學(xué)生數(shù)學(xué)有序思維的培養(yǎng)探析

張燕美

[摘 要]數(shù)學(xué)思維是學(xué)生思維中的重要組成部分，有序思維則是數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的獨特體現(xiàn)。教師在教學(xué)預(yù)設(shè)時立足“序”，在操作活動中抓住“序”，在鞏固拓展中體現(xiàn)“序”，可讓學(xué)生在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中構(gòu)建“序”，在知識結(jié)構(gòu)中生長“序”，在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中推進(jìn)“序”，在思想結(jié)構(gòu)中拓展“序”。

[關(guān)鍵詞]小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)思維;有序思維

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2022）11-0081-03

現(xiàn)代數(shù)學(xué)與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)有著本質(zhì)的區(qū)別，現(xiàn)代數(shù)學(xué)著重在教學(xué)過程中發(fā)展學(xué)生的思維，其中，學(xué)生思維方法的掌握是重中之重。有序思維是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心，本文提出有序思維的培養(yǎng)意在通過探究學(xué)生思維中的“序”，找尋更科學(xué)的發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的方式。

一、關(guān)于數(shù)學(xué)有序思維的部分闡述

有序思維，即解題有方法，思考有條理，是學(xué)生能夠按照既定的思維范式，遵循一定的邏輯順序，科學(xué)地選擇并運用已形成的數(shù)學(xué)思想方法去觀察、思考、解決數(shù)學(xué)問題的一種綜合性的思維方式。

1.有序思維的意義

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對小學(xué)階段學(xué)生的有序思維提出了基本要求——能進(jìn)行有條理的思考。由此可見，有序思維的培養(yǎng)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的要求。

我們知道，數(shù)學(xué)知識的發(fā)生及發(fā)展是有著其獨特的順序的。在教學(xué)過程中，我們要關(guān)注小學(xué)數(shù)學(xué)教材的編排體系，了解小學(xué)數(shù)學(xué)知識的前后聯(lián)系，如此才能在教學(xué)時有的放矢，讓學(xué)生充分經(jīng)歷知識的獲得過程。有序思維的培養(yǎng)是兒童認(rèn)知發(fā)展的需求，數(shù)學(xué)學(xué)科則是訓(xùn)練有序思維、構(gòu)建有序思維的優(yōu)秀平臺。小學(xué)階段如果能形成有序思維，學(xué)生就可以更科學(xué)、更系統(tǒng)、更高效地發(fā)展數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。同時，數(shù)學(xué)高階思維的培養(yǎng)離不開有序思維。有了有序思維，學(xué)生的思維才能由單一性變?yōu)槎嗝嫘?，由低階轉(zhuǎn)為高階，由記憶、理解、應(yīng)用升級為分析、綜合、評價和創(chuàng)造等，從而探究復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識。

2.有序思維的特征

有序思維表現(xiàn)出四種基本的特征。

（1）程序性。思維的程序性表現(xiàn)為引導(dǎo)學(xué)生的思維由淺入深、由易到繁的過程。

（2）邏輯性。思維的邏輯性表現(xiàn)為在思維的形式、方法和過程中有理有據(jù)、有條不紊、層次鮮明、前后一致。如在“眾數(shù)”的教學(xué)中，筆者將例題的情境改為賣衣服：“觀察某品牌衣服的尺碼銷售圖（圖略），找出服裝店老板下一次應(yīng)進(jìn)貨最多的尺碼?！痹诮?jīng)過小組討論后，有學(xué)生提出選“中位數(shù)100”作為進(jìn)貨最多的尺碼，有學(xué)生選平均數(shù)105，還有學(xué)生選120（因為該尺碼賣出的最多，說明該身材的人最多）……在這個知識生長點上，學(xué)生的思維變得更有邏輯性。

（3）合理性。思維的合理性表現(xiàn)為嚴(yán)密的邏輯、正確的結(jié)論。具有合理性思維的學(xué)生，會用“言必有據(jù)”取代“以偏概全”“想當(dāng)然”，運算和推理的每一步都有充分的理由。

