小學(xué)數(shù)學(xué)幾何直觀教學(xué)實踐探索

楊浩方 陳操

【摘要】本文基于對幾何直觀概念的認識，論述利用幾何直觀開展數(shù)學(xué)教學(xué)的體會：借助幾何直觀，理解數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型；借助幾何直觀，溝通算理，形成知識結(jié)構(gòu)；借助幾何直觀，把握問題本質(zhì)，促進問題解決；借助幾何直觀，化難為易，突破學(xué)習障礙；借助幾何直觀，明晰方法，拓寬解題思路。

【關(guān)鍵詞】幾何直觀 概念 幾何圖形 表現(xiàn)形式

【中圖分類號】G62 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2022）28-0067-04

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》提出：幾何直觀有助于把握問題本質(zhì)，明晰解題路徑。因此，教師要進一步加強對幾何直觀的認識，將幾何直觀運用于小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，以提升數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、基于幾何直觀概念的認識

由于幾何直觀內(nèi)涵豐富并與一些相關(guān)聯(lián)概念之間存在緊密聯(lián)系，因而許多教師對幾何直觀概念的內(nèi)涵比較模糊。教師只有真正明白什么是幾何直觀、幾何直觀有哪些本質(zhì)特征，才能將幾何直觀有效運用于數(shù)學(xué)教學(xué)中。

（一）幾何直觀概念的解讀

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》將原先的“空間與圖形”領(lǐng)域改為“圖形與幾何”領(lǐng)域，首次將幾何直觀列入十大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一。幾何直觀來源于“圖形與幾何”領(lǐng)域，但它也適用于“數(shù)與代數(shù)”等領(lǐng)域，所以這個圖形不單單局限于幾何圖形的范圍，它可以是表格、圖形、線段、方框、統(tǒng)計圖等。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》對幾何直觀做了明確解釋：“幾何直觀主要是指運用圖表描述和分析問題的意識與習慣……幾何直觀有助于把握問題的本質(zhì)，明晰思維的路徑?！毙抡n標指出了幾何直觀的內(nèi)涵及教育價值。幾何直觀是教師開展教學(xué)的一種有效手段，也是學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)的有效方法。著名數(shù)學(xué)家徐利治說：“幾何直觀是借助與見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知?！睅缀沃庇^將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言結(jié)合起來，化抽象為具體，以此幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)。

（二）幾何直觀的表現(xiàn)形式

若想進一步明白什么是幾何直觀，教師還應(yīng)知道幾何直觀在小學(xué)數(shù)學(xué)中有哪幾種表現(xiàn)形式?？追舱芎褪穼幹薪淌趯缀沃庇^分為：實物直觀、替代物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀。實物直觀是指實物層面的幾何直觀，它是運用生活中的具體實物作為研究對象而進行學(xué)習的一種思維方式。如教學(xué)人教版數(shù)學(xué)一年級上冊“認識鐘表”一課，教師可以讓學(xué)生用家里的鐘表作為學(xué)具，讓學(xué)生通過觀察鐘面認識時針和分針，通過撥一撥時針認識幾時。又如，教學(xué)“數(shù)的認識”時，教師可以利用小棒、計數(shù)器等具體實物幫助學(xué)生認識數(shù)的組成及意義。

替代物直觀是指在替代物層面的直觀，它是運用替代物替代原有實物作為研究對象的一種思維方式。運用替代物直觀可以簡化原有的研究對象，更便于操作和研究。例如，教學(xué)人教版數(shù)學(xué)三年級上冊“倍的認識”例1時，教師可以讓學(xué)生用白色、紅色、黃色、藍色的小圓片學(xué)具替代白蘿卜、紅蘿卜、小白兔和小灰兔。這樣，既便于學(xué)生操作，又能使學(xué)生形象地感知數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系。

簡約符號直觀是指簡約符號層面的幾何直觀，從三維立體空間轉(zhuǎn)向了二維平面圖形，是對實物和替代物的進一步的抽象。例如，教學(xué)人教版數(shù)學(xué)三年級上冊“倍的認識”例2時，教師可以讓學(xué)生用人物簡筆畫或圓型、三角形、五角星等簡約符號代替擦桌椅的人數(shù)和掃地的人數(shù)，使學(xué)生能形象直觀地看出把掃地的4人看作1倍，擦桌椅的人數(shù)包含4個掃地的人數(shù)。簡約符號直觀能讓學(xué)生直觀、清楚地理解研究對象之間的關(guān)系，從具體思維逐漸過渡到抽象思維。

圖形直觀是指幾何圖形層面上的直觀，它是運用點、線、面、體“圖形與幾何”領(lǐng)域里的圖形進行描述和分析問題的一種思維方式。例如，教學(xué)人教版數(shù)學(xué)五年級上冊“植樹問題”的內(nèi)容時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過畫線段圖的方式，理解“兩端都種”“只種一端”“兩端都不種”以及封閉圖形的種法，明晰棵數(shù)與間隔數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

