估數(shù)、估測(cè)和估算的內(nèi)涵及相互關(guān)系

吳 倩，孫興華

(東北師范大學(xué) 教育學(xué)部，吉林 長(zhǎng)春 130024)

估計(jì)是人類的一種最頻繁的心理活動(dòng)。(1)鮑建生：《估計(jì)——數(shù)學(xué)教育面臨的新課題》，《教育研究》1997年第10期，第69-72頁(yè)。估計(jì)不僅和日常生活有緊密的聯(lián)系，也是數(shù)學(xué)的一項(xiàng)基本技能。發(fā)展和培養(yǎng)估計(jì)能力至少包含以下兩方面的好處：一是提供給學(xué)生一種檢驗(yàn)答案合理性的方法；二是估計(jì)能力的發(fā)展有利于提高其他數(shù)學(xué)能力，如心算、空間可視化、測(cè)量和數(shù)感。隨著估計(jì)內(nèi)容的學(xué)習(xí)價(jià)值受到重視，估計(jì)的相關(guān)研究也逐漸增多。對(duì)估計(jì)的研究主要集中在心理和數(shù)學(xué)教育兩個(gè)領(lǐng)域。因?yàn)楣烙?jì)是一個(gè)相對(duì)籠統(tǒng)的概念，這些研究大多數(shù)會(huì)涉及估計(jì)的具體類型，以便得到更加有針對(duì)性的結(jié)果。在數(shù)學(xué)教育文獻(xiàn)中，數(shù)量估計(jì)(numerosity estimation，簡(jiǎn)稱估數(shù))、測(cè)量估計(jì)(measurement estimation，簡(jiǎn)稱估測(cè))和計(jì)算估計(jì)(computational estimation，簡(jiǎn)稱估算)一般被認(rèn)為是常見的三種估計(jì)類型。但由于對(duì)其內(nèi)涵及關(guān)系的探討相對(duì)較少，因此教師教學(xué)時(shí)經(jīng)常存在一定的困惑和問(wèn)題，比如，估數(shù)和估算的過(guò)程中似乎都需要計(jì)算，兩者的區(qū)別到底是什么？教學(xué)時(shí)怎樣處理呢？為明晰這些問(wèn)題，本文對(duì)估數(shù)、估測(cè)與估算的內(nèi)涵及關(guān)系進(jìn)行探析，進(jìn)一步厘清這三個(gè)概念的使用，期望能有助于小學(xué)數(shù)學(xué)教師理解它們的本質(zhì)，以便更好地發(fā)展小學(xué)生的估計(jì)意識(shí)與能力。

一、估數(shù)、估測(cè)和估算的內(nèi)涵

估數(shù)、估測(cè)和估算是在某種需要下產(chǎn)生的，與我們所熟知的計(jì)數(shù)、測(cè)量和計(jì)算有著緊密的關(guān)聯(lián)，下面對(duì)其內(nèi)涵和概念進(jìn)行辨析。

(一) 估數(shù)

在通常情況下，人們通過(guò)計(jì)數(shù)來(lái)獲得物體數(shù)量，但在有些情況下人們無(wú)法將呈現(xiàn)在視野中的物體一一數(shù)出來(lái)，因此便采用估計(jì)的方式來(lái)獲得物體的大概數(shù)量，這就是數(shù)量估計(jì)(2)蔡方之，黃淑麗，顏乃欣：《圖形排列方式對(duì)數(shù)量估計(jì)的影響》，《臺(tái)灣心理學(xué)會(huì)第43屆年會(huì)會(huì)議論文集》2004年9月。。由此可見，估數(shù)和計(jì)數(shù)都是獲得物體數(shù)量但心理操作過(guò)程不同的思維活動(dòng)。數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)是數(shù)出來(lái)的”，可知數(shù)的產(chǎn)生源于度量。估數(shù)其實(shí)是一種粗略的計(jì)數(shù)，仍然是獲取物體數(shù)量，所以本質(zhì)也是度量。計(jì)數(shù)在于得到一個(gè)精確的度量結(jié)果，而估數(shù)獲得物體大概的數(shù)量即可。兩者之間的差異既體現(xiàn)在度量的目的及結(jié)果，還在于度量的過(guò)程不同。就計(jì)數(shù)而言，計(jì)數(shù)又叫數(shù)數(shù)，數(shù)數(shù)的過(guò)程就是把要數(shù)的東西，與自然數(shù)列里從“一”開始的自然數(shù)，建立一一對(duì)應(yīng)(3)程福生主編：《學(xué)生實(shí)用小百科》，海南出版社1995年版，第679頁(yè)。。就估數(shù)來(lái)說(shuō)，數(shù)量估計(jì)實(shí)際是在沒有足夠時(shí)間數(shù)出物體的數(shù)量，或要數(shù)的物體數(shù)量過(guò)大、亦或?qū)Ψ庆o止的物體根本無(wú)法做出計(jì)數(shù)的情況下做出的一種粗略估計(jì)(4)徐繼紅，司繼偉，周新林，董奇：《數(shù)量估計(jì)的研究回顧》，《心理科學(xué)》2010年第3期，第646-648頁(yè)。。這種情況下，人們想要做出較為合理的判斷，就需要依賴一定的估計(jì)策略。

