融合生活現(xiàn)象，叩問數(shù)學本質(zhì)
——對《圓的認識》的教學思考與實踐

□許現(xiàn)新

《圓的認識》是人教版教材六年級上冊的教學內(nèi)容，屬于一節(jié)數(shù)學概念課，作為“圓”這個單元的起始課，它起著至關重要的作用。那么《圓的認識》該怎樣教學，才能使學生易于理解和掌握呢？筆者認為，圓的認識教學應從融合生活現(xiàn)象中叩問圓的數(shù)學本質(zhì)。

一、課前思考

在學習圓之前，學生已經(jīng)學習了長方形、正方形、平行四邊形、梯形、三角形等平面圖形，圓這一平面圖形與學生以往所學習的這些平面圖形有很大的區(qū)別，圓是曲線圖形?！秷A的認識》是學生學習圓周長、面積、圓環(huán)、扇形等知識的基礎。因而，作為“圓”單元的第一課時，在學習《圓的認識》前無特別能借鑒的前知和經(jīng)驗，但在學習后，它卻是很多知識學習的基礎。

（一）圓的數(shù)學本質(zhì)是什么？

什么是圓呢？在學生的認知里，圓是平面內(nèi)的那條封閉曲線（如圖1），還是那個圍成的圓面？（如圖2）

圖1

圖2

我們知道，早在戰(zhàn)國時期，《墨子》中就已經(jīng)為圓寫下了一個定義：“圓，一中同長也。”意思就是說“圓這種圖形，有一個中心，從這個中心到圓上各點都一樣長”，這說明圓的本質(zhì)就是與一個定點的距離等于定長的點的集合，顯然圓就是平面內(nèi)的那條封閉曲線。

（二）圓的生活現(xiàn)象何其多？

古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯曾說“一切平面圖形中最美的是圓”。圓是幾何圖形中很普通又很美的圖形，在我們的日常生活中普遍有圓的存在，如硬幣、瓶蓋、鐘面、圓桌、光盤、井蓋、輪胎、草原上的蒙古包、操場上的圓，有些游戲活動必須是圍成圓形的圈，等等。難道圓的存在只是因為美嗎？顯然圓的存在既體現(xiàn)了圓的美，又有其廣泛的實用價值，而圓的美與實用價值都來源于它的數(shù)學本質(zhì)。

（三）學生對圓認識知多少？

學生在從小到大的成長過程中，經(jīng)常會看到圓、用到圓、想到圓。在數(shù)學學習中從低年級起就已經(jīng)接觸圓了。雖然圓的出現(xiàn)一般用在不同圖形的直觀分類，或是看圖列式作為直觀符號形式，或是學生在解決問題的過程中作為圖式分析的直觀模型（如維恩圖）幫助理解問題，但是在正式學習圓的知識之前，學生對圓的認識，只是在生活中、學習中比較粗淺的表面化的認知，對圓的本質(zhì)概念并未觸及。

于是我們做了一個課前調(diào)查。調(diào)查內(nèi)容如下：

同學們，你們知道“圓”嗎？

“圓”是平面內(nèi)的那條封閉曲線？（圖①）

“圓”是那個圍成的圓面？（圖②）

“圓”既是平面內(nèi)的那條封閉曲線，又是那個圍成的圓面？

你認為“圓”到底是什么？請你在你所認為的圖下面的（ ）內(nèi)打“√”。

經(jīng)過匯總整理，我們發(fā)現(xiàn)被調(diào)查的一百余名學生中，有52%的學生認為圓既是平面內(nèi)的那條封閉曲線，又是那個圍成的圓面；有36%的學生認為圓是那個圍成的圓面；只有12%的學生認為圓是平面內(nèi)的那條封閉曲線?？梢?，學生在未學習《圓的認識》一課前，對圓的本質(zhì)的認識是模糊的，絕大多數(shù)學生對圓的認識的前概念與圓的本質(zhì)存在很大的偏差。