（三）幾何直觀與相關(guān)概念的辨析

為了開展有效教學(xué)，在認識“幾何直觀”內(nèi)涵的同時，教師還要明白幾何直觀與直觀幾何、空間觀念、數(shù)形結(jié)合等相關(guān)概念的聯(lián)系與區(qū)別。

1.幾何直觀與直觀幾何

雖然“幾何直觀”與“直觀幾何”都是建立在對圖形直觀感知的基礎(chǔ)上，學(xué)生都是在經(jīng)歷學(xué)習活動中積累活動經(jīng)驗、發(fā)展幾何直覺，但“直觀幾何”是指通過對圖形進行觀察，根據(jù)直觀認識來研究圖形的性質(zhì)和相關(guān)問題的一種幾何學(xué)習方式或手段；通過觀察比較或動手操作獲得對圖形的認識，并發(fā)展空間觀念。例如，在教學(xué)平行四邊形的面積時，教師引導(dǎo)學(xué)生運用觀察、操作等手段將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，并得出平行四邊形的面積推導(dǎo)公式，這種幾何學(xué)習的方法就是直觀幾何。因此，“直觀幾何”與“幾何直觀”是兩個不同的概念?！爸庇^幾何”是一種幾何學(xué)習的方法，“幾何直觀”是解決數(shù)學(xué)問題的一種思維方式、意識和習慣。

2.幾何直觀與空間觀念

雖然幾何直觀與空間觀念都跟圖形有關(guān)，但空間觀念是指對空間物體或圖形的形狀、大小及位置關(guān)系的認識。幾何直觀，是指運用圖表描述和分析問題的意識與習慣。由此可知，空間觀念有比較明顯的目標特征，體現(xiàn)更多的是教學(xué)結(jié)果；而幾何直觀過程性特征更加突出，體現(xiàn)的是一種思維方式和能力，是學(xué)生的有效學(xué)習方法和教師的有效教學(xué)手段。另外，“空間觀念”屬于“圖形與幾何”領(lǐng)域，是幾何教學(xué)的一個重要專有名詞；而“幾何直觀”除了借助“幾何”，還跳出了“幾何”領(lǐng)域，運用到了更廣闊的領(lǐng)域。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》將“空間觀念”修改為“空間觀念”和“幾何直觀”，雖然將“幾何直觀”從原先的“空間觀念”剝離出來，但兩者之間存在緊密聯(lián)系。例如，我們?nèi)绻逦硐?、發(fā)展空間觀念，就需要用到觀察、想象、分析等直觀手段；運用圖形描述和分析問題的幾何直觀，也離不開空間觀念的觀察與想象?？梢姡翱臻g觀念”和“幾何直觀”兩者相輔相成，相互促進與發(fā)展。

3.幾何直觀與數(shù)形結(jié)合

在現(xiàn)實教學(xué)中會存在一個誤區(qū)，大多數(shù)教師以為“數(shù)形結(jié)合”就是“幾何直觀”。其實，兩者既有聯(lián)系又有區(qū)別。幾何直觀可以通過數(shù)形結(jié)合建立數(shù)與形的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型。數(shù)形結(jié)合有兩種形式：一種是“以數(shù)解形”，另一種是“以形助數(shù)”。為此，浙江省特級教師顧志能做了一個很形象的比喻：數(shù)形結(jié)合好比公路的雙向車道，它可以從“數(shù)”出發(fā)到“形”，又可以從“形”出發(fā)到“數(shù)”；而幾何直觀就只是從“形”出發(fā)到“數(shù)”的單向車道。

二、基于幾何直觀教學(xué)的實踐

明白了幾何直觀概念的深刻內(nèi)涵，教師就可以將它有效運用于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。幾何直觀作為一種教學(xué)手段，可以使復(fù)雜的問題變得簡明形象，有助于學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系、溝通算理、化難為易、明晰解題思路等。

（一）借助幾何直觀，理解數(shù)量關(guān)系，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

小學(xué)生的思維處在具體形象思維向抽象思維過渡的階段，而數(shù)學(xué)模型比較抽象，學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型需要經(jīng)歷一個過程。為了幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，教師可以借助幾何直觀，讓學(xué)生通過畫圖、操作等手段，將數(shù)量關(guān)系具體化、直觀化，使學(xué)生在形象感知中直觀理解數(shù)量關(guān)系，有效完成數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)。