估數(shù)策略的研究中，分解—重組、基準(zhǔn)比較和眼球效應(yīng)(知覺)被認(rèn)為是常用的策略，大多數(shù)估計(jì)者傾向于使用前兩種。(5)Crites T. Skilled and Less Skilled Estimators’ Strategies for Estimating Discrete Quantities. The Elementary School Journal, 1992,92(5),pp.601-619.運(yùn)用三種估計(jì)策略要經(jīng)歷的心理操作過(guò)程與計(jì)數(shù)不同：首先根據(jù)實(shí)際背景，選擇合適的單位，這是首要且關(guān)鍵的一步。對(duì)估數(shù)來(lái)說(shuō)，這里的單位指的是計(jì)數(shù)單位，即個(gè)、十、百等。其次在此單位下，選擇合適的心理參照量以獲得最終的估計(jì)值。而眼球效應(yīng)對(duì)這一過(guò)程的整合程度最高，是數(shù)感形成的標(biāo)志。由此可知，估數(shù)比計(jì)數(shù)有更復(fù)雜的心理操作程序，因此數(shù)量估計(jì)是一種高層次的認(rèn)知加工過(guò)程(6)Liu W, Zhang Z J, Zhao Y J, et al. Effects of Awareness on Numerosity Adaptation. PloS One, 2013, 8(10)，p. e77556.。估數(shù)和計(jì)數(shù)還具有共性之處：第一，度量對(duì)象相同，都是實(shí)物數(shù)量或?qū)嶋H背景中物體的數(shù)量，可以進(jìn)行視覺加工。第二，數(shù)的范疇相同，即都是自然數(shù)。

(二) 估測(cè)

布賴特(Bright,1976)將估測(cè)界定為“在不使用一般的測(cè)量工具的情況下，以某種方法推測(cè)出測(cè)量結(jié)果的一種心理加工過(guò)程”(7)Bright G W. Estimation as Part of Learning to Measure. National Council of Teachers of Mathematics Yearbook, 1976，38, pp.87-104.。由此可知，估測(cè)和測(cè)量最大的不同在于測(cè)量工具的使用，以及由它所帶來(lái)的操作屬性的不同，即測(cè)量具有真實(shí)可操作、可觀察的特點(diǎn)，而估測(cè)是一種心理操作。

除上述區(qū)別外，估測(cè)和測(cè)量還有以下的相同點(diǎn)：(1)其本質(zhì)都是度量。測(cè)量是把待測(cè)定的量同一個(gè)作為標(biāo)準(zhǔn)的同類量進(jìn)行比較的過(guò)程(8)劉娟娟：《小學(xué)數(shù)學(xué)“測(cè)量”的內(nèi)容本質(zhì)分析和教學(xué)建議》，《南京曉莊學(xué)院學(xué)報(bào)》2019年第3期，第33-36頁(yè)。。估測(cè)也是經(jīng)歷比較過(guò)程而得出結(jié)果，所以其本質(zhì)相同。所以從度量角度去看估測(cè)的心理操作過(guò)程，是與估數(shù)有著相似的操作程序。首先是選擇合適的單位。不過(guò)值得注意的是，對(duì)于估測(cè)來(lái)說(shuō)，這里的單位指的是計(jì)量單位。根據(jù)不同的量，其計(jì)量單位并不統(tǒng)一，而是有各自的單位系統(tǒng)。例如長(zhǎng)度的單位有毫米、厘米和米等。其次在選定的單位下，根據(jù)心理參照量與待測(cè)量進(jìn)行比較，并獲得最終的估計(jì)值。(2)兩者的度量對(duì)象相同，都是有量綱的量。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，度量的內(nèi)容分布在不同領(lǐng)域，所涉及的量包括：長(zhǎng)度、角度、面積、體積(容積)、時(shí)間、貨幣(價(jià)格)、質(zhì)量，這些共同構(gòu)成了估測(cè)的對(duì)象。

