整體意義關聯的教學理解與設計
——以“小數的意義”的教學為例

□梅 婭

“小數的意義”在小學階段的教學中有著非常重要的地位和作用。本文從小數意義的本源性出發(fā)，一方面通過分析小數與整數、小數與分數的關系，理解小數的本質含義；另一方面通過解讀學生的困難點，分析小數教學后的后測反饋，設計適合知識意義生長和學生認知需求的教學。

一、整體建構意義的需要

（一）小數意義知識建構的需要

1.小數依分數而來

有限小數是由“十等分”分割產生的。百分之一的分量可從十分之一的分量再十等分產生，而千分之一的分量可從百分之一的分量再十等分產生……因此，十等分的活動可任意無限制繼續(xù)下去。無限被分割的觀念正可用來說明小數稠密性的性質，也就是說任意兩個小數之間有無限多個小數存在。[1]為此，我們不難發(fā)現，計數單位是構造小數數位可遷移的關鍵點。如果把抽象的計數單位構造，放置在分數和整數十進制的大背景下，借助數線模型或面積模型，就能很好地溝通十進分數與小數之間的聯系。

2.小數順整數而行

學習小數來自兩種需要：一是分數書寫形式優(yōu)化改進的需要，二是十進制計數法擴展完善的需要。無論是從數系發(fā)展的角度，還是從生活需要的角度而言，小數與整數的關系都是密不可分的。

通過將整數計數單位個、十、百、千……與小數相鄰計數單位之間的關系進行對比，可以將小數系與自然數系的結構進行關聯（如圖1）。在建構小數系的同時，將其自然納入以十進制為核心概念的數系知識結構體系中，與自然數系共同形成更大的具有內在邏輯聯系的學科整體知識結構。[2]在數系概念域中理解小數，我們可以看到，小數雖產生在分數的家族中，卻是整數家族的寵兒；小數既是十進分數的一種表達形式，又是按整數家族的方式計數、排列數序和運算的。

圖1

（二）小數意義結構化的需要

小數依從十進分數而來，教師通常在小數意義教學時讓十進分數“孤立”出現，沒有在整數、小數、分數之間很好地建立邏輯關系。教師如何在教學中處理好小數意義的關系連接？將小數意義進行整體建構，與學生已有的認知結構中的整數、分數建立聯系，是小數意義納入知識體系的關鍵。

1.正視十進分數的距離感和孤立感

從分數到小數，學生在學習中覺得是抽象和困難的，因為對分數的認識基于初步認識。學生首先要理解，接著才能理解0.001米。但在初步認識分數時，一般僅停留在分母是一位數的認識上，很少涉及分母是兩位或三位數的分數。

在引出十進分數時，通常會采用數形結合的方式，如涂一涂格子圖，得到就是0.01，但有怎樣的關系又有怎樣的關系，這是一些學生的認知“斷層”。

后續(xù)體會10 個0.001 是0.01 等十進關系是勉強也很孤立的。從表面上看，讓學生通過十進分數理解小數的十進關系是可行的，但在實踐中，學生對分數的十進關系是陌生和模糊的，遷移到對小數十進計數單位的理解是困難的。

2.正視小數后續(xù)學習的割裂化和無助感

從對后續(xù)練習以及教師教學小數性質、小數的近似數等的分析來看，在小數意義的教學中，如果只是單一地從十進分數出發(fā)建立小數意義，僅僅停留在分數的“部分與整體”的關系上，則在后續(xù)學習中，就會有很大的割裂感和無助感。因為小數性質、小數近似數以及小數加減法等，教學的基礎是小數的十進位值制。這就需要教師在小數意義的教學中，融入整數的十進關系，遷移整數十進關系與小數十進計數單位之間的關聯，溝通十進分數、小數和整數之間的關系，在教學中實現意義網絡化建構，促進概念的遷移和內化。

二、有序完善概念認知的需要

小數的形成有兩個不可或缺的前提：一是分數概念的完善，二是十進制計數法的使用。在教學實踐中，教師往往過多地關注有限小數就是十進分數的另一種表現形式，突出分數“部分與整體”的關系，而忽略了小數同時也是整數十進制計數法擴展的需要。如何幫助學生將小數意義納入原有認知結構中，理解內涵并構建新的認知結構呢？

