基于Bray-Curtis相異度的沖突度量方法

陳洪鋒, 王 欣,2,*

(1.黑龍江大學(xué) 電子工程學(xué)院, 哈爾濱 150080; 2.黑龍江省信息融合估計(jì)與檢測(cè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 哈爾濱 150080)

0 引 言

信息融合技術(shù)是近二十年來(lái)持續(xù)研究的熱點(diǎn)[1-2]，D-S證據(jù)理論是信息融合技術(shù)的重要方法之一， 它最早是由Dempster提出，后由其學(xué)生Shafer優(yōu)化，從而形成了一門(mén)新的理論。目前，D-S證據(jù)理論被廣泛應(yīng)用于目標(biāo)識(shí)別[3- 4]、故障診斷[5]、多屬性決策分析[6-7]以及風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估[8]等領(lǐng)域。

雖然D-S證據(jù)理論因其能夠表達(dá)不確定性信息而被廣泛應(yīng)用，但存在諸多問(wèn)題。例如，當(dāng)D-S證據(jù)理論處理高沖突證據(jù)時(shí)，可能會(huì)得到與直觀相悖的結(jié)論[9]。此外，許多學(xué)者還發(fā)現(xiàn)D-S證據(jù)理論存在的另一個(gè)問(wèn)題是傳統(tǒng)沖突系數(shù)k無(wú)法準(zhǔn)確度量證據(jù)間的沖突程度[10]。

對(duì)于此問(wèn)題，學(xué)者們提出了許多改進(jìn)方法。2006年，Liu W R等[9]舉例說(shuō)明了傳統(tǒng)的沖突系數(shù)k無(wú)法準(zhǔn)確地度量證據(jù)間的沖突程度，將Pignistic概率距離與沖突系數(shù)k兩者結(jié)合起來(lái)描述沖突的大小。宋亞飛等[10]提出應(yīng)用余弦角度來(lái)度量證據(jù)間的沖突程度。Deng Z等[11]認(rèn)為只用證據(jù)距離或角度來(lái)衡量證據(jù)間的沖突程度是不準(zhǔn)確的，因此提出了一種將證據(jù)距離與角度相結(jié)合的沖突程度度量方法。Cai Q X等[12]將Pignistic probability transform 推廣為Pignistic belief transform (PBT)，提出了一種基于PBT的沖突度量方法。毛藝帆等[13]提出證據(jù)重合度的概念來(lái)度量證據(jù)間的沖突程度。雖然這些方法在某種程度上都能對(duì)沖突程度進(jìn)行度量，但也存在一些不足。例如文獻(xiàn)[1]的余弦方法不滿足三角不等式，且由于引入了相似度矩陣修正證據(jù)，增加了計(jì)算負(fù)擔(dān)。

筆者基于Bray-Curtis相異度公式，提出了一種證據(jù)沖突度量的計(jì)算方法，與以往文獻(xiàn)對(duì)比，所提方法具有如下創(chuàng)新點(diǎn)：①理論證明了所提方法滿足非負(fù)性、規(guī)范性、對(duì)稱性、一致性和三角不等式，這些性質(zhì)保證了所提方法能夠?qū)ψC據(jù)的沖突程度進(jìn)行有效度量；②所提方法無(wú)需矩陣運(yùn)算，計(jì)算負(fù)擔(dān)小，且多個(gè)典型實(shí)驗(yàn)仿真驗(yàn)證了所提方法的有效性。

1 基礎(chǔ)知識(shí)

1.1 D-S證據(jù)理論

定義1 (識(shí)別框架) 在D-S證據(jù)理論中，一般用集合來(lái)表示命題，假定用Θ表示一個(gè)互斥又可窮舉元素的集合：

Θ={s1,s2,…,sN}

(1)

稱Θ為識(shí)別框架；sj(j=1,2,…,N)為一個(gè)假設(shè)或者單子集命題;N為命題的個(gè)數(shù)。由識(shí)別框架Θ的所有子集組成的一個(gè)集合稱為Θ的冪集，記作2Θ，表示為

2Θ={φ,{s1},…,{sn},{s1∪s2},{s1∪s3},…,Θ}

(2)

冪集對(duì)應(yīng)著某一決策問(wèn)題的所有可能答案。

定義2 (基本概率賦值basic probability assignment, BPA) 設(shè)Θ為識(shí)別框架，如果一個(gè)函數(shù)m:2Θ→[0,1]滿足：

(3)

稱m為BPA函數(shù)，也稱為質(zhì)量函數(shù)。m(A)為對(duì)命題A的支持程度。如果m(A)>0，那么稱A為Θ的一個(gè)焦元。

定義3 (Dempster合成規(guī)則) 假定識(shí)別框架Θ下的兩個(gè)證據(jù)E1和E2，其相應(yīng)的BPA為m1和m2，焦元分別為Ai和Bj。設(shè)k<1，則Dempster合成規(guī)則為

(4)

(5)