(三) 估算

雷斯和貝斯特恩(Reys & Bestgen,1981)將估算定義為心算、數(shù)的概念和算術(shù)技巧之間的相互作用，且是一個(gè)快速執(zhí)行的心理過(guò)程(無(wú)需任何記錄工具)，其結(jié)果是與正確計(jì)算的結(jié)果相當(dāng)接近的答案(9)Reys R E, Bestgen B J. Teaching and Assessing Computational Estimation Skills. The Elementary School Journal, 1981, 82(2),pp. 117-127.。像估數(shù)與計(jì)數(shù)、估測(cè)與測(cè)量之間既有共性之處又存在差異，估算和精算也是這樣的一對(duì)概念。兩者均歸屬于運(yùn)算的范疇，它們最大的差異來(lái)自于本質(zhì)的不同：精算是對(duì)于數(shù)的運(yùn)算，估算是對(duì)于數(shù)量的運(yùn)算(10)史寧中：《基本概念與運(yùn)算法則 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問(wèn)題》，高等教育出版社2013年版，第32頁(yè)。。

此外，估算本身還具有以下特征：(1)估算問(wèn)題需要有實(shí)際背景。估算是對(duì)數(shù)量的運(yùn)算，而數(shù)量往往隱含著具體的背景，因此估算問(wèn)題需要有實(shí)際背景。(2)估算的條件促使估算的發(fā)生。相比于精確計(jì)算，估算往往缺乏精確計(jì)算所需的知識(shí)、時(shí)間、手段或動(dòng)機(jī)，并且有時(shí)我們必須在沒有計(jì)算器、紙和筆的情況下，在心里完成快速計(jì)算或判斷數(shù)值大小的過(guò)程。(3)估算是需要“算”的。估算有別于精算，也不同于近似計(jì)算和心算，但計(jì)算仍是其主要的組成部分。不同于近似計(jì)算，是因?yàn)楸M管兩者在計(jì)算結(jié)果上都是非準(zhǔn)確的，但一般來(lái)說(shuō)近似計(jì)算對(duì)近似值的選取有特定的法則，但估算相比來(lái)說(shuō)更開放。而心算通常指對(duì)精確數(shù)量的運(yùn)算，與估算涉及一些共同的心理加工活動(dòng)，估算可以增加心算潛能，幫助心算更好進(jìn)行。(4)估算的過(guò)程要符合推理的邏輯。很多估算問(wèn)題是為了要得到上界或下界，而如何根據(jù)這一要求對(duì)題目中的數(shù)量估大或估小，以及對(duì)估算結(jié)果進(jìn)行解釋，要考慮三者之間的邏輯關(guān)系。

二、估數(shù)、估測(cè)與估算的關(guān)系

對(duì)三個(gè)數(shù)學(xué)概念的探討發(fā)現(xiàn)，它們的內(nèi)涵豐富，且存在共性之處，三者都是一種心理加工過(guò)程，我們把估數(shù)、估測(cè)與估算的關(guān)系整理如下表：