（一）概念有序抽象建模的需要

在初步認識小數階段，可結合學生的生活情境，以購物（元、角、分）、長度單位（米、分米、厘米）等一些十進關系的單位為載體，讓學生借助已有的生活經驗，感知十分之一和0.1的關系，從而建立十分之幾和一位小數之間的聯系。

這需要教師適時地將具體的情境進行抽象化、符號化，在已有一位小數的具體認知基礎上，建立小數的模型，特別是兩位小數的模型建構。

（二）認知漸進抽象完善的需要

學生的認知過程是不斷發(fā)展、完善的過程。從具體操作到圖式的表征，從形的表征到抽象數的對應，這是基于學生認知的概念學習過程。

人教版教材四年級下冊“小數的意義”課后練習中設置了讓學生說說小數的含義的題目（第38頁第9題）。在對學生的后測反饋中，我們發(fā)現，對于小數的意義不僅可以借助具體量感從正反兩方面來理解，還可以借助各種圖形或者算式，從分數“部分與整體”的關系來描述（如圖2）。

圖2 學生后測反饋

小數意義的建構，需要通過抽象漸進式和表征多元化進行。多元表征下的意義理解，是建立在對計數單位的逐個計數和整體構建的基礎上的。因為“數（shù）源于數（shǔ），量（liàng）源于量（liáng）”。數概念的教學，包括整數、小數和分數，都可以看作是計數單位累計疊加而來的。數數，是學生自主意義建構的前提。

三、主題呈現課堂探究式材料的需要

對于教學數學概念課，教師要給學生提供對數學模型反復認識、深化理解的機會，并使之具有潛在的可遷移性。主題式的教學素材，通過同類素材的變化整合，凸顯概念原型和內涵，有利于概念之間的比較辨析、溝通聯系，也有利于舉一反三、拓展延伸。在小數的意義的教學中，可充分利用數線模型和面積模型作為課堂主題式材料，在比較中連接整數、聯系分數，在遷移中發(fā)現、創(chuàng)造小數，在抽象中完善有理數十進制位值制。

（一）借助數線模型，在猜數中溝通比較聯系

【教學片段1】猜猜我是誰？

師：我們來玩猜數游戲。猜一猜，這個方框中的數可能會是幾？你是怎么想的？

生：我猜是30，只要將0~100 平均分成10 份，100的是10，10是100的。每一份是10，這里大約有3個10，是30。（如圖3）

圖3

圖4

師：如果變成0~10。猜一猜，這個方框中的數要填幾？你是怎么想的？（如圖4）生：是3，現在將0~10 平均分成10 份，10 的是1，1是10的每一份是1，3個1就是3。

師：這是以“1”為計數單位。想一想，1 與100有怎樣的關系呢？

師：那么0~1 之間還有數嗎？如果有，這個數會是幾呢？（如圖5）

圖5

生：有，把0~1 平均分成10 份，每1 份是0.1，3個0.1就是0.3。

師：這1 份是0.1，是怎么來的？這0.3 又是怎么回事呢？同伴討論。

，

也就是0.3。也可以說是3個0.1是0.3）

為什么都是平均分成10份，得到的3份卻是不同的數呢？因為計數單位不同。隨著區(qū)間不斷縮小，當無法精確表示時，需要用更小的計數單位去度量，從而產生小數。在理解小數的意義后可遷移到三位小數、四位小數……

（二）借助多元表征，在數數中促進自主遷移

數的產生是因需要不斷擴展而來的，小數概念的形成既是滿足現實世界的數量表達的需要，又是數學本身發(fā)展的需要。如何在小數意義的教學中，改變原有的教學方式，在數數中數出新的小數呢？