二、融合“生活現(xiàn)象”的教學設計

通過厘清圓的數(shù)學本質(zhì)，分析圓的生活現(xiàn)象，調(diào)查了學生對圓的認識的前概念。在教學設計時，力求將圓的“生活現(xiàn)象”與圓的“數(shù)學本質(zhì)”加以融合，從學生的認知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗出發(fā)，理解圓的數(shù)學本質(zhì)。

（一）以生活情境導入，激發(fā)探究數(shù)學本質(zhì)的欲望

在教師準確把握數(shù)學概念本質(zhì)內(nèi)涵的基礎上，創(chuàng)設貼近學生生活的情境，激活學生已有認知經(jīng)驗，激發(fā)學生探究數(shù)學本質(zhì)的欲望。

【片段1】從“尋寶物”游戲?qū)胄抡n

出示“尋寶物”游戲情境：小明參加了一個尋寶游戲，寶物距離小明左腳3米，寶物可能在哪里？

（二）從生活現(xiàn)象中探究，架起建構數(shù)學本質(zhì)的橋梁

把學生置于知識發(fā)現(xiàn)的真實“場景”當中，從生活現(xiàn)象中探究，架起建構數(shù)學本質(zhì)的橋梁，更易于學生根據(jù)生活經(jīng)驗探究知識。

【片段2】從“寶物位置”感知“圓”的本質(zhì)

師：請同學們拿出練習紙，我們用紙上面的小黑點表示小明左腳的位置，用圖上距離1厘米表示實際距離1米，請你在紙上表示出你的想法。

【片段3】從“轉(zhuǎn)繩子”體驗“圓”的本質(zhì)

師：老師這里有一根繩子，繩上有一個掛件，請你想象一下，當老師讓這個掛件快速旋轉(zhuǎn)起來，這個掛件留下的運動軌跡是什么樣子的？

【片段4】從“操場上畫圓”感悟“圓”的本質(zhì)

師：圓在我們生活中很常見，籃球場上、操場上的大圓見過嗎？體育老師要在操場上畫一個大圓，怎樣才能把它畫出來？想象一下。

【片段5】從“圓規(guī)為什么能畫圓”內(nèi)化“圓”的本質(zhì)

教師出示圓規(guī)，介紹圓規(guī)畫圖的方法。

師：為什么圓規(guī)能畫出圓呢？請同學們利用圓規(guī)，在紙上空白地方畫一個半徑為2厘米的圓。

師：再畫一個直徑是6厘米的圓。

（三）在生活問題中應用，創(chuàng)設深化數(shù)學本質(zhì)的機會

數(shù)學從生活中來，又回到生活中去，架起數(shù)學與生活的橋梁，感受數(shù)學就在身邊，生活離不開數(shù)學。通過生活現(xiàn)象中數(shù)學知識的應用，給學生提供深化數(shù)學知識本質(zhì)的機會。

【片段6】從“車輪為什么是圓的”深化“圓”的本質(zhì)

師：在我們生活中有很多物品都是利用了圓的特性來設計的，你想到了嗎？

師：為什么車輪是圓形的呢？

師：當路是平的時，為什么圓形滾動起來比較平穩(wěn)呢？

師：請你想象一下，用圓、正方形、正三角形做輪，讓這樣的輪子轉(zhuǎn)起來。圓的圓心和正方形、正三角形的中心點是如何變化的？

【片段7】從“寶物位置”升華“圓”的本質(zhì)

師：老師還有最后一個問題，小明在你們說的圓上找了一圈，發(fā)現(xiàn)寶物并沒有在這個圓上，是怎么回事呢？

三、叩問“數(shù)學本質(zhì)”的教學策略

在教學設計中融合了圓的“生活現(xiàn)象”，那么如何利用這些“生活現(xiàn)象”去叩問圓的“數(shù)學本質(zhì)”呢？我們嘗試提出以下教學策略。

（一）想象與交流相穿插，體驗數(shù)學本質(zhì)

在學生探究生活現(xiàn)象中的數(shù)學本質(zhì)時，給予學生想象與交流的機會，讓學生在想象與交流中展現(xiàn)其個性思考，從而初步體驗圓的數(shù)學本質(zhì)。

