注重幾何實(shí)驗(yàn)教學(xué) 提升直觀想象素養(yǎng)

劉文生

在普通高中數(shù)學(xué)新課程中，學(xué)生將在高一階段學(xué)習(xí)立體幾何初步.新課程中的立體幾何初步的學(xué)習(xí)，必須重視幾何實(shí)驗(yàn)——構(gòu)建幾何體模型或幾何體框架或幾何體圖形，努力提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).在實(shí)際教學(xué)中，我們常見(jiàn)教師不重視幾何體構(gòu)建和幾何圖形的直觀把握，學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)得不到必要的提高，其實(shí)，人們己關(guān)注到學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的困難所在，依據(jù)現(xiàn)代教育發(fā)展的需要，新課程己適當(dāng)降低了幾何推理與證明的要求，更多地強(qiáng)調(diào)幾何直觀和空間想象的教學(xué)要求.

1 教學(xué)現(xiàn)狀與教學(xué)缺失分析

現(xiàn)象1掠過(guò)直觀感知的內(nèi)容

在學(xué)生的成長(zhǎng)過(guò)程中，很多學(xué)生感知空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、感知空間位置的經(jīng)驗(yàn)缺失嚴(yán)重.我們一線教師往往忽視這種經(jīng)驗(yàn)積累，常常用2課時(shí)學(xué)習(xí)空間幾何體的結(jié)構(gòu)，用2-3課時(shí)學(xué)習(xí)空間幾何體的三視圖和直觀圖，也就是用1周時(shí)間完成空間幾何體的初步認(rèn)識(shí).學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生往往沒(méi)有機(jī)會(huì)體驗(yàn)空間幾何體的存在方式或形成過(guò)程，對(duì)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征缺少直觀感知和整體把握，對(duì)圓臺(tái)、球的認(rèn)知只能是粗略了解概念，由于缺少投影的直觀感知，學(xué)生難以理解空間幾何體中與投影面不平行也不垂直的棱或面的投影，致使學(xué)生難以通過(guò)三視圖與直觀圖來(lái)整體把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征.教師普遍認(rèn)為簡(jiǎn)單又基本的內(nèi)容，就會(huì)趕時(shí)間趕進(jìn)度，從而忽略幾何直觀感的提高，學(xué)生的空間觀念得不到應(yīng)有的發(fā)展.

現(xiàn)象2忽略幾何表象的形成

在我們身邊，空間幾何體以及幾何元素之間的位置關(guān)系大量存在，教師往往以為學(xué)生看得多摸得多感知得多，以為僅靠語(yǔ)言描述就能喚起學(xué)生的空間感知.高中教學(xué)中，幾乎沒(méi)人再關(guān)注從長(zhǎng)方體盒子抽出長(zhǎng)方體框架，也很難見(jiàn)到紙板圍出的各種幾何體或木棒做成的幾何體框架，幾何體的實(shí)物模型也常常被多媒體投影所替代，其實(shí)，制作或觀察幾何體框架對(duì)認(rèn)識(shí)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、把握空間中點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系以及提高空間想象能力十分有益，幾何體模型和幾何體框架的缺失，致使學(xué)生頭腦內(nèi)很難形成良好的幾何表象，這樣的教學(xué)一定會(huì)疏遠(yuǎn)學(xué)生與立體幾何的情感距離，也必然會(huì)影響學(xué)生空間想象能力的發(fā)展.

現(xiàn)象3簡(jiǎn)化操作確認(rèn)的過(guò)程

教學(xué)中，旋轉(zhuǎn)體的形成、臺(tái)體的形成、幾何體的切割面、幾何體的投影、幾何體的側(cè)面展開(kāi)圖等都需要實(shí)際操作，直線與平面平行、平面與平面平行、直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定定理也都是通過(guò)操作確認(rèn)獲得的.在實(shí)際教學(xué)中，為了節(jié)省時(shí)間加快進(jìn)度，這些操作確認(rèn)的過(guò)程體驗(yàn)常常被我們減之又減，這些操作缺失將直接導(dǎo)致直觀感知與直觀想象的困難.由于缺失了直觀感知與直觀想象，學(xué)生也就無(wú)法構(gòu)建合理的幾何直觀形象，

