多元表征理論下“逼近”內(nèi)容的教材理解

【摘 要】以多元表征理論對教材中“逼近”的內(nèi)容進(jìn)行理解，教材在內(nèi)容呈現(xiàn)時(shí)選取學(xué)生經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ椭幸延薪?jīng)驗(yàn)進(jìn)行表征聯(lián)結(jié)，分析多元表征系統(tǒng)下教材如何實(shí)現(xiàn)“逼近”內(nèi)容的數(shù)學(xué)抽象以及數(shù)形互譯的雙向表征。

【關(guān)鍵詞】多元表征;逼近;教材理解

表征是在認(rèn)知對象不在的情況下，替代這個(gè)認(rèn)知對象的任何符號或符號集。數(shù)學(xué)多元表征是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象的多種表征形式（包括動(dòng)作表征、形象表征和符號表征），即同一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象必須具有言語化、視覺化兩種本質(zhì)不同的表征。大量研究表明，直接學(xué)習(xí)抽象的數(shù)學(xué)概念有時(shí)比較困難，用數(shù)學(xué)概念的多元表征學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念是一種有效的策略[1]。

“無限”是數(shù)學(xué)學(xué)科重要的研究對象，人們對“無限”的表征往往停留在對特定意象的感性認(rèn)識，如古詩詞“大漠孤煙直”中的“孤煙”，“唯見長江天際流”的“天際”等。在數(shù)學(xué)中，通常用“逼近”來表征“無限”，這樣的表征是變化、抽象、理性的，如極限的定義?！氨平笔侵匾乃枷敕椒ǎ俏磥韺W(xué)習(xí)微積分的重要基礎(chǔ)，也是學(xué)生認(rèn)知的難點(diǎn)。因此，正確表征“逼近”對培養(yǎng)學(xué)生思維水平，提升理性精神具有重要的意義。

一、經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷谋碚髀?lián)結(jié)

布魯納認(rèn)為通過動(dòng)作表征、形象表征和符號表征，學(xué)習(xí)者可以從過去的經(jīng)驗(yàn)中提取保留下來的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，以此來認(rèn)識當(dāng)前的刺激或?qū)?dāng)前的刺激收納到過去的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ椭?。教材在處理學(xué)生表征有困難的內(nèi)容時(shí)，往往從學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ椭姓{(diào)取具有表征聯(lián)結(jié)的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行呈現(xiàn)，設(shè)置相關(guān)引導(dǎo)語，引導(dǎo)學(xué)生調(diào)取相關(guān)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，以降低表征的難度。

比如，在學(xué)習(xí)無理數(shù)指數(shù)冪時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生出現(xiàn)了認(rèn)知困難。2019年人教A版高中數(shù)學(xué)教材設(shè)置以下引導(dǎo)語：“在初中的學(xué)習(xí)中，我們通過有理數(shù)認(rèn)識了一些無理數(shù)。類似地，也可以通過有理數(shù)指數(shù)冪來認(rèn)識無理數(shù)指數(shù)冪?！边@一引導(dǎo)語表明，初中學(xué)習(xí)無理數(shù)的經(jīng)驗(yàn)對高中表征無理數(shù)指數(shù)冪具有借鑒作用。這里，不妨對比一下2012年人教版數(shù)學(xué)七年級下冊教材對無理數(shù)“[2]”和2019年人教A版高中數(shù)學(xué)教材對無理數(shù)“5[2]”的表征過程。

不難看出，高中數(shù)學(xué)教材在表征“5[2]是一個(gè)確定的數(shù)”時(shí)完全借鑒初中的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，在經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ椭羞M(jìn)行同構(gòu)的表征活動(dòng)。用表格呈現(xiàn)數(shù)值變化，并在數(shù)軸上反映“點(diǎn)”的逐步逼近。通過數(shù)形結(jié)合，不僅有數(shù)值運(yùn)算的量化感知，還有圖形呈現(xiàn)的形象表征，這樣的雙向表征共同支撐了從有理數(shù)指數(shù)冪向無理數(shù)指數(shù)冪“逼近”的多元表征系統(tǒng)。