通過“寶物距離小明左腳3米”這一游戲條件，讓學生根據(jù)生活經(jīng)驗和知識去思考、去畫一畫。展示學生作品（如圖3）。

圖3

教師啟發(fā)引導：“這些點都距離小明左腳3米，那么像這樣的寶物的位置，你還能找到嗎？想象一下，如果不斷地找下去，寶物所在的位置到底在哪里？”

給予學生充分想象的時間后，教師又提問：“你覺得是什么？”多名學生交流后都認為是“圓”。這時，教師借助課件向?qū)W生展示，學生發(fā)現(xiàn)與自己的想象是一樣的，能找到無數(shù)個點，組成了圓（如圖4）。

圖4

在學生發(fā)現(xiàn)是由無數(shù)個點組成了圓之后，教師不能讓學生的認識停留在這一膚淺的層面上。教師繼續(xù)追問：“那么，你們說的這個圓是什么呢？”有的學生說：“它是由無數(shù)個點組成的一條線?！庇械膶W生說：“是一條曲線?！睂W生的回答僅停留在圓比較直觀的形上，并未回答到本質(zhì)上。這時教師進一步深入提問：“這條曲線有什么特點？”學生通過小組內(nèi)的討論以及班級內(nèi)的交流，最終發(fā)現(xiàn)：線上的每一個點到中心點的距離都是一樣的，所以才形成了這樣一條封閉曲線。

（二）想象與觀察相融合，感知數(shù)學本質(zhì)

在對生活現(xiàn)象的探究中，將想象與觀察相結合，動中有靜，靜中有動，虛實相融，動靜結合，形象感知圓的數(shù)學本質(zhì)。

在“轉(zhuǎn)繩子”中感知“圓”的本質(zhì)環(huán)節(jié)中，教師提出問題：“老師這里有根繩子，繩上有一個掛件，請你想象一下，當老師讓這個掛件快速旋轉(zhuǎn)起來，這個掛件留下的運動軌跡是什么樣的？”

給予學生想象的時間后，教師加以演示旋轉(zhuǎn)，學生想象和觀察后得出“掛件運動的軌跡是個圓”（如圖5）。

圖5

教師追問：“為什么掛件旋轉(zhuǎn)留下的軌跡是個圓呢？”

學生在討論中得出：“掛件到手指的距離是一樣的，轉(zhuǎn)動就會形成圓?！?/p>

（三）想象與思辨相結合，感悟數(shù)學本質(zhì)

在想象中思考，在思考中思辨，使學生逐步清晰理解圓的數(shù)學本質(zhì)。

在“操場上畫圓”這個教學環(huán)節(jié)中，教師提出問題：“體育老師要在操場上畫一個大圓，怎樣才能把它畫出來？”

學生有的說：“做個大圓模型?！庇械恼f：“做個大圓規(guī)。”有的說：“人站在中間，旋轉(zhuǎn)著用一支長長的筆來畫?！庇械恼f：“找一根繩子，一端固定在操場上，在另一端系一支粉筆，人拉緊繩子繞著固定點畫一圈。”

在學生充分想象后，讓他們各抒己見，并讓學生進行思辨，最后明確，這么大的圓，要想畫好，主要還是要借助“圓上的點到中心的距離是一樣的”這個概念，然后根據(jù)實際情況選擇合適的方法。

又如，在“圓規(guī)為什么能畫圓”這個環(huán)節(jié)中，教師出示圓規(guī)，提問：“為什么圓規(guī)能畫出圓呢？想象一下圓規(guī)是怎樣畫圓的？”學生根據(jù)想象與思辨得出：圓規(guī)兩腳間距離不變，相當于圓上的點到圓心距離不變。

（四）操作與對比相滲透，內(nèi)化數(shù)學本質(zhì)

數(shù)學知識的建構，需要學生的多種感官參與，動手操作能讓學生手腦并用，多種感官協(xié)同參與，促進知識內(nèi)化，理解數(shù)學本質(zhì)。