式中:k為沖突系數(shù)，反應(yīng)了證據(jù)間的沖突程度。

1.2 Pignistic概率轉(zhuǎn)換[14]

Pignistic概率轉(zhuǎn)換最早由Smets提出，其目的是將復(fù)合命題轉(zhuǎn)換為單子集命題，降低計(jì)算復(fù)雜度。

定義4 假設(shè)m為識(shí)別框架上Θ的BPA，則m(A)的Pignistic概率轉(zhuǎn)換：

(6)

其中，φ為空集，|B|為集合B的勢(shì)。

1.3 Bray-Curtis相異度[15]

Bray-Curtis相異度是生態(tài)學(xué)中的概念，由J. Roger Bray和John T. Curtis提出，它是度量不同樣地物種組成差異的測(cè)度。計(jì)算公式為

(7)

其中，y為物種多度;k為物種數(shù)；i和j為相比較的兩個(gè)樣地的編號(hào)。

2 新的沖突度量方法

結(jié)合Pignistic概率轉(zhuǎn)換方法與Bray- Curtis相異度公式，提出一種新的證據(jù)沖突度量方法。下面給出證據(jù)差異度的計(jì)算公式。

2.1 證據(jù)的相異度

定義5 設(shè)m1={a1,a2,…,an},m2={b1,b2,…,bn}為識(shí)別框架Θ下的兩條證據(jù)，則差異度為

(8)

其中，BdBCD(m1,m2)為證據(jù)間的差異程度，BdBCD(m1,m2)越大，證據(jù)間的沖突越大，反之亦然。由于證據(jù)沖突度與證據(jù)相似度是對(duì)立關(guān)系，因此1-BdBCD(m1,m2)為兩個(gè)證據(jù)的相似度度量。

2.2 證據(jù)相異度性質(zhì)

基于式(8)計(jì)算的兩個(gè)證據(jù)的相異度BdBCD(m1,m2)滿足以下性質(zhì)：

1) 非負(fù)性：BdBCD(m1,m2)≥0；

2) 規(guī)范性：BdBCD(m1,m2)≤1；

3) 對(duì)稱性：BdBCD(m1,m2)=BdBCD(m2,m1)；

4) 一致性：BdBCD(m1,m2)=0, 當(dāng)且僅當(dāng)m1=m2；

5) 三角不等式：BdBCD(m1,m2)≤BdBCD(m1,m3)+BdBCD(m2,m3)；

證明假設(shè)在識(shí)別框架Θ下存在兩條證據(jù)分別為m1={a1,a2,…,an}，m2={b1,b2,…,bn}。

由BPA的定義2可知ai≥0,bi≥0，所以，由BdBCD(m1,m2)的定義可以看出，性質(zhì)1)～4)成立。證明性質(zhì)5)：

假設(shè)在識(shí)別框架Θ下還存在證據(jù)m3={c1,c2,…,cn}。性質(zhì)5)代入證據(jù)的差異度公式為

(9)

由絕對(duì)值不等式

(10)

由定義2的BPA的歸一性引出式(9)成立，即性質(zhì)5)成立。

證據(jù)相異度BdBCD(m1,m2)只能處理證據(jù)的焦元均為單子集的情形，而當(dāng)證據(jù)中含有非單子集焦元的證據(jù)而言，需要運(yùn)用式(6)，對(duì)原始證據(jù)進(jìn)行Pignistic概率轉(zhuǎn)換，通過(guò)轉(zhuǎn)換可將BPA中的復(fù)合命題轉(zhuǎn)換為單子集命題，然后再用BdBCD(m1,m2)計(jì)算即可得到兩組證據(jù)間的沖突程度。下面通過(guò)實(shí)例仿真和與以往文獻(xiàn)的比較，驗(yàn)證所提方法的有效性。

3 實(shí)例仿真

例1設(shè)識(shí)別框架為Θ={A,B,C,D,E}，兩個(gè)傳感器給出的證據(jù)如下

m1:m1(A)=0.2,m1(B)=0.2,m1(C)=0.2,m1(D)=0.2,m1(E)=0.2

m2:m2(A)=0.2,m2(B)=0.2,m2(C)=0.2,m2(D)=0.2,m2(E)=0.2

由例1可見(jiàn)，兩組證據(jù)是完全相同的，但利用傳統(tǒng)的式(4)計(jì)算的沖突系數(shù)k=0.8，這顯然與直覺(jué)是相悖的。而根據(jù)本文所提方法計(jì)算可以得到BdBCD(m1,m2)=0，與直覺(jué)相一致，說(shuō)明本文方法可有效度量相同證據(jù)間的沖突程度。