（4）靈活性。思維的靈活性表現(xiàn)為對思維對象進(jìn)行全面的辯證評估，提出更符合實際情況的思維方法。如在計算[12]+[14]+[18]+[116]+[132]時，有的學(xué)生運用“通分”的方法，有的學(xué)生運用畫圖的策略，還有的學(xué)生運用“轉(zhuǎn)化”的途徑。

二、關(guān)于數(shù)學(xué)有序思維的培養(yǎng)途徑

“數(shù)學(xué)是思維的體操?！痹谛W(xué)數(shù)學(xué)課堂中，教師要注重有序思維的培養(yǎng)，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不斷提升。

1.在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中構(gòu)建

數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，即學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)知識是通過自己理解的廣度和深度，再結(jié)合自身的感知、思維等特征所形成的具有獨特的內(nèi)部規(guī)律的整體架構(gòu)。兒童的認(rèn)知發(fā)展具有階段性和順序性，教師要善于利用這種階段性和順序性，準(zhǔn)確把握兒童的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，開展有序思維的訓(xùn)練。

小學(xué)數(shù)學(xué)教材將“認(rèn)識分?jǐn)?shù)”的知識進(jìn)行了三個層次的編排：第一層次在三年級上冊，設(shè)立的學(xué)習(xí)目標(biāo)是在情境中初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)，會讀寫分?jǐn)?shù)及其對應(yīng)的小數(shù)，理解具體分?jǐn)?shù)在不同情境中的意義;第二層次在三年級下冊，設(shè)立的學(xué)習(xí)目標(biāo)為進(jìn)一步認(rèn)識與探索分?jǐn)?shù)和小數(shù)之間的關(guān)系，并能熟練進(jìn)行分?jǐn)?shù)和小數(shù)的轉(zhuǎn)化;第三層次在五年級，設(shè)立的學(xué)習(xí)目標(biāo)為建立單位“1”的概念，完善分?jǐn)?shù)的意義，認(rèn)識真假分?jǐn)?shù)，熟練轉(zhuǎn)化分?jǐn)?shù)與除法、分?jǐn)?shù)與小數(shù)。三個層次的目標(biāo)各不相同、各有側(cè)重，三個層次的例題編排都遵循從直觀到抽象、從過程到結(jié)果的規(guī)律。教師要進(jìn)行有序的解讀，讓學(xué)生對分?jǐn)?shù)知識不斷重構(gòu)。如教學(xué)五年級的“認(rèn)識分?jǐn)?shù)”時，筆者著重研究學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，了解他們已有的知識儲備和知識結(jié)構(gòu)，確定三個教學(xué)程序。

（1）體會，在觀察與對比中。讓學(xué)生自學(xué)例題，并給他們提出自學(xué)要求。

①說一說：每個圖形中的[14]表示把（? ? ）看作一個整體，平均分成了（? ? ）份，涂色部分表示這樣的（? ? ）份。

②比一比：每個圖形中的異同。

通過對這兩個問題的探究，學(xué)生明白了“一個物體”或者“一些物體”都可以看作一個整體。

（2）設(shè)計，在思考與操作中。單位“1”的概念必須建立在“有序”的操作中。對此，筆者設(shè)計了“創(chuàng)造分?jǐn)?shù)”的展示活動，讓學(xué)生自己創(chuàng)造一個分?jǐn)?shù)，并介紹自己的創(chuàng)造過程，最后筆者將學(xué)生展示的分?jǐn)?shù)按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類。將抽象的概念變成具體的圖形，不僅易于學(xué)生理解，還促進(jìn)了他們有序思維的發(fā)展。

（3）鞏固，在表達(dá)與訓(xùn)練中。表達(dá)是思維的載體。數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力的培養(yǎng)實質(zhì)是學(xué)生分析問題與解決問題的能力的培養(yǎng)。在實際教學(xué)中，我們應(yīng)該堅持在表達(dá)與訓(xùn)練中鞏固學(xué)生“有序”的數(shù)學(xué)思維，以便更有效地培養(yǎng)學(xué)生思維的準(zhǔn)確性、邏輯性。如筆者在學(xué)生掌握了分?jǐn)?shù)的完整概念之后安排鞏固階段，設(shè)計的練習(xí)不再局限于某個分?jǐn)?shù)的運用訓(xùn)練，而是注重分?jǐn)?shù)在具體情境中的意義表述，尤其是抓住“單位1”“平均分”等關(guān)鍵詞進(jìn)行設(shè)計。