例如，教師在課堂上出示這樣的題目：在一條20米長的筆直道路一旁種樹，每隔5米種一棵可以種幾棵？學(xué)生馬上列出了算式：20÷5=4（棵）。這時教師追問：20÷5=4，表示什么意思？是怎么種的呢？還有不同的種法嗎？接著，引導(dǎo)學(xué)生用畫圖的方法試著再次解答。學(xué)生通過畫圖得到了不同的答案（如圖1所示）。

學(xué)生發(fā)現(xiàn)在筆直道路一旁種樹有三種情況：兩端都種、只種一端、兩端都不種。教師再次引導(dǎo)學(xué)生探究，通過觀察線段圖發(fā)現(xiàn)間隔數(shù)和棵數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系：兩端都種，棵數(shù)=間隔數(shù)+1；一端種，棵數(shù)=間隔數(shù)；兩端都不種，棵數(shù)=間隔數(shù)-1。學(xué)生通過畫圖，運用數(shù)形結(jié)合的思想，發(fā)現(xiàn)了植樹問題的數(shù)量關(guān)系，并在頭腦中建立了數(shù)學(xué)模型。

（二）借助幾何直觀，溝通算理，形成知識結(jié)構(gòu)

為了實現(xiàn)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)目標，教師要整體把握教學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)。以教學(xué)“數(shù)與運算”為例，在學(xué)生理解整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)意義的同時，教師可借助圖形，使學(xué)生在觀察、感知中理解整數(shù)乘整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的計算原理?；谟嫈?shù)單位表達的一致性，學(xué)生可以將整數(shù)乘整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的計算原理統(tǒng)一成求幾個這樣的計數(shù)單位的積（如圖2所示）。

教師借助幾何直觀教學(xué)法，有效幫助學(xué)生理解了知識之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，溝通了整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)計算原理之間的聯(lián)系，使學(xué)生將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識形成結(jié)構(gòu)化的內(nèi)容。

（三）借助幾何直觀，把握本質(zhì)，促進問題解決

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》明確指出了幾何直觀的教學(xué)價值：“幾何直觀有助于把握問題本質(zhì)，明晰思維的路徑?！被诖耍處熆衫脦缀沃庇^教學(xué)法，讓學(xué)生通過畫圖、操作等手段發(fā)現(xiàn)題目中隱含的數(shù)學(xué)信息，抓住數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，找到解題路徑，促進問題解決。

例如，教學(xué)“公因數(shù)和最大公因數(shù)”一課時，教師出示題目：有一間長16分米、寬12分米的儲藏室要鋪地磚，為了能整齊美觀，你認為鋪邊長幾分米地磚比較合適？（地磚的邊長為整分米）對此，教師引導(dǎo)學(xué)生用畫圖的方法解決問題。（如圖3所示）

學(xué)生經(jīng)過動手畫一畫，發(fā)現(xiàn)正方形地磚的邊長可以是1dm、2dm、4dm。學(xué)生經(jīng)過觀察又發(fā)現(xiàn)：地磚的邊長越短，需要地磚的塊數(shù)就越多；地磚的邊長越長，需要地磚的塊數(shù)就越少。學(xué)生還發(fā)現(xiàn)求地磚的邊長就是求12和16的公因數(shù)。通過進一步觀察圖形，學(xué)生發(fā)現(xiàn)選擇邊長為4分米的方磚鋪地最合適。學(xué)生運用圖形工具，把抽象的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為直觀、形象的圖形語言，厘清了解題思路，明晰了所求問題的本質(zhì)，有效地解決了問題。

（四）借助幾何直觀，化難為易，突破學(xué)習難點

學(xué)生在學(xué)習過程中難免會遇到一些條件隱蔽、關(guān)系錯綜復(fù)雜的題目，在解決問題的過程中也時常會卡在某個點上。這時，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過幾何直觀，利用圖像分析化難為易，將抽象的數(shù)學(xué)問題形象化、直觀化，突破學(xué)習難點。

例如，教學(xué)人教版數(shù)學(xué)四年級下冊“平均數(shù)”時，教師出了一道題：在某次期末考試中，明明的語文、科學(xué)、英語平均成績是92分，數(shù)學(xué)的考試成績比四門課平均成績高6分，明明的數(shù)學(xué)成績是多少？在解答過程中，學(xué)生遇到了一個難點：四門課的平均分不知道，該如何解決問題呢？在教師的引導(dǎo)下，師生共同畫了一個條形統(tǒng)計圖（如圖4所示）。借助形象直觀的圖像，學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩塊圖形的陰影部分的面積是相等的，于是馬上攻克了學(xué)習難點，求出了四門課的平均成績是6÷3=2，92+2=94，這樣數(shù)學(xué)成績就迎刃而解，即94+6=100?？梢姡柚鷪D像，學(xué)生能更直觀地理解平均數(shù)的意義，再利用條形統(tǒng)計圖移多補少的方法，順利突破了學(xué)習難點。