表1 估數(shù)、估測(cè)與估算的關(guān)系

從表1我們可以看出它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，具體來(lái)說(shuō)：

(一) 從數(shù)學(xué)本質(zhì)及所屬范疇來(lái)看，三者之間是有區(qū)別的

估數(shù)和估測(cè)在本質(zhì)上都是度量，而估算的本質(zhì)在于運(yùn)算。這一闡釋在前面已有所提及，這里就不重復(fù)贅述。其次是所屬范疇，對(duì)于估數(shù)和估測(cè)來(lái)說(shuō)，它們是由于度量對(duì)象的不同而做區(qū)分的。而這一歸屬合理性的問(wèn)題需要提及人們對(duì)數(shù)和量的認(rèn)識(shí)。長(zhǎng)期以來(lái)，人們對(duì)于數(shù)和量是區(qū)別對(duì)待的，數(shù)是數(shù)出來(lái)的，量是量出來(lái)的，直到第一次數(shù)學(xué)危機(jī)出現(xiàn)(11)胡作玄：《引起紛爭(zhēng)的金蘋果 哲人科學(xué)家——康托爾》，福建教育出版社1993年版，第62頁(yè)。。隨著數(shù)系的擴(kuò)充以及對(duì)量認(rèn)識(shí)的豐富，人們意識(shí)到，能數(shù)出來(lái)的是正整數(shù)，而能量出來(lái)的是一部分基本量。結(jié)合前面對(duì)估數(shù)和估測(cè)度量對(duì)象的論述，由于其度量對(duì)象的不同，將估數(shù)歸為數(shù)的范疇，而將估測(cè)歸為量的范疇。

對(duì)于估算來(lái)說(shuō)，并不像估數(shù)和估測(cè)一樣，其本質(zhì)與所屬范疇存在直接的關(guān)聯(lián)，而是經(jīng)歷了再尋找的過(guò)程。因?yàn)殡m然估算的本質(zhì)是運(yùn)算，但運(yùn)算并非是解決估算問(wèn)題的核心所在，因此需要找到運(yùn)算的上位概念以明確其所屬范疇。估算問(wèn)題都具有實(shí)際背景，其實(shí)可以將其看作問(wèn)題解決。問(wèn)題解決的核心是提取數(shù)量關(guān)系，所以將數(shù)量關(guān)系作為其所屬范疇，反映了估算問(wèn)題的核心特點(diǎn)，而這一特點(diǎn)與估數(shù)、估測(cè)存在著質(zhì)的不同。

值得一提的是，估數(shù)和估測(cè)雖都屬于度量，但兩者的度量單位有所不同，估數(shù)的單位為計(jì)數(shù)單位，而估測(cè)的單位是計(jì)量單位。這是由于度量的對(duì)象以及單位的形成過(guò)程是不同的。一類是計(jì)數(shù)單位，通過(guò)對(duì)數(shù)的抽象得到；另一類是計(jì)量單位，借助工具得到的，如刻畫時(shí)間的“秒”，刻畫距離的“米”等(12)娜仁格日樂，史寧中：《度量單位的本質(zhì)及小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》，《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》2018年第6期，第13-16頁(yè)。。

(二) 從數(shù)學(xué)基本技能的視角來(lái)看，三者之間是相關(guān)聯(lián)的

有研究表明，估算同估數(shù)、估測(cè)相比，并不是一種獨(dú)立的單一數(shù)學(xué)技能。研究者做了一個(gè)相關(guān)的五種能力測(cè)試，包括數(shù)能力、數(shù)量推理、計(jì)算估計(jì)、測(cè)量估計(jì)、數(shù)量估計(jì)。結(jié)果表明：估測(cè)和估數(shù)能夠從一般數(shù)學(xué)能力中完全抽離出來(lái)，形成獨(dú)特的數(shù)學(xué)技能，但估算則不然，它是一般數(shù)學(xué)能力的一個(gè)組成部分(13)Hogan T P, Brezinski K L. Quantitative Estimation: One, Two, or Three Abilities?Mathematical Thinking and Learning, 2003, 5(4),pp. 259-280.。對(duì)該結(jié)果的進(jìn)一步解釋則為：估測(cè)、估數(shù)和估算同樣作為一種數(shù)學(xué)技能，但估算具有不獨(dú)立性，它與其他兩種技能存在交叉，而這種交叉體現(xiàn)心里操作層面，三者都需要計(jì)算的參與。

估數(shù)和估測(cè)有著相似的心理操作程序，即根據(jù)心理參照量與給定量進(jìn)行比較，這一過(guò)程涉及的就是計(jì)算，以數(shù)量估計(jì)的一個(gè)實(shí)例進(jìn)行具體闡釋，例如，為了估計(jì)一場(chǎng)大型運(yùn)動(dòng)會(huì)的觀眾人數(shù)，我們可能先估計(jì)一小片區(qū)域的人數(shù)作為參照量，而后數(shù)出這樣的區(qū)域數(shù)，二者的乘積即為觀眾總?cè)藬?shù)的估計(jì)值。估數(shù)和估算所涉及的計(jì)算范圍有所不同，前者是在正整數(shù)的范疇里，后者則不僅限于正整數(shù)，還包括數(shù)系擴(kuò)張后所產(chǎn)生的數(shù)，如小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)等。小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中一般僅編排和整數(shù)、小數(shù)有關(guān)的估算，且大多數(shù)都將小數(shù)的估算轉(zhuǎn)化成整數(shù)的估算，是考慮到估算的難度，而其他未涉及的數(shù)，是因?yàn)楣浪愕膹?fù)雜程度更高，小學(xué)生難以理解，因此教科書中沒有出現(xiàn)。