現(xiàn)象4輕視繪圖視圖的訓(xùn)練

立體幾何的學(xué)習(xí)一直伴隨著視圖、繪圖.新課程要求小學(xué)生能初步形成空間觀念，初中學(xué)生能初步建立幾何直觀，高中教學(xué)要求培養(yǎng)和發(fā)展直觀想象能力，高中課程學(xué)習(xí)中，視圖、繪圖都要講規(guī)則，但是我們的教學(xué)往往對(duì)視圖與繪圖的規(guī)則重視不夠.其實(shí)，空間幾何體的直觀圖是依照斜二測(cè)畫法的規(guī)則繪制的，它們能較好的保留平行關(guān)系，對(duì)垂直關(guān)系（除水平線與豎直線外）、空間距離以及空間角等變形較明顯，如果缺失按規(guī)則繪圖視圖的訓(xùn)練，學(xué)生將很難對(duì)空間位置形成正確的感知，學(xué)生必然缺少課程必須的幾何直觀與空間想象能力.

2 教學(xué)建議

新課程中，立體幾何初步的學(xué)習(xí)，學(xué)生將經(jīng)歷從整體到局部、從具體到抽象的認(rèn)知過(guò)程，立體幾何初步的教學(xué)要體現(xiàn)課程改革的基本理念，在教學(xué)設(shè)計(jì)中要充分考慮立體幾何的特點(diǎn)、高一學(xué)生的心理特點(diǎn)以及不同水平不同興趣的學(xué)生的學(xué)習(xí)要求，教學(xué)中要運(yùn)用多種教學(xué)方法和手段，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地學(xué)習(xí)，通過(guò)4-5周的學(xué)習(xí)使學(xué)生能夠掌握立體幾何的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能以及它們所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，形成積極的情感態(tài)度.

新課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出，立體幾何初步的教學(xué)重點(diǎn)是幫助學(xué)生逐步形成空間觀念.怎樣的教學(xué)才能促使學(xué)生形成強(qiáng)大的空間觀念呢？我們認(rèn)為必須做好三件事.第一件，提供豐富的實(shí)物模型和框架模型（包括用計(jì)算機(jī)軟件呈現(xiàn)的圖形），夯實(shí)學(xué)生對(duì)空間圖形的基本認(rèn)識(shí)，引領(lǐng)學(xué)生形成良好的幾何直觀;第二件，充分利用長(zhǎng)方體，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)空間的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系并構(gòu)建立體幾何的公理、定理體系，逐步提高學(xué)生的空間觀念和幾何推理素養(yǎng);第三件，重視作圖與視圖，立足幾何直觀，逐步提升學(xué)生的空間想象能力.

2.1 為學(xué)習(xí)提供豐富的實(shí)物模型

高中新課程的立體幾何教學(xué)強(qiáng)調(diào)以直觀感知和整體把握為基礎(chǔ)，這種學(xué)習(xí)要求降低了學(xué)習(xí)立體幾何的臺(tái)階，有利于開(kāi)展立體幾何入門教學(xué).教學(xué)中合理安排學(xué)生把玩或制作幾何體的實(shí)物模型，有利于喚醒意識(shí)中或潛意識(shí)中的空間觀念，有利于構(gòu)建學(xué)生的幾何直觀.

在立體幾何初步的教學(xué)中，學(xué)生應(yīng)該見(jiàn)識(shí)到的實(shí)物模型有：長(zhǎng)方體、正四棱柱、正六棱柱、直三棱柱、正五棱柱、正三棱錐、正四棱錐、正三棱臺(tái)、正四棱臺(tái)、圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球等.其中長(zhǎng)方體模型要能拆開(kāi)或透視，直三棱柱的底面要有多樣性，圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面要能展開(kāi)，木質(zhì)球要便于觀察截面，等等.

2.2 讓學(xué)生動(dòng)手制作空間幾何體的框架

空間幾何體的框架能有效地將空間幾何體與幾何體的直觀圖連接起來(lái).框架突出了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征和構(gòu)成要素，認(rèn)識(shí)框架有利于學(xué)生直接感知空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，也能有效地引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知空間幾何體中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.

在立體幾何初步的教學(xué)中，我們要準(zhǔn)備足夠的木棒、鐵絲、橡膠泥等材料，我們可以根據(jù)教學(xué)直觀的需要適時(shí)制作和展示各式各樣的幾何體框架.