再如，在推導(dǎo)“球的體積”時(shí)，人教版高中數(shù)學(xué)教材也是先給出以下引導(dǎo)語：“在小學(xué)，我們學(xué)習(xí)了圓的面積公式，你還記得是如何求得的嗎？類比這種方法，你能由球的表面積公式推導(dǎo)出球的體積公式嗎？”該引導(dǎo)語旨在喚醒學(xué)生大腦中已有的“分割、求和、逼近”的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ停屍涑蔀樾碌谋碚鞯南刃薪M織者。借助經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行操作表征，將一個(gè)球分割成許多頂點(diǎn)在球心，底面都在球面上的“小錐體”，這些“小錐體”的底面其實(shí)并不是真正的多邊形，當(dāng)分割的底面越小，這些“小錐體”的底面就越平，它們的高就越趨近于球半徑。這樣“小錐體”可近似地視為棱錐，從而它們的底面積之“和”趨近于球的面積，所有這些“小錐體”的體積之和趨近于球的體積，由此推出球的體積公式。

由此可知，教材在表征“逼近”內(nèi)容時(shí)，設(shè)置引導(dǎo)語，搭好腳手架，試圖從學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ椭姓{(diào)取相關(guān)經(jīng)驗(yàn)來回應(yīng)當(dāng)前的刺激，形成新的表征活動(dòng)，且與之前經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ椭斜碚鞯姆绞奖３忠恢?，這樣就解決了進(jìn)行新表征時(shí)認(rèn)知力不足的問題，減少了表征的盲目無向，也自然縮短了表征的時(shí)間，有利于學(xué)生準(zhǔn)確理解“逼近”。

二、多元表征系統(tǒng)下的數(shù)學(xué)抽象

表征的主體是學(xué)生的思維，即用圖形、符號、語言、操作等方式讓學(xué)生的思維外顯可視。抽象的主體是數(shù)學(xué)知識，是對知識本質(zhì)屬性的概括。從數(shù)學(xué)表征的本質(zhì)來說，多元外在表征分為“數(shù)”（數(shù)學(xué)對象的言語化表征）和“形”（數(shù)學(xué)對象的視覺化表征）兩類。從數(shù)學(xué)教學(xué)的角度來看，數(shù)學(xué)表征分為符號、言語、圖象和體驗(yàn)四類表征。在學(xué)習(xí)比較抽象的知識時(shí)，可先通過視覺化表征的多元形式進(jìn)行呈現(xiàn)，并配合具體的言語化表征適當(dāng)啟發(fā)和暗示，再運(yùn)用抽象的言語化表征闡釋，構(gòu)成多元表征系統(tǒng)（如圖1），這樣更有利于學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)理解，生成豐富的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

以蘇教版高中數(shù)學(xué)新教材“曲線上一點(diǎn)處的切線”為例，教材是這樣實(shí)現(xiàn)“以直代曲”的多元表征的（如圖2）。

如圖2可知，在整個(gè)表征系統(tǒng)中，先是通過“放大曲線”的操作直觀感受“以直代曲”，在視覺化的表征過程中經(jīng)歷了“有點(diǎn)像—幾乎—最逼近”的心理活動(dòng)，這是表征系統(tǒng)中的操作模式與靜態(tài)形象模式之間的互化與共存，處于直觀水平階段。進(jìn)一步地，通過探究活動(dòng)“作出點(diǎn)P附近‘更加逼近曲線的直線”讓學(xué)生進(jìn)入表征的表象水平階段，引導(dǎo)學(xué)生觀察點(diǎn)Q到點(diǎn)P逐漸“逼近”的過程，輔之已有的直觀化表征，從而形成“隨著點(diǎn)Q趨向于點(diǎn)P，割線趨向于切線”的抽象認(rèn)識，再通過字母與符號的推演進(jìn)行由形到數(shù)的抽象表達(dá)，至此完成“以直代曲”的完整表征，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的抽象認(rèn)知。

三、數(shù)形互譯的雙向表征

為了實(shí)現(xiàn)對“逼近”的多元表征，教材基本采用先以數(shù)值計(jì)算的方式來建立對“逼近”的數(shù)感，然后經(jīng)歷從數(shù)值到圖象、從數(shù)值到符號之間的相互轉(zhuǎn)換，以此幫助學(xué)生建立起深度理解“逼近”的表征系統(tǒng)。如人教版教材在處理“用二分法求方程的近似解”時(shí)，通過取區(qū)間中點(diǎn)的方式，逐步縮小零點(diǎn)所在的范圍，先通過表格的方式（見表2）呈現(xiàn)數(shù)值的符號變化狀態(tài)，然后將這一過程通過圖象方式直觀地呈現(xiàn)出來（如圖3）。