三、估數(shù)、估測(cè)與估算的教學(xué)思考

估數(shù)、估測(cè)和估算這些內(nèi)容的教學(xué)對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的量感，發(fā)展學(xué)生的度量意識(shí)非常重要。因此，在小數(shù)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)有意識(shí)地加以關(guān)注。下面將從以下三個(gè)視角提出教學(xué)思考，旨在為教師教學(xué)提供更廣闊的視野以及更為核心的關(guān)注，以期為教學(xué)帶來(lái)啟發(fā)。

(一) 滲透本質(zhì)思想以及注重交叉能力的培養(yǎng)

1. 注重發(fā)展學(xué)生的估計(jì)意識(shí)以及度量意識(shí)

首先，激發(fā)學(xué)生的估計(jì)意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生解決這類問(wèn)題的真需求。如上街購(gòu)物前，學(xué)生有沒有對(duì)將要購(gòu)買哪些物品、需要多少錢進(jìn)行一個(gè)大致的估算。如果學(xué)生能這樣考慮，有對(duì)價(jià)錢估算的意識(shí)，就表明學(xué)生在學(xué)估算，用估算。估算的習(xí)慣不是教出來(lái)的，而是在實(shí)踐中逐漸發(fā)展起來(lái)的，并在不斷的推斷和運(yùn)用中積累經(jīng)驗(yàn)。其次，培養(yǎng)學(xué)生度量意識(shí)，注重標(biāo)準(zhǔn)單位量以及其他參照量的感知和體驗(yàn)，并形成較為穩(wěn)固的記憶。以估測(cè)為例，如果學(xué)生能形成1平方米這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)單位的表象，在估測(cè)室內(nèi)面積時(shí)就會(huì)用此基準(zhǔn)去比較，得到合理的估測(cè)數(shù)據(jù)。而對(duì)于像長(zhǎng)度、面積和容積這樣的視覺量，很容易使用心理和身體上標(biāo)記的一些單位(如“一拃”約長(zhǎng)8厘米)，可將其發(fā)展為參照量。此外有研究表明，個(gè)體的數(shù)量估計(jì)存在很大差異，高估數(shù)量和低估數(shù)量的比例均較高(14)Dakin S C， Tibber M S， Greenwood J A， et al. A Common Visual Metric for Approximate Number and Density. Proceedings of the National Academy of Sciences, 2011, 108(49).。選擇合適的單位有利于提高估數(shù)的準(zhǔn)確度，但它受視覺信息的影響也較大，如形狀、亮度、密度、持續(xù)時(shí)間或頻率。在估計(jì)數(shù)量時(shí)，估計(jì)者并不依賴于單一的視覺線索，而是依賴于多個(gè)視覺線索(15)Gebuis T, Reynvoet B. The Role of Visual Information in Numerosity Estimation. PloS one, 2012, 7(5).。因此不僅要注重單位選擇，還要注意引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)權(quán)衡刺激中存在的不同視覺線索來(lái)估計(jì)數(shù)量。

2. 注重學(xué)生計(jì)算能力和推理能力的培養(yǎng)

計(jì)算能力是估數(shù)、估測(cè)和估算都共同需要的基本技能，因此要注重計(jì)算能力的培養(yǎng)，逐步發(fā)展學(xué)生口算、筆算和估算一體的運(yùn)算能力。計(jì)算能力的培養(yǎng)不僅要使得學(xué)生會(huì)按照算法去“算”，還要使其懂得算理，同時(shí)注意計(jì)算的練習(xí)。此外，由于估算的過(guò)程要符合推理的邏輯，因此也應(yīng)該重視該部分能力的培養(yǎng)。推理及邏輯性不僅只體現(xiàn)在估算問(wèn)題中，在數(shù)學(xué)及其他方面也分布廣泛，因此不僅可以在估算問(wèn)題中點(diǎn)撥學(xué)生，還可以在規(guī)律探索、交流表達(dá)等方面，有意識(shí)地強(qiáng)化。

