立足兩類垂直證明 提升學(xué)生邏輯推理核心素養(yǎng)

雷雄軍

數(shù)學(xué)證明教學(xué)是提升學(xué)生邏輯推理核心素養(yǎng)的重要途徑，在中學(xué)階段，幾何證明占據(jù)了數(shù)學(xué)證明的絕大部分.本文立足高一立體幾何教學(xué)中的直線與直線垂直，平面與平面垂直等兩類垂直證明，淺述在平時教學(xué)過程中如何以教材及習(xí)題為依托，以課堂為主陣地，提升學(xué)生的邏輯推理核心素養(yǎng).

1 邏輯推理核心素養(yǎng)

邏輯推理素養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的六大核心素養(yǎng)之一.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》指出：邏輯推理是從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng);是得到數(shù)學(xué)結(jié)論，構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式;是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證.高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠掌握邏輯推理的基本形式，學(xué)會有邏輯的思考問題，能夠在比較復(fù)雜的情境中，把握事物之間的關(guān)聯(lián)，把握事物發(fā)展脈絡(luò)，形成重論據(jù)，有條理，合乎邏輯的思維品質(zhì)和理性精神.在具體教學(xué)過程中，我們該如何立足教材及其相應(yīng)的習(xí)題提升學(xué)生邏輯核心素養(yǎng)呢？本文將結(jié)合立體幾何教學(xué)中的兩類垂直證明思維過程展現(xiàn)論述如何將邏輯推理核心素養(yǎng)融入具體的課堂教學(xué)內(nèi)容中，提升學(xué)生邏輯推理能力.

2 直線與直線垂直證明的邏輯分析

直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系是高中立體幾何的教學(xué)重點，也是教學(xué)難點.必修2的教材中，雖然并沒有專門的章節(jié)直接講述直線與直線的證明，也沒有像直線與平面垂直那樣給出了直接的判定定理，但是線線垂直的證明是依托線面垂直證明，卻又高于線面垂直的證明.因此也很受命題者的青睞.在高中立體幾何中設(shè)置的線線垂直證明，都是要通過證明線面垂直，在線面垂直的基礎(chǔ)上，再說明另一條線在面內(nèi)即可得出結(jié)論.那么如何通過條件和己學(xué)的知識，找到我們所需的線面垂直呢？課本和習(xí)題中的答案中只是呈現(xiàn)了要找的線面垂直及其如何證的.但是沒能告訴我為什么要找那樣的線面垂直，是如何切入的.如何由所給的條件及所證的結(jié)論找到精準(zhǔn)的線面垂直才是解決問題的關(guān)鍵，只有完成這個過程，學(xué)生的邏輯推理能力才能得以提升.

在上面例題的邏輯探析過程中，我們在與PC上BD關(guān)聯(lián)的情境中，通過對條件與結(jié)論的分析，探索了論證的思路，發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問題BD上面COP，最終選擇了合適的論證方法予以證明并能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表述論證過程，依據(jù)水平劃分標(biāo)準(zhǔn)，達(dá)到了情境與問題、思維與表達(dá)的水平二標(biāo)準(zhǔn).探析過程中始終圍繞主題，觀點明確，加深理解了線線垂直與線面垂直定理、命題之間的邏輯關(guān)系，初步建立起網(wǎng)狀的知識結(jié)構(gòu)，提煉出解決此類問題的通性通法.

3 平面與平面垂直的邏輯探析

由平面與平面垂直的判定定理可以得出，要證面面垂直仍然必須要證線面垂直，即要在一個平面內(nèi)找一條線與另外一個平面垂直，我們知道，每個平面至少有3條線，兩個平面至少6條線，如果每條線都去嘗試，至少要嘗試6種情況，大大降低了做題的效率.同樣教材和習(xí)題答案也是只給了我們找怎么樣的線面垂直及如何證明，沒能告訴我們?yōu)槭裁匆疫@樣的線面的垂直，是怎樣推理出來的？這就是教師講題要重點發(fā)揮的地方，要讓學(xué)生能夠在較復(fù)雜的情境中，清晰有邏輯地思考問題，進(jìn)而準(zhǔn)確把握解決問題的脈絡(luò).

邏輯探析 要證明面面垂直，就必須要證線面垂直，要證線面垂直就必須有線線垂直，因此先在復(fù)雜的情景中尋找線線垂直.即要在兩個平面內(nèi)分別找出一條線且要互相垂直（一般情況下這組互相垂直的線比較容易找到）.在此題中，利用面面垂直的性質(zhì)，可以找到PO上AC，接下來我們的思路就可以鎖定在證PO⊥面PAC或AC⊥面POB.比之前的至少6種情形清晰簡單了很多.這里通過挖掘題目中的平面PAD⊥平面ABCD，合理構(gòu)建了過渡性命題PO上面PAC或AC⊥面POB，接下來再結(jié)合題目中的其它條件、圖形去尋找兩種線面垂直情形的論證路徑（至少有一種情形可以論證）.

在以上問題的解答過程中，面對要證的結(jié)論平面POB⊥平面PAC，通過對條件的合理分析，構(gòu)建兩種不同的過渡性命題PO⊥面PAC或AC⊥面POB，再利用題目中圖形與圖形，圖形與數(shù)量關(guān)系探索出論證AC⊥面BOP途徑，并用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言表達(dá).這個過程使學(xué)生深入理解線線垂直、線面垂直、面面垂直的相關(guān)定理及其定理之間的邏輯關(guān)系，構(gòu)建空間垂直證明體系的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu).

4 結(jié)語

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，不僅可以讓學(xué)生更順利的構(gòu)建數(shù)學(xué)知識體系，發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)命題，而且還可以培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，這種思維品質(zhì)可以遷移到其他學(xué)科及其生活中去.本文僅從立體幾何中的兩類垂直證明思維過程的展現(xiàn)論述如何將邏輯推理素養(yǎng)的內(nèi)涵、要求融入具體的課堂教學(xué)內(nèi)容中，進(jìn)而提升學(xué)生邏輯推理能力.其實，邏輯推理普遍存在于幾何與代數(shù)、函數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動等高中數(shù)學(xué)的幾大教學(xué)模塊中.教師在教學(xué)過程中，要精準(zhǔn)提煉邏輯推理的培養(yǎng)策略，依托教材，深入鉆研教材內(nèi)容背后所蘊含的邏輯推理素養(yǎng);要立足課堂，不斷改變課堂教學(xué)方式，讓學(xué)生經(jīng)歷知識發(fā)生發(fā)展及探索過程，發(fā)散學(xué)生的思維，使學(xué)生有邏輯地思考問題，發(fā)展學(xué)生邏輯思維素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國教育部制定，普通數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）[M].北京：人民教育出版社，2018