如在“圓規(guī)為什么能畫圓”這個環(huán)節(jié)中，讓學生用圓規(guī)畫一畫圓。

教師提出要求：“請同學們利用圓規(guī)，在紙上空白地方畫一個半徑為2厘米的圓?！?/p>

學生畫好后，展示作品，在展示的過程中讓學生明白只有“圓心到圓上的點的距離都相等”，才能畫出完整、美觀的圓（如圖6）。

圖6

教師又提出要求：“畫一個直徑是6 厘米的圓?！睂W生在動手實踐中發(fā)現(xiàn)，畫直徑6 厘米的圓，實質(zhì)上就是圓規(guī)兩腳間距離取3厘米，也就是圓心和圓上點之間的距離是3厘米（如圖7）。

動手操作是學生數(shù)學學習中常用的一種方法，在比較中畫圓，使學生認識圓的基本結構，并清晰地理解圓的各部分之間的關系，比如同圓或等圓中半徑是直徑的一半，有無數(shù)條半徑、無數(shù)條直徑、半徑?jīng)Q定圓的大小等等。學生在層層的探究活動中，實現(xiàn)了對概念本質(zhì)由表及里、由淺入深逐步內(nèi)化的過程。同時畫圓的操作活動也是對數(shù)學本質(zhì)理解后的外顯過程。

（五）解釋與拓展夯應用，深化數(shù)學本質(zhì)

應用數(shù)學知識解釋、拓展生活現(xiàn)象。這一應用過程，既是對數(shù)學概念本質(zhì)深層次的理解，形成對知識的活學活用，又加強了數(shù)學與生活的聯(lián)系。

如在“車輪為什么是圓的”這一教學環(huán)節(jié)中，教師提問：“為什么車輪是圓形的呢？”學生認為圓形平穩(wěn)。

教師追問：“為什么圓形滾動起來比較平穩(wěn)呢？”學生四人小組討論后交流。

教師啟發(fā)思考：“請你想象一下，圓的圓心和正方形、三角形的中心點是如何變化的？”（如圖8）

學生想象后通過觀察課件，演示圓形、正方形、正三角形車輪中心點與著地點之間距離的運動變化，得出：輪胎為圓形時，它的圓心到地面的距離都是一樣的，就是半徑，所以行駛起來比較平穩(wěn)。

對源自于生活中“車輪為什么用圓形”現(xiàn)實問題的探討，呈現(xiàn)車輪實物圖，聯(lián)系生活實際，引發(fā)學生的思考，讓學生結合課堂探究成果，在想象與思辨中逐步體會與領悟，樸實揭密“車輪做成圓形”的原理，探尋其本質(zhì)，在理解與解釋中進一步深化對圓概念本質(zhì)的理解。

又如在“寶物位置”的拓展應用環(huán)節(jié)中，教師拋出問題：“小明在你們說的圓上找了一圈，發(fā)現(xiàn)寶物并沒有在這個圓上，這是怎么回事呢？”

這個問題一下子又激起了學生的思索，通過前面學習的積累，學生在想象與思辨中腦洞大開：寶物可能在地下，也可能在地上。

學生在層層的問題引領和想象、思辨下，發(fā)現(xiàn)寶物可能在一個球面上，教師順勢用課件展現(xiàn)（如圖9），強化學生的想象與思辨認知。

圖9

如此，通過對“寶物位置”的其他可能性判斷，想象與思辨相結合，升華對“圓”的概念本質(zhì)的認知，拓展學生思維。

在《圓的認識》教學中，我們淡化了對“圓”概念字面的記憶，抓住“圓”概念的數(shù)學本質(zhì)，激活學生的生活經(jīng)驗，在融合“生活現(xiàn)象”中叩問圓的“數(shù)學本質(zhì)”，將想象、交流、觀察、思辨、操作、應用等貫穿于“圓”概念的學習過程中，凸顯“圓”的數(shù)學本質(zhì)，幫助學生深度建構“圓”概念，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)。