3. 注重發(fā)展學(xué)生的估計(jì)策略和估計(jì)語(yǔ)言

有研究者注意到優(yōu)秀的估計(jì)者具有一套經(jīng)過(guò)良好發(fā)展并能以不同方式加以運(yùn)用的心理參照單位(16)Bright G W. Estimation as Part of Learning to Measure. National Council of Teachers of Mathematics Yearbook, 1976，38, pp.87-104.。例如在對(duì)某地的面積進(jìn)行估計(jì)時(shí)，估計(jì)者可能采用度量的方法，即對(duì)能填進(jìn)該地的單位方塊數(shù)目進(jìn)行估計(jì)；也可能使用面積公式進(jìn)行計(jì)算估計(jì)，所以應(yīng)注意發(fā)展學(xué)生的多種估計(jì)策略。此外，要注意引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)交流中使用估計(jì)的語(yǔ)言。以估算為例，要注重指導(dǎo)學(xué)生使用估算的語(yǔ)言進(jìn)行交流，像大約、接近、多(少)一些、多(少)得多、幾乎、在多少之間等，這些估算語(yǔ)言的掌握，有助于學(xué)生表達(dá)理解估算的概念。學(xué)生可以有不同的估算方法，估計(jì)結(jié)果可能值很大也可能很小，這是學(xué)生最初的估計(jì)狀態(tài)，教師要鼓勵(lì)學(xué)生用估算的語(yǔ)言多交流。大部分估算策略建立在使用接近原數(shù)比較好的數(shù)，估算的結(jié)果通常會(huì)落在一個(gè)精確答案附近的范圍內(nèi)，這些內(nèi)容的理解需要學(xué)生在討論的過(guò)程中去感知，去學(xué)會(huì)如何估算才能更合理。

(二) 梳理教科書中隱含的估數(shù)與估測(cè)內(nèi)容

估算在教科書中呈現(xiàn)比較明顯，估數(shù)與估測(cè)隱含在“數(shù)的認(rèn)識(shí)和量的認(rèn)識(shí)”內(nèi)容中。估數(shù)和估測(cè)的內(nèi)容，教科書一般表述為估計(jì)，但兩者涉及的是不同的數(shù)學(xué)技能，將兩者做區(qū)分不僅有利于教師了解學(xué)生在該技能上的掌握水平，還能夠幫助教師建立整體視野以便更好地發(fā)展學(xué)生的估計(jì)能力。下表以北師大版教科書為例，對(duì)估數(shù)和估測(cè)的內(nèi)容進(jìn)行了梳理。

通過(guò)表2發(fā)現(xiàn)，北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書從一年級(jí)下冊(cè)編寫了估計(jì)內(nèi)容，包括估數(shù)和估算。估數(shù)內(nèi)容主要分布在一下、二下、四上和六下，也就是從一年級(jí)到六年均有涉及，但不是連續(xù)性的。隨著年級(jí)的升高，估數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)難度呈螺旋上升的趨勢(shì)，因?yàn)楣罃?shù)不僅是要靠直覺估計(jì)，更重要的是選擇合適的單位，這是難點(diǎn)，也涉及估計(jì)合理性的問(wèn)題。即使是第一次接觸估數(shù)，也要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行單位的選擇，逐步積累估計(jì)的經(jīng)驗(yàn)。進(jìn)而讓學(xué)生理解估數(shù)不能胡亂地去估，也不是任意猜數(shù)，要先找到估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)，然后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)再去估，這樣得到的數(shù)才會(huì)更接近真實(shí)情境的數(shù)。在這個(gè)過(guò)程中，可以發(fā)展學(xué)生的估計(jì)意識(shí)和習(xí)慣，體驗(yàn)數(shù)與生活實(shí)際的聯(lián)系。

