“多元表征理論”指導(dǎo)下對(duì)數(shù)的概念教學(xué)反思

楊小輝

【內(nèi)容摘要】概念的教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中一項(xiàng)十分重要的內(nèi)容，用“多元表征理論”去指導(dǎo)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)，會(huì)使得教師在概念教學(xué)時(shí)循序漸進(jìn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)抽象的概念時(shí)具體形象。

【關(guān)鍵詞】概念教學(xué) 多元表征

引言

有些教者認(rèn)為，概念沒(méi)那么重要，只要將課本上概念內(nèi)容讓學(xué)生記住就可以了。在課時(shí)緊的情況下，沒(méi)有概念的推導(dǎo)，老師教學(xué)生直接進(jìn)行概念應(yīng)用，然后學(xué)生模仿訓(xùn)練。到了高三復(fù)習(xí)時(shí)，學(xué)生就跟沒(méi)學(xué)過(guò)這個(gè)概念一樣。學(xué)生不是容器，不是內(nèi)容塞進(jìn)去之后就永遠(yuǎn)儲(chǔ)存在哪里。這樣只會(huì)讓學(xué)生在不理解概念的基礎(chǔ)上，增加學(xué)生重復(fù)練習(xí)的次數(shù)，讓學(xué)生變得越來(lái)越討厭數(shù)學(xué)，又何談數(shù)學(xué)能力的提高？怎樣讓概念的學(xué)習(xí)來(lái)得淺顯易懂，生動(dòng)，深刻呢？鄭毓信教授在多元表征理論與概念教學(xué)給了我們指導(dǎo)，直接學(xué)抽象的數(shù)學(xué)概念很困難，但用概念的多元表征來(lái)學(xué)習(xí)抽象的概念是一種有效策略。

一、數(shù)學(xué)多元表征的概念

表征（Representation）又稱(chēng)心理表征或知識(shí)表征。認(rèn)知心理學(xué)的核心概念之一，指信息或知識(shí)在心理活動(dòng)中的表現(xiàn)和記載的方式。表征是外部事物在心理活動(dòng)中的內(nèi)部再現(xiàn)，因此，它一方面反映客觀(guān)事物，代表客觀(guān)事物，另一方面又是心理活動(dòng)進(jìn)一步加工的對(duì)象。所以數(shù)學(xué)概念表征包括外部表征和內(nèi)在表征，外部表征是概念的呈現(xiàn)方式，內(nèi)部表征是概念在人腦中的內(nèi)化過(guò)程。概念外部表征與學(xué)生相互作用，通過(guò)相關(guān)聯(lián)系的解答情況探測(cè)學(xué)生的概念的內(nèi)部表征。概念的外部表征包括動(dòng)作表征、口頭表征、圖像表征、符號(hào)表征。動(dòng)作表征是學(xué)生的思維必須借助實(shí)物或具體物的實(shí)際操作活動(dòng)來(lái)完成；口頭表征是用語(yǔ)言文字表達(dá)對(duì)概念的不同層次理解；圖象表征是指具體物消失時(shí)學(xué)生能依據(jù)實(shí)物的影像在頭腦中制作心像來(lái)進(jìn)行內(nèi)在的思維活動(dòng)；符號(hào)表征是學(xué)生已能直接對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行思維操作。我們應(yīng)在教學(xué)中使用各種外部表征幫助學(xué)生建立真正反映概念本質(zhì)的內(nèi)在表征。

二、教學(xué)反思

概念的教學(xué)不要急于求成，要用合適的外部表征調(diào)動(dòng)學(xué)生原有認(rèn)知，逐漸內(nèi)化為學(xué)生恰當(dāng)?shù)膬?nèi)部表征。

