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    數(shù)學(xué)育人理念引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)解題教學(xué)

    2022-06-30 23:43:39林琪
    關(guān)鍵詞:解題教學(xué)導(dǎo)數(shù)

    【摘 要】把數(shù)學(xué)解題教學(xué)簡單地等同于解題,把教學(xué)過程簡單地理解為“講題—聽題—練題”的循環(huán),這種“以題為中心”的教學(xué)觀使得數(shù)學(xué)解題教學(xué)與數(shù)學(xué)育人目標背道而馳。為了使數(shù)學(xué)解題教學(xué)回歸育人的本真,研究者認為,首先要甄選主題,凸顯數(shù)學(xué)育人導(dǎo)向;其次要建立關(guān)聯(lián),注入數(shù)學(xué)育人功能;最后要多元融合,打造數(shù)學(xué)育人課堂。

    【關(guān)鍵詞】解題教學(xué);數(shù)學(xué)育人;導(dǎo)數(shù);切線不等式

    全面深化課程改革的根本任務(wù)是落實立德樹人、學(xué)科育人。德育、智育、體育、美育構(gòu)成了學(xué)科育人的四個重要方面。數(shù)學(xué)知識對學(xué)生的發(fā)展具有重要的發(fā)展價值,是數(shù)學(xué)智育的集中體現(xiàn);數(shù)學(xué)學(xué)科豐富的思想方法、策略、邏輯思維背后所蘊含的啟示與哲理,是數(shù)學(xué)德育的集中體現(xiàn);數(shù)學(xué)獨特的學(xué)科美感,對學(xué)生發(fā)現(xiàn)、欣賞、表現(xiàn)美的能力具有潛移默化的作用[1]。除了體育,在德育、智育、美育方面,數(shù)學(xué)也能發(fā)揮其獨有的育人功能,但在實際教學(xué)中,數(shù)學(xué)的德育、美育功能沒有得到足夠的重視,教師把教學(xué)的重心更多放在對知識的獲得與思想方法的形成上。筆者曾以“導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用”復(fù)習(xí)課為主題參加優(yōu)質(zhì)課評比。很多教師反映相對于概念課,復(fù)習(xí)課很難上出“新花樣”,因為復(fù)習(xí)課往往跟解題教學(xué)掛鉤,解題教學(xué)通常以典型例題為載體,教師通過示范講解,向?qū)W生傳授技巧與方法;學(xué)生則通過聽題、做題,進而掌握解題的方法。因此,在很多教師的觀念中,解題教學(xué)除了解題,似乎很難把它與德育、美育聯(lián)系起來。為此,筆者結(jié)合自己的教學(xué)實踐進行研究,以期給大家一些啟發(fā)。

    一、甄選主題,凸顯數(shù)學(xué)育人導(dǎo)向

    復(fù)習(xí)課選題一般有三個維度:一是從知識系統(tǒng)的維度來選題,把握復(fù)習(xí)方向,保證復(fù)習(xí)課不偏題;二是從重難點、易錯點的維度來選題,使重點得到強化,難點得到突破,易錯點夠得到糾正;三是從知識育人功能的維度來選題,整體提升學(xué)生的核心素養(yǎng)水平。[2]具體如圖1所示。

    對于“導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用”這節(jié)內(nèi)容而言,一方面,學(xué)生剛學(xué)完“導(dǎo)數(shù)”內(nèi)容,雖然已經(jīng)掌握了導(dǎo)數(shù)的基本運算法則,會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性與極值(最值),但對于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基本原理的認知還比較薄弱。比如,很多學(xué)生一遇到問題就求導(dǎo),卻不知為何求導(dǎo)、求導(dǎo)了有什么用,尤其面對多次求導(dǎo)情景,學(xué)生基本是“一頭霧水”。因此,本節(jié)課的選題應(yīng)該立足導(dǎo)數(shù)的基本原理,注重基礎(chǔ),適當拓展,切不可好高騖遠,一味追求難度。另一方面,導(dǎo)數(shù)的起源與發(fā)展具有豐富的歷史文化背景,導(dǎo)數(shù)思想源遠流長,導(dǎo)數(shù)應(yīng)用更是與生活息息相關(guān)。因此,導(dǎo)數(shù)具有豐富的育人功能,尤其是德育與美育功能。但在導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)中,很多教師除了在起始課中進行數(shù)學(xué)文化的簡單滲透,平時很少關(guān)心導(dǎo)數(shù)的育人功能,把大量的時間花在學(xué)生的知識學(xué)習(xí)與解題能力的培養(yǎng)上。因此,學(xué)生對于導(dǎo)數(shù)育人功能的認識是缺失的。