2.3依托長(zhǎng)方體開(kāi)展幾何實(shí)驗(yàn)

在學(xué)習(xí)概念時(shí)，以長(zhǎng)方體為載體幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)，線、面的概念，學(xué)習(xí)線線平行、線線相交、異面直線、面面平行、面面相交、線線垂直、面面垂直等概念，

在學(xué)習(xí)公理時(shí)，通過(guò)長(zhǎng)方體幫助學(xué)生直觀感知、操作確認(rèn).

在學(xué)習(xí)判定定理和性質(zhì)定理時(shí)，先通過(guò)長(zhǎng)方體幫助學(xué)生建立一個(gè)直觀、自然的思路.

在解決立體幾何問(wèn)題時(shí)，注重讓學(xué)生先找出長(zhǎng)方體模型，或優(yōu)先考慮將問(wèn)題中的圖形嵌套在長(zhǎng)方體中.

2.4加強(qiáng)作圖與視圖訓(xùn)練

視圖與作圖是立體幾何教學(xué)中最基本最基礎(chǔ)的任務(wù).首先要依托幾何實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生理解三視圖形成規(guī)則以及空間幾何體直觀圖的繪制規(guī)則，然后，繼續(xù)依托幾何實(shí)驗(yàn)幫助學(xué)生形成良好的直觀感知，使學(xué)生能較快地把握空間幾何體的“長(zhǎng)”“寬”“高”以及圖形中關(guān)鍵的平行與垂直關(guān)系.只有真正理解了視圖規(guī)則與作圖規(guī)則，學(xué)生才能真正理解幾何圖形是如何反映幾何體的結(jié)構(gòu)特征和幾何體中幾何要素之間的位置關(guān)系的.

在立體幾何初步的教學(xué)中，為了將柱體、錐體、臺(tái)體、球體以及簡(jiǎn)單組合體畫在紙上從而用平面圖形表示出來(lái)，在該章第2節(jié)，我們將學(xué)習(xí)空間幾何體的三視圖和直觀圖.通過(guò)認(rèn)知空間幾何體的三視圖，學(xué)生就會(huì)進(jìn)一步認(rèn)識(shí)空間幾何體的長(zhǎng)、寬、高以及幾何體中線、面之間的垂直、平行關(guān)系.通過(guò)學(xué)習(xí)用斜二測(cè)畫法畫空間幾何體的直觀圖，學(xué)生就能更好的將空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征與平面上的幾何圖形聯(lián)系起來(lái)，從而形成一定的幾何直觀能力.

2.5提供豐富的操作實(shí)驗(yàn)或演示實(shí)驗(yàn)

在立體幾何初步的教學(xué)中，我們可以安排豐富的操作實(shí)驗(yàn)：圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球等旋轉(zhuǎn)體的形成操作實(shí)驗(yàn);簡(jiǎn)單幾何體以及它們的骨架的中心投影與平行投影的演示實(shí)驗(yàn);長(zhǎng)方體及其展開(kāi)圖、圓柱圓錐圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖的操作實(shí)驗(yàn);正方體分割出正四面體、三棱柱分割成3個(gè)相等體積的三棱錐的操作實(shí)驗(yàn);認(rèn)知線面平行、面面平行、線面垂直的判定定理的相關(guān)實(shí)驗(yàn)操作，等等.這些操作實(shí)驗(yàn)，可以利用實(shí)物進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，也可以適時(shí)的運(yùn)用多媒體技術(shù)開(kāi)展實(shí)驗(yàn).認(rèn)真地開(kāi)展這些操作實(shí)驗(yàn)，有利于學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，有利于學(xué)生更好地理性視圖或更好地理性作圖，有利于學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)空間幾何體中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，從而幫助學(xué)生形成較強(qiáng)的直觀想象能力.

