高中數(shù)學(xué)教材研究

趙聯(lián)利

摘要：教材是教師教學(xué)的重要工具，也是學(xué)生獲得知識和技能的重要途徑，所以，學(xué)會分析教材對教師來說尤為重要。本文以高中教材中“三角函數(shù)”所在章節(jié)為例，從知識背景、教學(xué)功能、知識結(jié)構(gòu)等方面分析初高中教材中知識的深淺銜接，希望能彌補當前初高中數(shù)學(xué)教材中存在的部分知識結(jié)構(gòu)銜接上的不足，進而不斷修正和完善教材，進一步促進初高中數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接與過渡，為教師完成數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接工作提供參考。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù);教材銜接，數(shù)學(xué)教學(xué)

引言

“數(shù)學(xué)在本質(zhì)上研究的是抽象的東西，數(shù)學(xué)的發(fā)展所依賴的最重要的基本思想也就是抽象”.數(shù)學(xué)抽象反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，它包括從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的聯(lián)系，以及從事物與事物之間的聯(lián)系、事物內(nèi)部要素之間的聯(lián)系中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語言加以表征.數(shù)學(xué)抽象同時也作為數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一，占據(jù)著十分重要的地位.《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）》（下文簡稱《新課標》）中指出教材編寫應(yīng)“在數(shù)學(xué)內(nèi)容的表述中體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，編寫出數(shù)學(xué)內(nèi)容與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)融為一體的教材.”數(shù)學(xué)教材是實現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標的重要教學(xué)資源，也是培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的重要載體。基于此，本文將著眼于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，對依據(jù)《新課標》編寫的人教A版高中數(shù)學(xué)新教材中《三角函數(shù)》這一章節(jié)內(nèi)容展開分析。

一、教材的定義

狹義地講，教材的根本是相關(guān)學(xué)科的培養(yǎng)目標和教學(xué)任務(wù)，以此組織和編寫的具有一定深度和廣度的知識和技能體系。日本教育大學(xué)歡喜隆司教授對“教材”提出了廣義的定義：教材實際上是源于生活、科學(xué)、藝術(shù)、文化的各個領(lǐng)域，而后被有計劃地組織到一起，形成了一套完整的知識體系和能力體系。隨著社會的發(fā)展和教育的改革，“教材”的定義不再是傳統(tǒng)的定義，它被賦予了新的意義，不只是簡單地將定理、定義和法則呈現(xiàn)在書面上，而是把教材看作課堂上教師與學(xué)生聯(lián)系的紐帶，學(xué)生把教材上的知識當作一個話題來討論，教師對學(xué)生加以引導(dǎo)，使其進行自主學(xué)習(xí)和合作探究，并得出結(jié)論，進而充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性。

二、知識背景分析

知識背景會一直滲透在學(xué)習(xí)和教學(xué)中，不管在歷史情境中還是現(xiàn)實環(huán)境中，都會作用于學(xué)生，學(xué)生會更容易理解和掌握知識。了解數(shù)學(xué)知識的發(fā)展可以更深入地理解其中蘊含的數(shù)學(xué)思想實質(zhì)和數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律，更準確、更靈活地把握數(shù)學(xué)教學(xué)知識。高中數(shù)學(xué)所學(xué)的三角函數(shù)的根源都歸于三角學(xué)，它本來的意思是“三角形的測量”，后來人們把關(guān)于三角形和其他圖形的研究，以及研究三角函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用的學(xué)科統(tǒng)稱為三角學(xué)。

學(xué)生最終會走向社會，所以數(shù)學(xué)教材中還要引導(dǎo)學(xué)生了解相關(guān)的社會應(yīng)用，使學(xué)生可以從教材中獲取數(shù)學(xué)建模的素材，更廣泛地了解教學(xué)內(nèi)容的意義和價值。當今世界應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)知識之一就是初中學(xué)習(xí)的直角三角形中邊角的關(guān)系，銳角三角函數(shù)在現(xiàn)實生活中有很大的應(yīng)用價值，可以解決很多現(xiàn)實問題，如人們常常遇到的距離、高度、角度等測量問題，一般情況下，這些實際問題的數(shù)量關(guān)系都可以歸結(jié)為直角三角形中邊和角的關(guān)系問題。

三、教材內(nèi)容分析結(jié)果

1.獲得數(shù)學(xué)概念和形式

數(shù)學(xué)概念是抽象的重要產(chǎn)物之一，且概念知識本質(zhì)的提取過程也反映了數(shù)學(xué)抽象邏輯性、層次性的發(fā)展過程.史寧中將數(shù)學(xué)抽象劃分為三個階段：一是簡約階段，即把握事物的本質(zhì)，把繁雜問題簡單化表達;二是符號階段，即去掉具體的內(nèi)容，利用概念、圖形、符號、關(guān)系表述包括已經(jīng)簡約化了的事物在內(nèi)的一類事物;三是普適階段，即通過假設(shè)和推理建立法則、模式或者模型，并能夠在一般的意義上解釋具體事物.在教材的章引言部分，介紹了許多現(xiàn)實生活中周而復(fù)始的運動變化現(xiàn)象，使學(xué)生體會圓周運動的現(xiàn)實背景.進一步引到單位圓上點P的圓周運動，給出任意角和弧度制等預(yù)備知識

