“多元表征”促進(jìn)百分?jǐn)?shù)意義的概念性理解

朱德江+王建良+王榮

“學(xué)為中心”的課堂，需要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，關(guān)注學(xué)生的思維特征，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的真實(shí)發(fā)生。特級(jí)教師朱德江及其團(tuán)隊(duì)一直致力于“學(xué)導(dǎo)課堂·深度學(xué)習(xí)”的研究，本期特刊發(fā)其團(tuán)隊(duì)的研究成果“基于學(xué)生研究的學(xué)習(xí)方式與過(guò)程”的相關(guān)文章，以供大家討論。

【摘 要】概念的深刻理解需要經(jīng)歷“有過(guò)程的學(xué)習(xí)”?！鞍俜?jǐn)?shù)意義”的教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合具體情境和已有經(jīng)驗(yàn)，用多種表征方式表達(dá)對(duì)百分?jǐn)?shù)的理解，特別是對(duì)兩個(gè)量的關(guān)系用語(yǔ)言描述、假設(shè)舉例說(shuō)明、畫(huà)圖表征等多個(gè)維度進(jìn)行解釋，可以有效促進(jìn)百分?jǐn)?shù)意義的概念性理解。通過(guò)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)單的對(duì)比研究，也可以發(fā)現(xiàn)，這一方法的運(yùn)用也有助于看到學(xué)生知識(shí)的增長(zhǎng)和發(fā)展的過(guò)程。

【關(guān)鍵詞】多元表征 學(xué)習(xí)方式 概念性理解 百分?jǐn)?shù)意義

“百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”是一節(jié)“數(shù)的認(rèn)識(shí)”概念課。百分?jǐn)?shù)意義的理解是教學(xué)的核心，理解百分?jǐn)?shù)的意義的關(guān)鍵是什么，是讓學(xué)生按“百分?jǐn)?shù)表示（ ）是（ ）的百分之（ ）的數(shù)”固定格式表述，還是結(jié)合具體情境讓學(xué)生自己用多元方式表述對(duì)百分?jǐn)?shù)的理解？從以往教學(xué)實(shí)踐看，很多學(xué)生即使會(huì)用“男生人數(shù)是總?cè)藬?shù)的60%”“出勤人數(shù)是總?cè)藬?shù)的98%”這樣的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)明百分?jǐn)?shù)的意義，但學(xué)生的理解還是不深入的，達(dá)成的是概念的操作性理解（描述性理解）。如何促進(jìn)學(xué)生對(duì)百分?jǐn)?shù)意義的概念性理解（關(guān)系型理解），我們認(rèn)為，重點(diǎn)在于讓學(xué)生結(jié)合具體情境和已有經(jīng)驗(yàn)，用多種表征方式表達(dá)對(duì)百分?jǐn)?shù)的理解，特別是能對(duì)兩個(gè)量的關(guān)系用語(yǔ)言描述、假設(shè)舉例說(shuō)明、畫(huà)圖表征等多個(gè)維度進(jìn)行解釋，能有效促進(jìn)百分?jǐn)?shù)意義的概念性理解。

在北師大版六年級(jí)上冊(cè)“認(rèn)識(shí)百分?jǐn)?shù)”的教學(xué)中，結(jié)合教材問(wèn)題串3提供的生活中的百分?jǐn)?shù)的兩個(gè)實(shí)例（即“第六次人口普查結(jié)果表明：目前我國(guó)男性人口約占總?cè)丝诘?1%”“今天全校學(xué)生的出勤率是95%”）同構(gòu)設(shè)計(jì)兩份“學(xué)習(xí)任務(wù)”（用“學(xué)習(xí)單”的方式呈現(xiàn)），在“學(xué)習(xí)任務(wù)”中作了三個(gè)維度多元表征百分?jǐn)?shù)意義的提示，引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度表達(dá)自己對(duì)百分?jǐn)?shù)意義的理解。兩次學(xué)習(xí)任務(wù)，都是讓學(xué)生結(jié)合具體情境和已有經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生用假設(shè)總?cè)藬?shù)舉例、畫(huà)圖、根據(jù)百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系語(yǔ)言描述等方式多元表征百分?jǐn)?shù)的意義，用自己的語(yǔ)言表達(dá)對(duì)百分?jǐn)?shù)本質(zhì)的理解，反映學(xué)生對(duì)百分?jǐn)?shù)意義理解的現(xiàn)實(shí)情況，有效促進(jìn)百分?jǐn)?shù)概念內(nèi)化的過(guò)程。