例2設(shè)識(shí)別框架為Θ={A,B,C}，3個(gè)傳感器給出的證據(jù)如下

m1:m1(A)=0.99,m1(B)=0.01,m1(C)=0；

m2:m2(A)=0.8,m2(B)=0.1,m2(C)=0.1；

m3:m3(A)=0.6,m3(B)=0.2,m3(C)=0.2

利用證據(jù)差異度式(8)計(jì)算，得到證據(jù)間的相似程度為

1-BdBCD(m1,m2)=0.810 0, 1-BdBCD(m1,m3)=0.610 0, 1-BdBCD(m2,m3)=0.800 0。

相關(guān)系數(shù)方法[10]中的計(jì)算結(jié)果為

cor(m1,m2)=0.985 9，cor(m1,m3)=0.907 5,cor(m2,m3)=0.965 0。

從整體上看，本文提出的方法與文獻(xiàn)[10]中的結(jié)果相一致，都認(rèn)為3組證據(jù)存在一定的相似度。然而，從直覺(jué)上可以看出，三組證據(jù)雖然存在著一定的相似程度，但是不應(yīng)達(dá)到0.985 9、0.907 5和0.965 0。相比于相關(guān)系數(shù)方法，可見(jiàn)本文所提方法對(duì)證據(jù)間的沖突度量更有效。同時(shí)，本例也驗(yàn)證了BdBCD(m1,m2)滿足性質(zhì)1)～5)。

例3設(shè)識(shí)別框架為Θ={A,B,C,…,T}，兩個(gè)傳感器給出的證據(jù)如下

m1:m1(BCD)=0.05,m1(G)=0.05,m1(Θ)=0.1,m1(At)=0.8；

m2:m2(ABCDE)=1

其中，At的變化規(guī)律為：{A},{AB},{ABC}, …,{A,B,C,…,T}。將本文方法與沖突系數(shù)k、difBetP[9]、相關(guān)系數(shù)cor[10]、difBf[12]、證據(jù)距離dBPA[16]、證據(jù)關(guān)聯(lián)系數(shù)r[17]以及證據(jù)相關(guān)系數(shù)Conf[18]方法相對(duì)比，計(jì)算兩組證據(jù)間的沖突程度，見(jiàn)圖1。

由圖1可見(jiàn)，沖突系數(shù)k保持不變，因此不能有效度量證據(jù)間的沖突程度。本文方法與其他方法的變化趨勢(shì)相同，都可以得到結(jié)果：在At={ABCDE}時(shí)，證據(jù)間的沖突程度最小。

圖1 不同沖突度量方法的計(jì)算結(jié)果隨At的變化趨勢(shì)Fig.1 Trend of results of different conflict measurement methods with varying At

例4設(shè)識(shí)別框架為Θ={A,B}，2個(gè)傳感器給出的證據(jù)如下

m1:m1(A)=α,m1(B)=1-α;

m2:m2(A)=0.999 9,m2(B)=0.000 1

其中，α的取值范圍為[0,1]，每次取值增加0.01。將本文方法與相關(guān)系數(shù)cor[10]、證據(jù)關(guān)聯(lián)系數(shù)r[17]、以及BJS[19]方法相對(duì)比，計(jì)算兩組證據(jù)間的沖突程度，見(jiàn)圖2。

圖2 不同沖突度量方法的計(jì)算結(jié)果隨α的變化趨勢(shì)Fig.2 Trend of results of different conflict measurement methods with varying α

由圖2可見(jiàn)，在α=0時(shí)，所有方法度量?jī)山M證據(jù)間的沖突程度都為1；在α=1時(shí)，所有方法度量?jī)山M證據(jù)間的沖突程度都為0；隨著α的取值不斷變大，所有方法度量的證據(jù)間沖突程度逐漸降低。但是，相比于其他3種方法，可見(jiàn)本文方法得到的結(jié)果更加線性，說(shuō)明所提方法更加有效。

例5設(shè)識(shí)別框架為Θ={A,B,C,…,J}，兩個(gè)傳感器給出的證據(jù)如下

m1:m1(BCD)=0.05,m1(G)=0.05,m1(Θ)=0.1,m1(At)=0.8；

m2:m2(J)=1

其中，At的變化規(guī)律見(jiàn)表1。

表1 集合At的變化Table 1 Variation of set At

根據(jù)本文方法，證據(jù)間的沖突程度隨變量t的變化趨勢(shì)見(jiàn)圖3。由圖3可見(jiàn)，通過(guò)本文方法計(jì)算：當(dāng)t<10時(shí)，2組證據(jù)間的沖突程度是不變的，因?yàn)榇藭r(shí)無(wú)論t值如何變化，證據(jù)m1中對(duì)命題J的支持度是不變的；而當(dāng)t=10時(shí)，兩組證據(jù)間的沖突程度變低了，因?yàn)榇藭r(shí)證據(jù)m1中提升了對(duì)命題J的支持度。隨著t值不斷變大，沖突程度也逐漸變低，與直觀相一致。

圖3 沖突程度隨t的變化趨勢(shì)Fig.3 Change trend of conflict degree with varying t

4 結(jié) 論

針對(duì)D-S證據(jù)理論中，傳統(tǒng)沖突系數(shù)k無(wú)法準(zhǔn)確度量證據(jù)間沖突程度的問(wèn)題，基于Bray-Curtis相異度公式，提出了一種新的證據(jù)沖突度量方法，該方法滿足非負(fù)性、規(guī)范性、對(duì)稱性、一致性和三角不等式等沖突度量性質(zhì)，并具有計(jì)算負(fù)擔(dān)小、度量精度高、線性度量等性質(zhì)，通過(guò)理論證明和實(shí)驗(yàn)仿真，驗(yàn)證了該方法的有效性。