2.認識數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系

從整體上來看，在學(xué)習(xí)三角函數(shù)一章之前所學(xué)的是函數(shù)的概念與性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，這樣集中安排函數(shù)內(nèi)容學(xué)習(xí)有利于函數(shù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗的運用、函數(shù)知識的系統(tǒng)構(gòu)建;從章節(jié)內(nèi)部來看，教材是按照“背景—概念—性質(zhì)—應(yīng)用”的邏輯呈現(xiàn)，通過波動、簡諧振動等典型而豐富的周而復(fù)始的運動變化進行引入，讓學(xué)生感知周期變化的普遍存在，以說明研究三角函數(shù)的必要性，這是“來龍”;將抽象的知識運用到實際生活中以解決周期運動一類的問題，這是“去脈”，同時三角函數(shù)也是后續(xù)研究幾何問題的重要工具.這樣的編排方式有利于形成數(shù)學(xué)知識縱向和橫向的完整結(jié)構(gòu)，既符合學(xué)科知識邏輯，又關(guān)注到了學(xué)生的心理發(fā)展。

3.形成數(shù)學(xué)方法與思想

數(shù)學(xué)方法與思想的形成既是抽象的重要產(chǎn)物，又有助于對抽象過程的理解，兩者是相輔相成的.在三角函數(shù)定義形成的過程中體現(xiàn)了抽象與概括、特殊與一般、對應(yīng)等思想;在利用“單位圓”這一腳手架推導(dǎo)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的過程中體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、對稱性與不變性的思想.教材在呈現(xiàn)三角函數(shù)性質(zhì)時，是從概念中要素的關(guān)系、概念間的聯(lián)系到與其他知識的聯(lián)系，循序漸進的編排方式有助于學(xué)生自然地理解借助幾何直觀、從特殊到一般的基本過程;且在三角函數(shù)公式的推導(dǎo)和證明中都用到了單位圓，反復(fù)利用的目的在于形成一般化的研究路徑和研究方法，使學(xué)生體會理解基本的知識形成過程及蘊含的數(shù)學(xué)思想。

四、思考與建議

1.深化數(shù)學(xué)概念認知以涵育抽象思維素養(yǎng)

抽象和概括是獲得數(shù)學(xué)概念的主要思維方式，概念教學(xué)則是培育數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的重要路徑.數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)包括觀察客觀現(xiàn)象并提出研究問題，通過比較、概括等方式提取事物的本質(zhì)特征，在抽象形成必要的概念基礎(chǔ)之上探索事物的內(nèi)在規(guī)律，應(yīng)用定理、性質(zhì)等解決問題;在此基礎(chǔ)上，應(yīng)著力深化學(xué)生對概念內(nèi)涵與知識意義的認知，促使概念知識和思維能力進一步升華為抽象思維素養(yǎng)。

2.豐富模型應(yīng)用情境以提升抽象概括能力

基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的教學(xué)應(yīng)重視情境的創(chuàng)設(shè)和問題的提出，因為設(shè)計情境和提出問題的目的是啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生有效參與數(shù)學(xué)活動，促使學(xué)生理解數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì).在課堂教學(xué)中，除了提供數(shù)學(xué)情境以及教材所給的問題情境外，可以設(shè)計與學(xué)生生活經(jīng)驗相吻合的個人情境、反映時代氣息的社會情境以及與其他學(xué)科融合的科學(xué)情境下的問題等，以豐富學(xué)生的模型應(yīng)用經(jīng)驗，提高靈活應(yīng)用的水平;也可考慮設(shè)置相互之間具有聯(lián)系、相互統(tǒng)領(lǐng)的問題情境背景以增強內(nèi)容間的關(guān)聯(lián)性。

總結(jié)：總之，教材是教學(xué)的重要手段，教師在備課時要深入研究教材，掌握知識的產(chǎn)生背景和在實際生活中的應(yīng)用，以及前后知識的聯(lián)系，還要選取適當?shù)姆椒ǎ鞔_教學(xué)給學(xué)生帶來的價值。筆者經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)，初高中教材中的三角函數(shù)整體上比較銜接，符合教材的層次性、整體性和等級性，但通過知識結(jié)構(gòu)分析得出，三角函數(shù)相關(guān)知識在初中階段分布過少，可以適當?shù)貙⒔堑母拍畹耐茝V和弧度制放在初中學(xué)習(xí)，以此減少學(xué)生在高中學(xué)習(xí)的壓力。

參考文獻：

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