[學(xué)習(xí)單1：

第六次全國(guó)人口普查結(jié)果表明，目前我國(guó)男性人口約占總?cè)丝诘?1%。

“51%”這個(gè)百分?jǐn)?shù)表示什么意思？請(qǐng)?jiān)囍鴱囊韵聨讉€(gè)不同的角度來(lái)解釋。

1.先假設(shè)總?cè)藬?shù)。

2.畫(huà)圖。

3.根據(jù)百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系。]

[學(xué)習(xí)單2：

今天全校學(xué)生的出勤率是95%。

“95%”這個(gè)百分?jǐn)?shù)表示什么意思？請(qǐng)?jiān)囍鴱囊韵聨讉€(gè)不同的角度來(lái)解釋。

1.先假設(shè)總?cè)藬?shù)。

2.畫(huà)圖。

3.根據(jù)百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系。]

百分?jǐn)?shù)的意義理解與分?jǐn)?shù)是一致的，所以對(duì)于學(xué)生而言，對(duì)51%的理解是有知識(shí)基礎(chǔ)的，也是有生活經(jīng)驗(yàn)的。但學(xué)生的基礎(chǔ)到底在哪里，不同層次的學(xué)生對(duì)百分?jǐn)?shù)理解又有什么不同之處？在學(xué)習(xí)單1中，讓學(xué)生去解釋“男性人口約占總?cè)丝诘?1%”，通過(guò)三個(gè)維度讓學(xué)生進(jìn)行解讀，根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行課堂教學(xué)。在此基礎(chǔ)上“學(xué)習(xí)單2”再次讓學(xué)生解釋“出勤率是95%”是什么意思，用相同的方式去了解學(xué)生的實(shí)際情況，這樣做的目的是更有效地進(jìn)行對(duì)比分析，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)展情況。

在上述教學(xué)與研究過(guò)程中，“學(xué)習(xí)單”既是學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的操作單，也是研究學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的重要工具，通過(guò)“學(xué)習(xí)單”能分析學(xué)生對(duì)這類問(wèn)題的原始思維狀態(tài)，分析學(xué)生知識(shí)理解的水平層次等。通過(guò)教學(xué)之前和教學(xué)之后“學(xué)習(xí)單”數(shù)據(jù)的整理和分析，再來(lái)回顧研究課堂行為，可以發(fā)現(xiàn)從第一次學(xué)生表達(dá)后的跟進(jìn)教學(xué)，到第二次學(xué)生的獨(dú)立表達(dá)，學(xué)生在對(duì)百分?jǐn)?shù)意義的理解上存在顯著差異，下面從三種百分?jǐn)?shù)的表征方式來(lái)分析學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的特征及學(xué)習(xí)進(jìn)階情況。

一、從“假設(shè)總?cè)藬?shù)”的角度表征和理解百分?jǐn)?shù)

（一）學(xué)生的兩次表征理解情況統(tǒng)計(jì)

學(xué)習(xí)單1“理解正確，表述不完整”典型作品：

[“51”這個(gè)百分?jǐn)?shù)表示什么意思？

（1）先假設(shè)總?cè)藬?shù)。

答假設(shè)有1000個(gè)人]

學(xué)習(xí)單1“理解正確，表述完整”典型作品：

第一類：假設(shè)成“總?cè)藬?shù)為100人，男性有51人”。有16人。

第二類：用算式計(jì)算的有5人。

學(xué)習(xí)單2典型作品：

（三）學(xué)習(xí)單1、2對(duì)比及課堂行為分析

從學(xué)習(xí)單1的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)上我們可以看出，雖然能正確表述且完整的學(xué)生占60%，但表述不夠規(guī)范，理解的層次更多地停留在一個(gè)面上，就是“假設(shè)有100人，51人是男性”，不再往其他方向進(jìn)行拓展。20%的學(xué)生只對(duì)總?cè)藬?shù)進(jìn)行了假設(shè)（例如假設(shè)總?cè)藬?shù)有100人，或者假設(shè)總?cè)藬?shù)有1000人），并沒(méi)有對(duì)男性人數(shù)的具體數(shù)量作出說(shuō)明，也就是“回答問(wèn)題的具體指向不清晰、不完整”。還有20%的學(xué)生還不會(huì)用假設(shè)具體數(shù)量的方式思考問(wèn)題。