（五）借助幾何直觀，明晰方法，拓寬解題思路

幾何圖形的直觀性，為學(xué)生探究數(shù)學(xué)問題提供了強有力的支撐，可有效拓寬學(xué)生的解題思路。

例如，教學(xué)人教版數(shù)學(xué)五年級下冊“長方體和正方體的表面積”的內(nèi)容時，教師出示了這樣一道題：有一個長、寬、高分別是10cm、4cm、5cm的長方體盒子（如圖5所示），要在這個長方體盒子的四周貼上標簽（接頭處不計），標簽的面積是多少？學(xué)生根據(jù)原有公式很快得出了算式：（10×5+4×5）×2，10×5×2+4×5×2。對此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將長方體展開（如圖6所示）。學(xué)生通過動手操作和觀察，發(fā)現(xiàn)：長方體的側(cè)面積=底面周長×高，于是列出了新的算式（10+4）×2×5。借助直觀圖形，學(xué)生打開了思路，從多角度分析和思考數(shù)學(xué)問題，最終得出了不同的解題方法。

三、基于幾何直觀教學(xué)的反思

（一）幾何直觀教學(xué)要尊重學(xué)生的已有經(jīng)驗

學(xué)生在生活或?qū)W習中積累的經(jīng)驗是發(fā)展幾何直觀能力的基礎(chǔ)，幾何直觀教學(xué)要建立在學(xué)生已有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，圖形的選擇要與學(xué)生已有經(jīng)驗相匹配，教師要尊重不同學(xué)生的選圖經(jīng)驗。例如，小學(xué)低年級學(xué)生喜歡用擺小棒、擺卡片等實物圖來認識數(shù)、比較數(shù)的大小并進行數(shù)的加減運算；到了中年級，學(xué)生就會選擇一些簡單的符號表示數(shù)量關(guān)系；隨著圖形經(jīng)驗的豐富，到了高年級，學(xué)生會用線段圖、統(tǒng)計圖表等來表示數(shù)量關(guān)系。教師要在尊重學(xué)生已有選圖經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生選擇最有利于問題解決的圖形，以此達到有效解決問題的目的。

（二）幾何直觀教學(xué)要關(guān)注學(xué)生的語言表達

幾何直觀教學(xué)的本質(zhì)是借助圖表將抽象的數(shù)學(xué)語言形象化，幫助學(xué)生分析、理解、掌握抽象的數(shù)學(xué)知識。因此，在幾何直觀教學(xué)中教師要關(guān)注學(xué)生觀察圖形的能力、分析問題的能力、用語言表達的能力，使學(xué)生經(jīng)歷從圖形的觀察到數(shù)學(xué)語言表達的學(xué)習過程。通過語言表達，學(xué)生學(xué)會了溝通數(shù)與形之間的聯(lián)系，把握了問題本質(zhì)，促進了問題的解決。

（三）幾何直觀教學(xué)要重視學(xué)生的作圖訓(xùn)練

圖形是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的重要載體。培養(yǎng)學(xué)生的作圖意識，讓學(xué)生掌握一定的作圖技能，有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，幫助學(xué)生有效解決問題。經(jīng)調(diào)查，筆者發(fā)現(xiàn)小學(xué)生的作圖能力比較弱，有些學(xué)生不擅長用圖來表示信息和問題，有的學(xué)生畫的圖是殘缺的，有的學(xué)生甚至把圖形畫錯了。例如，教學(xué)人教版數(shù)學(xué)二年級上冊“一班得了12面小紅旗，二班比一班多得了3面，二班得了多少面？”的例題時，學(xué)生在畫圖過程中出現(xiàn)了種種錯誤現(xiàn)象，導(dǎo)致無法找到數(shù)量之間的關(guān)系。對此，教師要對學(xué)生加強作圖指導(dǎo)，可根據(jù)學(xué)生的畫圖情況，分三個層次進行反饋：第一個層次反饋象形圖，第二個層次反饋直條圖，第三個層次反饋線段圖。當然，培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力不能一蹴而就，需要教師持之以恒，常抓不懈。一旦學(xué)生掌握了作圖技能，分析和解決問題的能力就會大大提高。

總之，幾何直觀教學(xué)適用于數(shù)學(xué)的每一個領(lǐng)域。教師合理運用幾何直觀開展數(shù)學(xué)教學(xué)，能有效提升數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。

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作者簡介：楊浩方（1983— ），浙江杭州人，本科，一級教師，研究方向為優(yōu)化教學(xué)方法提升教學(xué)質(zhì)量的課堂實踐研究；陳操（1974— ），浙江磐安人，本科，一級教師，研究方向為小學(xué)數(shù)學(xué)高效課堂教學(xué)。

（責編 黎雪娟）