在數(shù)值計(jì)算的操作表征時(shí)需要計(jì)算工具（軟件）的輔助介入，借助計(jì)算工具（或軟件）代替人工進(jìn)行重復(fù)操作，主要指向是學(xué)習(xí)者通過數(shù)值的“逼近”形成“量變導(dǎo)致質(zhì)變”的體驗(yàn)表征。不論選用哪種工具（軟件），都應(yīng)該達(dá)到對給定問題的輸入數(shù)據(jù)和所需要的輸出結(jié)果之間有明確的算法表達(dá)?！岸址ā笔乔蠓匠探平獾囊环N算法，因?yàn)樗行颉⒂幸?guī)律，能進(jìn)行判斷，能循環(huán)運(yùn)算[2]。“二分法”如何通過數(shù)值計(jì)算實(shí)現(xiàn)“逼近”的呢？它的操作是通過迭代形成區(qū)間套（每次得到的區(qū)間都是上一步操作區(qū)間的子區(qū)間），將區(qū)間不斷進(jìn)行二分以縮小區(qū)間的長度，周而復(fù)始，使區(qū)間中點(diǎn)逐步逼近函數(shù)零點(diǎn)的精確值。從操作上看，運(yùn)用“二分法求方程的近似解”并不難，難點(diǎn)是在學(xué)生已有的認(rèn)知水平下，正確理解循環(huán)操作的算法思想以及理性認(rèn)識兩端夾逼的思想，這就需要借助直觀的“形”來輔助理解，將抽象內(nèi)容形象化。由于圖象呈現(xiàn)具有直觀、形象、易表征的特點(diǎn)，學(xué)生在進(jìn)行圖象表征時(shí)更能抽象出“二分法求近似解”的算法要領(lǐng)，理解也變得豐富生動(dòng)。同樣地，在表征5[2]是一個(gè)確定的數(shù)時(shí)，人教版教材也是先通過表格呈現(xiàn)數(shù)值的變化狀態(tài)，然后在數(shù)軸上直觀地呈現(xiàn)每個(gè)數(shù)值對應(yīng)下的點(diǎn)如何“逼近”的過程;在用二分法求方程的近似解時(shí)，蘇教版教材在旁白部分也是通過在數(shù)軸上體現(xiàn)區(qū)間不斷“縮小”的過程。以上處理方式很容易讓學(xué)生感覺到當(dāng)區(qū)間縮小到趨近于貌似一個(gè)“點(diǎn)”時(shí)，便實(shí)現(xiàn)了足夠的“逼近”。

由此可見，在進(jìn)行多元表征時(shí)，只有實(shí)現(xiàn)“數(shù)”“形”之間的雙向互譯，才能使學(xué)生的理解更具體化、清晰化，通過建立“形”與“數(shù)”之間的聯(lián)結(jié)，以及建立“形”的結(jié)構(gòu)、內(nèi)涵意義與運(yùn)算關(guān)系之間的聯(lián)結(jié)，增強(qiáng)多元表征轉(zhuǎn)換與轉(zhuǎn)譯的發(fā)生。在這樣雙向表征過程中，學(xué)生對表征的信息進(jìn)行多次的抽象、概括、精致、拓展、轉(zhuǎn)換、轉(zhuǎn)譯等認(rèn)知操作，最終累積形成對“逼近”的抽象認(rèn)識。

值得說明的是，在“逼近”的多元表征學(xué)習(xí)時(shí)，不能僅僅依靠操作表征，或者依賴對操作后的數(shù)值觀察，也不能單單依靠圖象表征。教師需要引導(dǎo)學(xué)生對操作過程進(jìn)行反思性思考，對操作與數(shù)值進(jìn)行辨析與修正，將操作中的“形”與學(xué)習(xí)中的“數(shù)”進(jìn)行聯(lián)結(jié)、類比、互換互譯、抽象概括，使抽象的內(nèi)容越來越具體、清晰、豐滿，這樣才有利于學(xué)生的有意義建構(gòu)。

參考文獻(xiàn)：

[1]唐劍嵐.概念多元表征的教學(xué)設(shè)計(jì)對概念學(xué)習(xí)的影響[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010（2）：28-33.

[2]張勁松，郭豫.高中數(shù)學(xué)課程中的二分法：對“用二分法求方程的近似解”一堂課的思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上半月），2008（4）：3-6.

【作者簡介】丁益民，高級教師，新青年數(shù)學(xué)教師工作室創(chuàng)始人之一，江蘇省“333高層次人才培養(yǎng)工程”培養(yǎng)對象，江蘇省教科研先進(jìn)個(gè)人，蘇州市學(xué)科帶頭人，主要研究方向?yàn)橹袑W(xué)數(shù)學(xué)教材教法。

【基金項(xiàng)目】江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“深度學(xué)習(xí)視域下高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐研究”（C-c/2020/02/50）A19BE8DE-B9A7-42F7-B088-9172A781F247