基于這樣的學(xué)情，教師如何組織反饋，對(duì)促進(jìn)學(xué)生對(duì)百分?jǐn)?shù)意義的理解的發(fā)展非常關(guān)鍵，下面是具體的教學(xué)過(guò)程。

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)這個(gè)百分?jǐn)?shù)表示什么意思？

生1：如果把總?cè)藬?shù)比作100%，然后把100%化成分?jǐn)?shù)就是[100100]，這個(gè)51%就是[51100]。

師：你聽(tīng)懂他說(shuō)的意思了嗎？他在說(shuō)，這個(gè)百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)是一樣的，51%和[51100]是一樣的。這是一個(gè)解釋，還有嗎？

生2：這個(gè)表示100個(gè)人里面有51個(gè)人是男的。

師：聽(tīng)明白嗎？他想說(shuō)什么？

生3：他假設(shè)全國(guó)人口為100人，男性占總?cè)丝诘?1%，100人的51%就是51人。

師追問(wèn)生3：100人里有51人，那200人呢？

生3：102人。

師：還可以怎么假設(shè)？

生4：還可以假設(shè)總?cè)藬?shù)為300人，那么男性就有153人，如果總?cè)藬?shù)400人，那么男性就有204人……

師：他想表達(dá)什么意思？你能用一句話來(lái)說(shuō)嗎？

生5：也就是每100人里就有男性51人。

師：非常好，剛才幾位同學(xué)都在舉例說(shuō)明這個(gè)百分?jǐn)?shù)。也就是說(shuō)每100人里面，男性有51人，每200人里面，男性有102人。

……

從上述教學(xué)過(guò)程，可以看到教師并沒(méi)有停留在僅僅假設(shè)總?cè)藬?shù)，追問(wèn)總數(shù)為100人，總數(shù)為200人、1000人的情況，而是希望學(xué)生體會(huì)對(duì)“每100人里有幾個(gè)男性”的理解，這是兩種對(duì)百分?jǐn)?shù)理解的不同層次。在反饋交流的過(guò)程中特別注意讓一個(gè)人能有多個(gè)舉例的過(guò)程，逐步形成“每100人就有51人是男性”的體驗(yàn)。經(jīng)過(guò)這樣的教學(xué)過(guò)程，學(xué)生在原來(lái)基礎(chǔ)上進(jìn)行推算，在“學(xué)習(xí)單2”中，讓學(xué)生解釋“出勤率95%”什么意思時(shí)，學(xué)生“理解正確，表述完整”的比例有了較大提升，“理解錯(cuò)誤”的基本沒(méi)有了。而且，語(yǔ)言表述中，從百分?jǐn)?shù)意義本質(zhì)上解釋的多了，如：“如果有200人，就有190人出勤”“如果有1000人，有950人出勤”，還有“每100人中，出勤人數(shù)是95人”（如圖）。這樣的語(yǔ)言表述，可以看出學(xué)生對(duì)于“出勤率95%”是真正理解了。

二、用“畫(huà)圖”表征和理解百分?jǐn)?shù)

（一）學(xué)生的兩次“畫(huà)圖”表征理解情況統(tǒng)計(jì)

（二）學(xué)生的典型作品

學(xué)習(xí)單1“理解正確，圖示不完整”典型作品：

第一類：未畫(huà)完。

第二類：全部用具體數(shù)據(jù)。

第三類：總?cè)藬?shù)用100人，51%表示男性部分。

學(xué)習(xí)單1“理解正確，圖示完整”典型作品：

第一類：畫(huà)餅圖。

第二類：畫(huà)線段圖。

□表示出總?cè)藬?shù)、男性、女性人口。

□表示出總?cè)藬?shù)和男性人口。

（1）用100%表示總?cè)藬?shù)，51%表示男性人口。

（2）用“1”表示總?cè)藬?shù)，51%表示男性人口。

（3）用51%表示男性人口。

學(xué)習(xí)單2典型作品：

（三）學(xué)習(xí)單1、2對(duì)比及課堂行為分析

圖式表達(dá)比較直觀，也是學(xué)生比較喜歡的表達(dá)方式。“學(xué)習(xí)單1”第一次讓學(xué)生用“畫(huà)圖”表示自己對(duì)百分?jǐn)?shù)意義的理解，“理解正確，能用圖表達(dá)”的學(xué)生達(dá)到了91.4%，只有三位學(xué)生不能正確用“畫(huà)圖”進(jìn)行解釋。但從課堂上的學(xué)生作品看，只有40%的學(xué)生能準(zhǔn)確、完整表達(dá)出“百分?jǐn)?shù)51%”的意義，有51.4%的學(xué)生所畫(huà)的圖不完整或表述的意義不到位，很多學(xué)生畫(huà)的圖是以總數(shù)100人為基礎(chǔ)畫(huà)的，而不是100%或“1”，從而，一方面反映出學(xué)生對(duì)百分?jǐn)?shù)意義的理解還是不深刻的，另一方面也顯示出學(xué)生還不會(huì)準(zhǔn)確、完整地用圖表示意義。