    基于上述思考,筆者選擇了人教A版高中數(shù)學(xué)教材選修2-2第32頁B組習(xí)題第1題第(4)問的“切線不等式ex-1≥x≥ln(x+1)”(以下簡稱切線不等式)為本次復(fù)習(xí)課的例題,理由如下。一是選題立足教材,不僅讓本節(jié)課“師出有名”,而且由于這個切線不等式是以章節(jié)復(fù)習(xí)題的形式呈現(xiàn),在實際教學(xué)中并沒有引起教師的足夠關(guān)注。因此,這是一個比較新的知識,既可以避免復(fù)習(xí)課“炒冷飯”的現(xiàn)象,又可以化解解題教學(xué)單純解題的尷尬。二是切線不等式在導(dǎo)數(shù)運算中具有重要的應(yīng)用價值,蘊含“化曲為直”微積分的基本思想,有助于學(xué)生深度體驗導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基本原理。三是切線不等式蘊含豐富的代數(shù)和幾何背景,為數(shù)學(xué)育人的實施提供了必要的素材支撐。

    二、建立關(guān)聯(lián),注入數(shù)學(xué)育人功能

    唯物辯證法認為世界是一個有機的整體,世界上的一切事物都處于相互影響、相互作用、相互制約之中,即一切事物都相互關(guān)聯(lián)。數(shù)學(xué)也是如此,不僅數(shù)學(xué)知識之間相互關(guān)聯(lián),數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間也存在關(guān)聯(lián)。有些關(guān)聯(lián)隱藏得比較深,并不容易被人發(fā)現(xiàn),需要將各種事物、各種形式以及物質(zhì)與精神上的各種要素融合在一起,并加以綜合分析,才能夠發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)聯(lián)性。數(shù)學(xué)育人就是其中的一個關(guān)聯(lián)方向,即把數(shù)學(xué)現(xiàn)象、數(shù)學(xué)原理與德育、智育、美育中的核心要素關(guān)聯(lián),進而為數(shù)學(xué)注入育人的功能。對于切線不等式,可以建立以下兩種“關(guān)聯(lián)”。

    (一)形式關(guān)聯(lián),感受數(shù)學(xué)的美

    切線不等式本身就是對稱美的一種體現(xiàn),不等式左邊是以e為底的指數(shù)函數(shù)y=ex-1,右邊是以e為底的對數(shù)函數(shù)y=ln(x+1),這兩個函數(shù)互為反函數(shù),可相互轉(zhuǎn)化;從圖象上看,不等式左右兩邊表示的是曲線,中間表示直線y=x,而這條直線不僅是兩條曲線的公切線,而且也是兩條曲線的對稱軸。

    如果要追溯x≥ln(x+1)的來龍去脈,可以做以下變形。

    x≥ln(x+1)[?]1≥[1x]ln(x+1)[?]1≥ln(x+1)[1x][?]e≥(x+1)[1x],令n=[1x],則有(1+[1n])n≤e,這就是有名的復(fù)利模型[limn→+∞](1+[1n])n=e。

    由此可見,復(fù)利模型是切線不等式的一個“源頭”,而[limn→+∞](1+[1n])n=e也充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的對稱美。

    從高等數(shù)學(xué)的角度分析,切線不等式與麥克勞林級數(shù)直接相關(guān):ex=[n=1∞xnn!]≥x+1、ln(x+1)=[n=1∞(-1)n+1n]xn≤x,麥克勞林級數(shù)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美。

    (二)情境關(guān)聯(lián),感悟人生哲理

    數(shù)學(xué)的育人功能需要借助情境才能得以呈現(xiàn)與落實。因此,盡管復(fù)利模型[limn→+∞](1+[1n])n=e可以作為引出切線不等式的重要線索,但不能把復(fù)利模型直接教授給學(xué)生,而是首先要創(chuàng)設(shè)關(guān)聯(lián)情境。

    如果就以“復(fù)利”作為情境,比如,某人在銀行存了1000元,利息按復(fù)利計算(見表1),問:哪種存款方式最合算?一年后,本息和最大是多少?

    “復(fù)利”體現(xiàn)的是一種理財?shù)睦砟?,還不夠貼近學(xué)生的學(xué)習(xí)生活,稍加改造,可以創(chuàng)設(shè)更接地氣的情境。B38838FF-7371-4061-8A06-23ACEAFF21C7

    情境 假設(shè)小明初始的學(xué)習(xí)水平為1,年進步幅度為100%,那么1年后小明的學(xué)習(xí)水平是多少?

    (1)若小明半年進步一次,計算一年后的學(xué)習(xí)水平。

    (2)若小明一季度進步一次,計算一年后的學(xué)習(xí)水平。

    (3)若小明每個月進步一次、每天進步一次、每小時進步一次、每秒鐘進步一次……,計算一年后的學(xué)習(xí)水平。

    (4)通過上述計算,你有什么發(fā)現(xiàn)?