3 教學(xué)再思考

3.1空間幾何體框架為構(gòu)建直觀想象提供有力支撐

依照幾何體實(shí)物構(gòu)建的幾何體框架，是我們認(rèn)識(shí)幾何體結(jié)構(gòu)特征的必備模型，也是我們構(gòu)建幾何體圖形的重要支撐.當(dāng)我們看幾何體的圖形時(shí)，我們必須要能想象幾何體的構(gòu)成要素、它的結(jié)構(gòu)特征、它的位置、它的大小以及它的變化等.借助圖形認(rèn)識(shí)事物，已是人類認(rèn)識(shí)世界的重要方式，在高中立體幾何初步的學(xué)習(xí)中，學(xué)生要能構(gòu)建基本的空間圖形（包括柱、錐、臺(tái)、球以及簡(jiǎn)單的組合體的直觀圖），要能正確認(rèn)識(shí)空間圖形，并能借助空間圖形認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.在立體幾何初步的學(xué)習(xí)中學(xué)生應(yīng)重點(diǎn)提升直觀想象素養(yǎng).

3.2 幾何直觀與空間想象辯證統(tǒng)一

幾何直觀就是通過(guò)幾何圖形對(duì)事物進(jìn)行直觀感知和整體把握，實(shí)際上就是通過(guò)幾何圖形的形象或者表象對(duì)事物進(jìn)行直接觀察得到的感性認(rèn)識(shí)，以及通過(guò)幾何學(xué)的理性認(rèn)識(shí)并在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上得到的對(duì)事物的整體把握.這里，幾何圖形其實(shí)就是我們頭腦內(nèi)對(duì)事物產(chǎn)生的幾何表象的外顯表現(xiàn)形式.在分析解決問(wèn)題的過(guò)程中，往往要通過(guò)圖形找感覺(jué)，形成幾何直覺(jué)，并由直覺(jué)引導(dǎo)思考，使思維與圖形、抽象與形象相輔相成.

空間想象就是以現(xiàn)實(shí)世界為背景，基于對(duì)幾何圖形的運(yùn)動(dòng)、變換和位置關(guān)系的把握，對(duì)事物的幾何表象進(jìn)行加工、改造，甚至去創(chuàng)造新的空間形象的心理活動(dòng).

幾何直觀以幾何圖形為載體，對(duì)事物的認(rèn)識(shí)相對(duì)形象直觀;空間想象是對(duì)幾何表象的再思考，對(duì)事物的認(rèn)識(shí)相對(duì)抽象，兩者的有機(jī)結(jié)合使直觀想象這一核心素養(yǎng)集具體和抽象于一體，這不僅升華了其育人價(jià)值，也使其具有方法論上的意義.

3.3直觀想象與幾何推理相輔相成

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng).直觀想象主要表現(xiàn)為建立形與數(shù)的聯(lián)系、利用幾何圖形描述問(wèn)題、借助幾何直觀理解問(wèn)題、運(yùn)用空間想象認(rèn)識(shí)事物.立體幾何中，直觀想象依賴于學(xué)生對(duì)空間圖形以及對(duì)圖形的結(jié)構(gòu)、位置、大小、變化等情形的認(rèn)識(shí)，學(xué)習(xí)時(shí)必須努力夯實(shí)對(duì)空間圖形的基礎(chǔ)認(rèn)識(shí)和視圖畫圖的基本訓(xùn)練，并學(xué)會(huì)利用空間圖形、空間觀念描述問(wèn)題，進(jìn)而借助圖形分析解決問(wèn)題.對(duì)空間圖形的把握和利用水平將直接反映直觀想象素養(yǎng)水平.

另一方面，學(xué)習(xí)立體幾何可以大大發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)推理素養(yǎng).立體幾何中，無(wú)論是利用概念還是利用公理、定理及重要命題來(lái)分析求解問(wèn)題，我們都得進(jìn)行幾何推理，這種幾何形式的推理就是由一般到特殊的演繹推理.這種幾何推理不能憑直覺(jué)，當(dāng)然也不是用歸納或類比的方法.

學(xué)習(xí)立體幾何初步，在空間中探究點(diǎn)線面的位置關(guān)系，必須依托幾何圖形（特別是長(zhǎng)方體），對(duì)幾何圖形的直觀想象是理解問(wèn)題、領(lǐng)悟思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)，是發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的重要手段，而我們的所思所悟是否正確可靠，就得依賴幾何推理.在立體幾何初步的學(xué)習(xí)中，直觀想象素養(yǎng)與幾何推理素養(yǎng)是相輔相成的，需共同提升.