基于這樣的學(xué)情，教師組織反饋著力點(diǎn)就是引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確、完整地用圖表示百分?jǐn)?shù)的意義，并促進(jìn)對(duì)百分?jǐn)?shù)意義的深刻理解。在實(shí)際教學(xué)中該教師分三步反饋學(xué)生的作品：第一步，呈現(xiàn)用具體人數(shù)的，引導(dǎo)學(xué)生討論完善；第二步，呈現(xiàn)一幅不完整的，再一步步進(jìn)行完善；最后，呈現(xiàn)幾幅畫(huà)得比較好的，讓學(xué)生進(jìn)一步感悟。

通過(guò)呈現(xiàn)學(xué)生不完整的作品，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這樣的作品進(jìn)行修正，學(xué)生經(jīng)歷了多次“補(bǔ)圖”的過(guò)程，其實(shí)就是經(jīng)歷多次完善畫(huà)圖的過(guò)程，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是多次深刻的體驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生的理解由淺顯到深入，思考由不完整到逐步完整。在學(xué)習(xí)單2的調(diào)查中，可以看到有85.7%的學(xué)生已經(jīng)能“正確、完整”地用“畫(huà)圖”的方式解釋百分?jǐn)?shù)，與教學(xué)之前的40%相比，已經(jīng)有了很大的提高。

三、根據(jù)百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系用語(yǔ)言描述表征百分?jǐn)?shù)

（一）學(xué)生的兩次“語(yǔ)言表述”表征理解情況統(tǒng)計(jì)

（二）學(xué)生的典型作品

學(xué)習(xí)單1典型作品：

（三）學(xué)習(xí)單1、2對(duì)比及課堂行為分析

從學(xué)習(xí)單1的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可以看到讓學(xué)生根據(jù)百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系解釋百分?jǐn)?shù)，也就是用分?jǐn)?shù)的意義遷移到百分?jǐn)?shù)的意義，能清晰地用語(yǔ)言表述的學(xué)生較少，只有8.6%的學(xué)生能夠進(jìn)行正確且完整的表達(dá)（可能與提示語(yǔ)的表述學(xué)生不理解也有關(guān)），51.4%的學(xué)生考慮到了用分?jǐn)?shù)意義的表述方式去解釋，但表述不清楚。

基于這樣的學(xué)情，教師如何組織學(xué)習(xí)，提供怎樣的學(xué)習(xí)支持？課堂教學(xué)中，教師注意追問(wèn)“哪兩個(gè)量在做比較？”并通過(guò)板書(shū)引導(dǎo)：“（ ）是（ ）的51% ，也就是（ ）是（ ）的[51100]?！苯?jīng)過(guò)適當(dāng)引導(dǎo)、交流后，從“學(xué)習(xí)單2”中可以看到，有60%的學(xué)生能準(zhǔn)確用語(yǔ)言表述“出勤率95%”的意義了。

在上述三種表征方式的教學(xué)及對(duì)比研究中，可以看到學(xué)生能獨(dú)立嘗試從多個(gè)角度表達(dá)自己對(duì)百分?jǐn)?shù)的理解，但存在理解不深刻、表述不完整等問(wèn)題，需要教學(xué)的進(jìn)一步跟進(jìn)，如采用“分步呈現(xiàn)典型材料、組織學(xué)生反思交流討論、利用關(guān)鍵語(yǔ)言引導(dǎo)”等教學(xué)策略，促進(jìn)學(xué)生的理解。另外，通過(guò)“學(xué)習(xí)單1”和“學(xué)習(xí)單2”同構(gòu)式的對(duì)比，可以看到，通過(guò)一定方式學(xué)習(xí)支持和教學(xué)跟進(jìn)，學(xué)生對(duì)百分?jǐn)?shù)意義的理解有了變化，明顯地看到了學(xué)習(xí)增量與變化。