將蘇教版必修1課本上的三個(gè)生活實(shí)例進(jìn)行改編作為引入對(duì)數(shù)概念的問(wèn)題情境，這三個(gè)問(wèn)題情境更加貼近學(xué)生的生活，這樣的動(dòng)作表征更有親切感，能夠激起學(xué)生的求知欲。有時(shí)我們還可以借助多媒體，使得問(wèn)題情境更加活潑。當(dāng)學(xué)生將三個(gè)問(wèn)題用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示出來(lái)后，層層設(shè)問(wèn)不斷調(diào)動(dòng)學(xué)生頭腦中的原有認(rèn)知，學(xué)生對(duì)于指數(shù)有由初中到高中的知識(shí)拓展，認(rèn)識(shí)比較深刻，學(xué)生較輕松的用已有的認(rèn)知三個(gè)指數(shù)函數(shù)y=2x，y=0.84x，y=1.078x圖像解釋了當(dāng)y取某個(gè)大于0的實(shí)數(shù)時(shí)，x是存在的，第一個(gè)值x=6，而后兩個(gè)值顯然是存在的，但是多少，怎么表達(dá)，有學(xué)生回答可以用計(jì)算器算，但用計(jì)算器上的哪一種運(yùn)算，顯然學(xué)生原有的認(rèn)知已不能去表達(dá)這個(gè)存在的數(shù)，此時(shí)學(xué)生的大腦處于興奮狀態(tài)，緊接著提問(wèn)，那么能不能將這三個(gè)問(wèn)題歸為同一問(wèn)題，然后將這一類(lèi)問(wèn)題用一個(gè)新的定義去表達(dá)這個(gè)數(shù)，學(xué)生產(chǎn)生了認(rèn)同感。由三個(gè)不同的學(xué)生進(jìn)行回答，最后一個(gè)學(xué)生用語(yǔ)言較準(zhǔn)確的概括了這三個(gè)問(wèn)題實(shí)際上一類(lèi)已知底數(shù)，指數(shù)冪求指數(shù)。這也就是對(duì)數(shù)函數(shù)的語(yǔ)言表征，這樣一個(gè)結(jié)果的獲得對(duì)于對(duì)數(shù)概念的引入有質(zhì)的飛躍。在揭示對(duì)數(shù)式和指數(shù)式關(guān)系過(guò)程中， ab= N<==>b=logaN（a>0且a≠1），用數(shù)學(xué)符號(hào)“等價(jià)于”的形式來(lái)揭示，這樣更加形象直觀(guān)。雖然指數(shù)式和對(duì)數(shù)式互化的概念外部表征還沒(méi)有內(nèi)化為學(xué)生的內(nèi)部表征，但卻讓學(xué)生從直覺(jué)形象上了解了對(duì)數(shù)的這一性質(zhì)。這時(shí)教師要耐心引導(dǎo)學(xué)生正確求解。在介紹對(duì)數(shù)的性質(zhì)時(shí)，并沒(méi)有直接用書(shū)后的練習(xí)，因?yàn)閘oga1=0， logaa=1隱藏在練習(xí)中，沒(méi)有凸顯出來(lái)，所以設(shè)計(jì)了4組具體的實(shí)例讓分別讓學(xué)生探究出對(duì)數(shù)性質(zhì)loga1=0， logaa=1，logaab=b，alogaN=N并證明它們，這樣的過(guò)程才能給學(xué)生留下深刻的印象，讓學(xué)生更易從已有表征形式建立新的表征形式，為后期對(duì)對(duì)數(shù)圖像上一些特殊點(diǎn)的研究做鋪墊。學(xué)生在對(duì)數(shù)恒等式證明中出現(xiàn)了困難，說(shuō)明了學(xué)生只會(huì)用指對(duì)數(shù)的互化做簡(jiǎn)單題，對(duì)于結(jié)構(gòu)復(fù)雜題并沒(méi)有想到用指對(duì)數(shù)的互化去證明它，也就是說(shuō)學(xué)生對(duì)于對(duì)數(shù)概念新的表征形式還沒(méi)有形成，這時(shí)候可以用類(lèi)似的問(wèn)題強(qiáng)化一下，促進(jìn)新的表征的產(chǎn)生。最后在課堂總結(jié)時(shí)讓學(xué)生用一個(gè)框圖的形式來(lái)表達(dá)本節(jié)課的所學(xué)內(nèi)容，這樣有利于學(xué)生建立本節(jié)課的知識(shí)框架，長(zhǎng)期這樣做下去，將有利于學(xué)生建立整個(gè)高中的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。不難看出，在對(duì)數(shù)的概念教學(xué)這節(jié)課中，多種表征之間相互滲透，相互影響，這樣更加有利于學(xué)生從直覺(jué)形象為起點(diǎn)逐漸的理解抽象的對(duì)數(shù)概念，反之抽象的對(duì)數(shù)概念在學(xué)生的腦海中也會(huì)形成直覺(jué)的形象。

如果老師能長(zhǎng)期帶領(lǐng)學(xué)生關(guān)注概念的多元表征，筆者認(rèn)為教師就教會(huì)了學(xué)生一種學(xué)習(xí)方法。每當(dāng)一個(gè)概念的得出，學(xué)生都會(huì)不由自主的去想它的多元表征，多元表征就像一個(gè)翻譯器，將抽象的數(shù)學(xué)概念翻譯成頭腦中某些具體的形象，我們會(huì)覺(jué)得概念不再是冷冰冰的文字，而是樂(lè)于接受，易于接受的解決問(wèn)題的最有效的武器。當(dāng)我們?cè)诼裨箤W(xué)生多笨和多么不開(kāi)竅的時(shí)候，設(shè)問(wèn)自己，作為教師教會(huì)了學(xué)生什么，如果我們還在期待只是教給了學(xué)生幾個(gè)典型題目后就能讓學(xué)生在千變?nèi)f化的題海中頓悟的話(huà)，我想沒(méi)有踏踏實(shí)實(shí)的概念教學(xué)，永遠(yuǎn)都做不到。筆者認(rèn)為，教師要善于根據(jù)情境與需要在同一數(shù)學(xué)概念的不同表征間進(jìn)行問(wèn)題設(shè)計(jì)，要善于由概念的嚴(yán)格定義過(guò)渡到相應(yīng)的直觀(guān)形象，或者由直觀(guān)形象轉(zhuǎn)移到形式定義，讓學(xué)生能在概念的多元表征間靈活轉(zhuǎn)移。用“多元表征”理論指導(dǎo)教師的教學(xué)設(shè)計(jì)，讓概念的教學(xué)變得更加智慧，學(xué)生的概念學(xué)習(xí)變得具體，生動(dòng)，深刻。

（作者單位：江蘇省南通市第二中學(xué)）