表2 小學(xué)數(shù)學(xué)(北師版)教科書估數(shù)與估測(cè)內(nèi)容分布

估測(cè)內(nèi)容從二年級(jí)學(xué)習(xí)長(zhǎng)度內(nèi)容開始，各個(gè)年級(jí)連續(xù)分布，范圍比較廣泛，主要融入在圖形與幾何領(lǐng)域，較為明顯地體現(xiàn)在一維到二維再到三維空間的轉(zhuǎn)變上。估測(cè)是不使用測(cè)量工具，而使用心算和視覺進(jìn)行測(cè)量與對(duì)比，是日常生活的實(shí)用技能，因此教科書上提供了豐富的估測(cè)學(xué)習(xí)資源，這些學(xué)習(xí)資源不僅僅是課堂學(xué)習(xí)用，更重要的是讓學(xué)生參與這些測(cè)量活動(dòng)，幫助其去注意測(cè)量的屬性，了解如何使用估測(cè)中的參照標(biāo)準(zhǔn)，獲得發(fā)展常用標(biāo)準(zhǔn)單位的體驗(yàn)。讓學(xué)生做大量的估測(cè)活動(dòng)，不僅能使學(xué)生積累估測(cè)的經(jīng)驗(yàn)，還能發(fā)展學(xué)生的生活技能。

(三) 把估測(cè)、估數(shù)與估算內(nèi)容融入學(xué)業(yè)評(píng)估

從1963年《全日制小學(xué)算術(shù)教學(xué)大綱(草案)》到新修訂的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》，估算越來(lái)越受到重視。但在教育教學(xué)實(shí)踐中，估計(jì)內(nèi)容的學(xué)習(xí)存在較多問(wèn)題，除上述探討的學(xué)生估算意識(shí)未形成的因素外，另一個(gè)重要的原因是它們?cè)诩埞P測(cè)驗(yàn)中出現(xiàn)的較少，這容易造成一種它們不重要的錯(cuò)覺。而紙筆測(cè)驗(yàn)中這部分內(nèi)容的缺失影響了教師的重視程度，理論上教師認(rèn)同這部分內(nèi)容對(duì)于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)能力很重要，而實(shí)際教學(xué)中關(guān)注程度卻比較低。因而應(yīng)有意識(shí)地把估測(cè)、估數(shù)與估算內(nèi)容融入紙筆測(cè)驗(yàn)。估測(cè)、估數(shù)與估算融入紙筆測(cè)驗(yàn)在小學(xué)階段有可以操作的空間，關(guān)鍵是要改變觀念，即考試題的答案必須唯一且精準(zhǔn)，當(dāng)然，如果融入紙筆測(cè)驗(yàn)還要考慮一些題目如何設(shè)計(jì)。例如以下的樣例題目可以融入紙筆測(cè)驗(yàn)：

估數(shù)任意給一個(gè)場(chǎng)景或物體的圖片讓學(xué)生估數(shù),比如出示一個(gè)體育場(chǎng)館的圖片,讓學(xué)生估一估能坐多少人?也可以問(wèn)一本新華字典大約( )頁(yè)?還可以選取新聞信息,估一估大約有多少個(gè)字?估測(cè)估測(cè)內(nèi)容的問(wèn)題可以更加多樣,比如給出圖片,估一個(gè)樹葉的面積有多大?還可設(shè)計(jì)這樣的問(wèn)題:估出你的一拃、一步大約各是多少厘米?一庹大約比1米長(zhǎng)多少厘米?估算課程標(biāo)準(zhǔn)也提供了經(jīng)典的估算樣例:“李阿姨去商店購(gòu)物,帶了100元,她買了兩袋面,每袋30.4元;又買了一塊牛肉,用了19.4元。她還想買一條魚,大一些的每條25.2元,小一些的每條15.8元。請(qǐng)幫助李阿姨估算一下,她帶的錢夠不夠買小魚?能不能買大魚?”

另外，從對(duì)學(xué)生的學(xué)業(yè)評(píng)估看，估測(cè)、估數(shù)與估算內(nèi)容除了融入紙筆測(cè)驗(yàn)，還可以采用口頭測(cè)試的方式，特別是考察低年級(jí)學(xué)生對(duì)估數(shù)和估測(cè)內(nèi)容的理解，不僅讓學(xué)生說(shuō)出估計(jì)的結(jié)果，還可以讓其表達(dá)估計(jì)的策略和方法。也可以設(shè)計(jì)估數(shù)、估測(cè)和估算的綜合實(shí)踐活動(dòng)，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)日記的形式記錄過(guò)程，這些對(duì)學(xué)生度量意識(shí)的培養(yǎng)和估算能力的提高都是有益的，能促進(jìn)學(xué)生發(fā)展量感。