整節(jié)“認(rèn)識(shí)百分?jǐn)?shù)”的教學(xué)課引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了“情境問(wèn)題，初步理解—多元表征，深化理解—聯(lián)系實(shí)際舉例”的教學(xué)過(guò)程，在這節(jié)課的教學(xué)過(guò)程中重視引導(dǎo)學(xué)生多元表征理解百分?jǐn)?shù)的意義，為了了解學(xué)生對(duì)百分?jǐn)?shù)意義的理解情況，在課后設(shè)計(jì)了三題后測(cè)題進(jìn)行測(cè)試，具體測(cè)試結(jié)果如下。

后測(cè)題1：陽(yáng)光小學(xué)的一項(xiàng)調(diào)查表明，近視的學(xué)生人數(shù)占全校人數(shù)的30%。這個(gè)百分?jǐn)?shù)表示什么意思？請(qǐng)你從不同的角度來(lái)解釋，并把解釋記錄在下面。

答題情況與分析：本題沒(méi)有作具體的解釋角度的提示，但學(xué)生都能從不同的角度解釋30%的意義，35名學(xué)生中，有27人能從舉例說(shuō)明、畫(huà)圖表示、說(shuō)明數(shù)量關(guān)系三個(gè)角度進(jìn)行解釋，有7人能從兩個(gè)角度進(jìn)行解釋，只有1人的解釋是錯(cuò)誤的。也就是有97.1%的學(xué)生已經(jīng)理解了該百分?jǐn)?shù)的意義，并能用不同的方法說(shuō)明其意義，總體來(lái)說(shuō)學(xué)習(xí)效果較好。

后測(cè)題2：根據(jù)國(guó)家健康體質(zhì)測(cè)試標(biāo)準(zhǔn)，我校學(xué)生一分鐘跳繩達(dá)標(biāo)率是97%。“97%”這個(gè)百分?jǐn)?shù)表示什么意思？請(qǐng)?jiān)囍鴱囊韵聨讉€(gè)不同的角度來(lái)解釋。（1）假設(shè)總?cè)藬?shù)；（2）畫(huà)圖；（3）根據(jù)百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)的關(guān)系；（4）97%是怎么算出來(lái)的。

答題情況與分析：本題從四個(gè)角度提示學(xué)生解釋自己對(duì)百分?jǐn)?shù)的理解，其中前三個(gè)角度是課堂教學(xué)中出現(xiàn)過(guò)的，學(xué)生“正確理解、表述完整或基本完整”的都在90%以上。而第四個(gè)“怎么算出來(lái)的”的角度是新的，看看學(xué)生能否從新的角度理解百分?jǐn)?shù)，結(jié)果有31人“理解正確，并能完整表述”，占總?cè)藬?shù)的88.6%。學(xué)生的想法有很多：有用具體數(shù)量相除的，有用達(dá)標(biāo)人數(shù)÷總?cè)藬?shù)的，有用“100%”-“未達(dá)標(biāo)率的”，方法的多樣性，從中可以看出學(xué)生對(duì)百分?jǐn)?shù)的理解已經(jīng)比較深入了。

后測(cè)題3：你在生活中還見(jiàn)過(guò)哪些百分?jǐn)?shù)？分別是什么意思？（提示：舉例后，要寫一寫這個(gè)百分?jǐn)?shù)的意思）

答題情況與分析：自己舉例并解釋，從答題情況能舉出百分?jǐn)?shù)例子的有31人，其中19人能完整解釋自己舉的例子，還有12人解釋不是很清晰或不夠完整（其中一部分是因?yàn)閷W(xué)生舉的例子不常見(jiàn)或?qū)?shù)量關(guān)系不熟悉，而導(dǎo)致解釋不清）。下面是幾位學(xué)生的答題情況：

上面三道后測(cè)題的結(jié)果顯示，多元表征百分?jǐn)?shù)的意義有利于學(xué)生對(duì)百分?jǐn)?shù)的理解。經(jīng)過(guò)“認(rèn)識(shí)百分?jǐn)?shù)”一節(jié)課的教學(xué)后，學(xué)生對(duì)百分?jǐn)?shù)的意義有了較深的理解，能從假設(shè)總?cè)藬?shù)舉例說(shuō)明、畫(huà)圖、根據(jù)和分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系用語(yǔ)言表述等不同角度去解釋百分?jǐn)?shù)，初步實(shí)現(xiàn)百分?jǐn)?shù)意義的概念性理解。

（浙江省嘉興市南湖區(qū)教育研究培訓(xùn)中心 314000 浙江省嘉興南湖國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校 314000）