不求”解題思想的直接運(yùn)用.但是從2019年開始,“設(shè)而不求”解題思想悄然發(fā)生變化,尤其理科I、Ⅱ卷的解析幾何題的第(2)問不僅要設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo),而且要表示或解出點(diǎn)的坐標(biāo),淡化二次方程根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用,考查重點(diǎn)由過去的邏輯推理轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng),2020年全國(guó)高考數(shù)學(xué)理科試題I、II、III卷更是如此.命題趨勢(shì)的變化必然帶來學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變,下面以2020年高考全國(guó)III卷理科20題為例,談?wù)勥@類題的分析和解答過程.
為驗(yàn)證滿足條件的點(diǎn)P是否存在,利用幾何畫板軟件,動(dòng)態(tài)展示圖象變化過程,最終猜想滿足條件的點(diǎn)P有幾個(gè).
建立坐標(biāo)系,任作一個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,在橢圓外的x軸上任取一個(gè)點(diǎn),過該點(diǎn)作x軸的垂線,在垂線上任取一點(diǎn)Q,設(shè)橢圓與x軸的左右交點(diǎn)分別為A,B,以點(diǎn)B為圓心,線段BQ為半徑作圓,設(shè)圓與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)P,度量∠QBP的大小,此時(shí)只是保證BP= BQ,需要使?∠QBP= 90°的點(diǎn)P才滿足條件,
應(yīng)該注意到,上述的求解思路將“設(shè)而不求”演化成了“設(shè)而求出”.
4 結(jié)論
基于上述分析可以看出,求解第(2)問時(shí),需要把各點(diǎn)坐標(biāo)都解出具體數(shù)值的有力證據(jù)就是同時(shí)滿足|BP|=|BQ|和BP⊥BQ的點(diǎn)P,Q只能是四種情況.在加強(qiáng)考察學(xué)生計(jì)算能力,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)背景下,高考解析幾何題的考查方向在悄然發(fā)生變化,延續(xù)多年的“設(shè)而不求”過程穿插著“設(shè)而求出”,韋達(dá)定理的應(yīng)用不再是高考解析幾何題的唯一解題出路.這意味著,平時(shí)教學(xué)(尤其是高三復(fù)習(xí)),應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練多元方程組的求解,迎接高考題的這些變化.
參考文獻(xiàn)
[1]楊玉明,高考數(shù)學(xué)解析幾何命題的探究[J].新i果程,2020 (33):237