    上面的情境不僅與學(xué)生的學(xué)習(xí)息息相關(guān),而且蘊含深刻的人生哲理,如此一來,數(shù)學(xué)的德育功能便得到了凸顯。

    三、多元融合,打造數(shù)學(xué)育人課堂

    數(shù)學(xué)解題教學(xué)要充分發(fā)揮全方位的育人功能,不僅在選題上關(guān)注具有育人價值的元素,還要把各種教學(xué)手段與方法有機地融合在教學(xué)過程中,從而打造出具有“三度”特征的數(shù)學(xué)育人課堂,即知識適度、思想高度、文化厚度[3]?;谏鲜隼砟睿芯€不等式的教學(xué)過程設(shè)計如下。

    (一)把生活經(jīng)驗與數(shù)學(xué)原理融合在一起

    切線不等式對學(xué)生來說是全新的知識,因此,教學(xué)的第一步就是讓學(xué)生經(jīng)歷主動發(fā)現(xiàn)的過程,而要發(fā)現(xiàn)新知必須要立足學(xué)生的已有經(jīng)驗,而不是靠教師的直接“灌輸”,這就需要找到切線不等式的“源頭”,即復(fù)利公式[limn→+∞](1+[1n])n=e與學(xué)生經(jīng)驗的融合點。例如風(fēng)靡網(wǎng)絡(luò)的勵志公式“(1+0.01)365≈37.78與(1-0.01)365≈0.0255”。這組公式雖然勵志,但從數(shù)學(xué)的角度分析,該公式并不是很合理,因為人不可能一直進步下去,到一定時間,就會遇到瓶頸期,所以在這段時間內(nèi),人的進步總量應(yīng)該是固定的。顯然,用[limn→+∞](1+[1n])n=e這個模型來刻畫更加合理。因此,公式的發(fā)現(xiàn)過程可以進行以下教學(xué)設(shè)計。

    問題1-1 馬上要進入高三了,希望大家能夠在高三階段能夠取得更大的進步。最近,網(wǎng)上出現(xiàn)了一組公式:(1+0.01)365≈37.78、(1-0.01)365≈0.0255,看到這組公式,你有什么想法?

    問題1-2 從數(shù)學(xué)的角度分析,你認為勵志公式合理嗎?如果不合理,應(yīng)該如何優(yōu)化?

    問題1-3 正常情況下,在固定的時間段,進步的總量應(yīng)該是一個定值。假設(shè)小明初始的學(xué)習(xí)水平為1,……(呈現(xiàn)情境)

    問題1-4 通過上述例子,你有什么發(fā)現(xiàn)?

    以上問題的設(shè)計意在讓學(xué)生在熟悉的情境中,通過對勵志公式的優(yōu)化,經(jīng)歷公式[limn→+∞](1+[1n])n=e的自然發(fā)現(xiàn)過程,感悟數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。

    (二)把理性思考與感性認知融合在一起

    數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種理性的思考過程,為了發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)及規(guī)律,往往需要經(jīng)歷抽象和概括、分析和綜合、質(zhì)疑和批判等理性思考的過程;同時,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)又是一種感性的認知活動,為了建立數(shù)學(xué)與客觀世界的聯(lián)系,感受數(shù)學(xué)的人文精神,往往需要從感性的視角激發(fā)學(xué)生內(nèi)心情感。因此,只有把理性思考與感性認知有機融合在教學(xué)中才能更好地實現(xiàn)數(shù)學(xué)的育人目標。

    顯然,(1+0.01)365≈37.78、(1-0.01)365≈0.0255、[limn→+∞](1+[1n])n=e這三個數(shù)學(xué)模型是“學(xué)習(xí)進步”現(xiàn)象的理性思考,而感性認知主要體現(xiàn)在學(xué)生把模型代入到現(xiàn)實后的感悟。

    比如公式(1+0.01)365≈37.78可感悟為“勤學(xué)如初起之苗,不見其增,日有所長”;(1-0.01)365≈0.0255可感悟為“輟學(xué)如磨刀之石,不見其損,日有所虧”;[limn→+∞](1+[1n])n=e可感悟為“若要取得更大的進步,必須時刻保持進步”。由此可見,數(shù)學(xué)語言的魅力在于用最簡潔的符號表達最深刻的道理。

    筆者特意把本節(jié)課的主題命名為“放縮‘雙壁——初探一類切線不等式”,學(xué)生看到這個標題很容易與語文中的“樂府雙壁”聯(lián)系起來,不僅體現(xiàn)了人文的味道,而且凸顯了切線不等式的功能。