【教學片段2】依次疊加，數出1.2

師：3 個0.1 是0.3，如果繼續(xù)數，你還能數出哪些數？

生：4 個0.1 是0.4……9 個0.1 是0.9，10 個0.1是1。

生：10個0.1是1.0。

生：1.0 和1 的大小是一樣的，都在那個點上。（指數線上的點，如圖6）

圖6

師：那1后面的方框里會是什么數呢？要有理

由說明你的想法是正確的。生：12個0.1是1.2。

生：0.1+0.1+……+0.1=1.2，12個0.1。

生：1+0.2=1.2。

生：我可以以0.1 為計數單位，一個一個往后數，1后面是1.1，1.1后面是1.2。

師：通過剛才的數數，你發(fā)現了什么？

生：幾個0.1就是幾點幾。

有限小數是十進分數的表現形式，每相鄰兩個計數單位之間都是十進關系。通過數線模型上的數數，進一步理解一位小數與0.1、之間的關系。數線的均分和擴充，在數數中對應了小數的擴展，突破了只有純小數的思維定式，在數線模型上形象化地將小數意義與假分數意義進行對應。學生在教學片段2 中對1.2 的表征是多元的，有乘法意義上的表征、加法算式的表征，還有小數意義文字化的表征，不同的表征都是基于計數單位的數數。

（三）改變學習方式，在表達中激發(fā)認知需求

如果說數線模型能滿足小數的均分和擴展，那么面積模型則更好地滿足形象化的視覺支持。

【教學片段3】精確刻畫，畫出0.83

變換不同的模型。從1.2數起，按每份0.1依次從大到小減少，當減少到比0.8 多比0.9 少的時候，就產生了對兩位小數的認知擴展需求（如圖7）。

圖7

師：用什么數表示圖上陰影部分比較合適呢？

生：要分一分才知道這是個什么數。

師：怎么才能分出一個合適的數呢？請你試著分一分，畫一畫。

（學生獨立思考，動手操作，全班交流反饋）生：將0.1 平均分成10 份，0.1 的是0.01，0.01 是0.1 的，每份是0.01，3 個0.01 就是0.03。比0.8多了0.03，0.8+0.03=0.83，就是0.83。

生：8個0.1加3個0.01等于0.83。（如圖8）

圖8

圖9

在數數中產生認知沖突，感知當一位小數不能精確表達時，繼續(xù)十進均分。借助面積、數軸模型十等分再十等分，學生不斷感受細分的過程，逐漸體會到兩位小數是兩個一位小數之間的十進等分，從而將整數“1”的十進均分得到一位小數，遷移到將一位小數“0.1”十進均分得到兩位小數，借助面積圖，溝通整數與兩位小數、一位小數與兩位小數之間的本質聯系，遷移聯想三位小數和無限小數的十進均分。在分一分、畫一畫、說一說、數一數等活動中，發(fā)現小數產生的本質需求，體驗具體到抽象的理解過程，從而刻畫和理解小數的稠密性。在這樣的學習活動中，學生對于整數、分數自然地進行了聯系溝通。[3]

（四）雙向充分溝通，擴充整個有理數數系

在課后總結回顧時，從“1”出發(fā)，不斷地均分10 份，產生0.1、0.01、0.001……幫助學生建立小數部分相應的數概念體系。但這樣的認知是孤立的。教師還可以讓學生反過來：從“0.001”出發(fā)，10 個0.001是0.01、10個0.01是0.1、10個0.1是1、10個1是10、10 個10 是100……進一步感知不管是整數部分，還是小數部分，每相鄰兩個計數單位之間的進率都是十，從整數數系擴充至有理數數系，從而對后續(xù)小數的進一步探究積累認知經驗。

概念的學習，其最終目的不是為了記住定義，而是要理解概念的本質。不同的認知過程會形成不同的理解水平，若是單純教學定義，其認知過程主要是模仿、記憶、強化，只能達成“工具性理解”；若突出數學知識之間的本質聯系，其認知過程則重在經歷、感知、體驗，就會形成“關系性理解”[4]。在學生的數學認知結構中，各種數學知識不是孤立存在的，而是有著緊密聯系的網絡結構，這樣的知識網絡的構建，有利于學生將新知納入到原有認知結構中，并形成自己的知識體系。