    (三)把解題技巧與深化概念融合在一起

    當然,解題教學(xué)不能沒有解題的環(huán)節(jié),但不能僅僅止于解題,因為概念才是數(shù)學(xué)的核心,解題只是概念的衍生與應(yīng)用,若沒有概念作為基礎(chǔ),解題與解題教學(xué)也就無從談起。但解題教學(xué)中的概念教學(xué)不是“炒冷飯”,而是要對概念進行深入地挖掘與拓展,讓學(xué)生認清概念的本質(zhì),收獲新的認知。

    在本節(jié)課中,有兩個概念需要得到深化。一是自然常數(shù)e,在此之前,自然常數(shù)e的由來一直困擾著學(xué)生,現(xiàn)在可以借助“學(xué)習(xí)進步”模型[limn→+∞](1+[1n])n=e進行澄清,e普遍存在于生活現(xiàn)象中,這就是為什么e被稱作“自然”常數(shù)的原因。二是切線不等式在[limn→+∞](1+[1n])n=e基礎(chǔ)上,容易猜想不等式(1+[1n])n≤e成立,引導(dǎo)學(xué)生對不等式進行等價變形,即因為nln(1+[1n])<1[?]ln(1+[1n])<[1n][?]ln(1+x)第一階段:用切線不等式妙解三道高考題。

    例1 利用切線不等式解下面三道高考題。

    (1)(2010年全國Ⅱ卷理科數(shù)學(xué))設(shè)函數(shù)f(x)=1-e-x,證明:當x>-1時,f(x)≥[xx+1]。

    (2)(2013年遼寧卷理科數(shù)學(xué))已知函數(shù)f (x)=(1+x)e-2x,g(x)=ax+[x32]+1+2xcosx。當x[∈[0,1]]時,求證:1-x ≤ f(x)≤[x1+x]。

    (3)(2013年全國新課標Ⅱ卷理科數(shù)學(xué))已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m),當m≤2時,證明f(x)>0。

    例1的這三道題用常規(guī)方法也可以求解,但如果用切線不等式進行“放縮”求解更容易,讓學(xué)生體會切線不等式在簡化運算中的重要作用。

    第二階段:用切線不等式巧解綜合題。

    例2 求證:[ex+(2-e)x-1x]≥lnx+1。

    例2如果直接構(gòu)造函數(shù)f(x)=[ex+(2-e)x-1x]-lnx-1求最值會比較麻煩,若運用切線不等式進行放縮,運算就會大大簡化。因為lnx+1≤x,所以只需證明[ex+(2-e)x-1x]≥x即可,即證明ex+(2-e)x-1≥x2。接著構(gòu)造函數(shù),令g(x)=ex+(2-e)x-1-x2,g′(x)=ex-2x+2-e,則x=1是g(x)的其中一個極值點,是否還存在其他的極值點,需要繼續(xù)求導(dǎo)。因為g″(x)=ex-2=0[?]x=ln2,則當x∈(0,ln2)時,g″(x)<0,g′(x)單調(diào)遞減;當x∈(ln2,[+∞])時,g″(x)>0,g′(x)單調(diào)遞增。又因為g′(0)=3-e>0,g′(ln2)0,g(x)單調(diào)遞增,x∈(x0,1),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減。因為g(0)=0,g(1)=0,所以當x∈(0,[+∞]),g(x)≥0恒成立,即ex+(2-e)x-1≥x2。

    上述解答過程既體現(xiàn)了切線不等式在簡化運算上的功能,又強化了用導(dǎo)數(shù)證明不等式的一般思路。當然,切線不等式的應(yīng)用遠不止于此,但由于學(xué)生是初次認識切線不等式,因此問題難度不能過高,本節(jié)課點到為止即可,以后還可以做進一步提升。

    數(shù)學(xué)解題教學(xué)不僅僅是以智育為主,更是應(yīng)該深入挖掘數(shù)學(xué)中美育、德育的要素,并且與解題有機地融合在一起,通過創(chuàng)新的教學(xué)設(shè)計,從而讓解題教學(xué)回歸數(shù)學(xué)育人的本真。

    參考文獻:

    [1]吳亞萍.拓展數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值[J].教育發(fā)展研究,2013(3):48-52.

    [2]蔣亮,呂增鋒.例淡數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課選題“三維度”:以“平面向量”復(fù)習(xí)課為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2013(4):15-17.

    [3]文衛(wèi)星.數(shù)學(xué)教學(xué)中的“微型育人”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2015(10):4-6.

    【作者簡介】林琪,二級教師,主要研究方向為數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)文化。

    【基金項目】2021年寧波市教育科學(xué)規(guī)劃重點課題“大概念視角下高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)的研究”(2021YZD079)B38838FF-7371-4061-8A06-23ACEAFF21C7

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