2.在知識結(jié)構(gòu)中生長

數(shù)學(xué)知識是有序的，但數(shù)學(xué)知識被分割成一個個知識點分散在教材中。作為小學(xué)數(shù)學(xué)教師，我們要對相同知識、相近知識、相鄰知識進(jìn)行系統(tǒng)梳理，從知識的板塊入手進(jìn)行概括直至形成框架，提高學(xué)生的結(jié)構(gòu)化意識。同時，教師關(guān)注數(shù)學(xué)知識間的邏輯順序和邏輯結(jié)構(gòu)，既可以幫助自己調(diào)整教學(xué)目標(biāo)、重難點的定位，又可以幫助學(xué)生轉(zhuǎn)變思維。

例如，在六年級數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)“數(shù)的運算”中，可以引導(dǎo)學(xué)生勾畫思維導(dǎo)圖（圖略），梳理出“數(shù)的運算”的五個主干——口算、估算、筆算的計算方法，計算工具，整數(shù)混合運算，分?jǐn)?shù)混合運算和小數(shù)混合運算，最后從每個主干中延伸出若干分支。

（1）在思維導(dǎo)圖中完善?！皵?shù)形結(jié)合百般好。”思維導(dǎo)圖能使各數(shù)學(xué)知識點之間的并聯(lián)關(guān)系、串聯(lián)關(guān)系以及從屬關(guān)系一目了然。思維導(dǎo)圖中的五大主干成為五個研究中心，并由此向外延伸出數(shù)百個知識點，每個知識點又與中心遙相呼應(yīng)。點與點之間的聯(lián)系增強了學(xué)生的立體思維能力，體現(xiàn)出思維的層次性和聯(lián)想性。這些點就像放射狀的立體化神經(jīng)元，構(gòu)成了學(xué)生的數(shù)學(xué)知識寶庫。

（2）在思維框架中明晰。引導(dǎo)學(xué)生完善思維導(dǎo)圖就是在引導(dǎo)學(xué)生對思維框架進(jìn)行架構(gòu)，讓看似復(fù)雜的知識點都緊緊地圍繞著“數(shù)的四則運算”和“有序解決方法”的目標(biāo)，便于學(xué)生對數(shù)學(xué)經(jīng)驗進(jìn)行提取，豐富他們的體驗，形成有序的思維框架。

（3）在有序之美中展現(xiàn)。從中心點“數(shù)的運算”向四面八方伸展，“枝干”由粗到細(xì)，形成線條分明的板塊，構(gòu)成了一幅多角度的數(shù)學(xué)思維導(dǎo)圖。對照這樣的思維導(dǎo)圖，學(xué)生在復(fù)習(xí)中能專注從計算方法上去研究整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)之間的口算、估算和筆算，形成有序的數(shù)學(xué)思維。

3.在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中推進(jìn)

設(shè)計有效的數(shù)學(xué)問題可以引導(dǎo)學(xué)生主動思考。小學(xué)階段的數(shù)學(xué)知識環(huán)環(huán)相扣，在看不見的主線的串聯(lián)下，于課堂中采用問題串，把相似的或相同的板塊內(nèi)容鏈接起來，推進(jìn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，最終建立起全面的認(rèn)知體系，從而加速學(xué)生有序思維的培養(yǎng)進(jìn)程。

（1）啟發(fā)式?！皢栴}是探索的動力?！比魏沃R的增長與科學(xué)的進(jìn)步離不開問題的提出。

例如，在教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的計算法則后，筆者設(shè)計了一道思考題：□□×□□=1200。并提出3個啟發(fā)式的問題。

①認(rèn)真觀察，在小組內(nèi)交流你的填法。

②在小組內(nèi)比較各填法的異同。

③如何不重復(fù)、不遺漏地寫出所有的可能？

啟發(fā)式的問題使小組內(nèi)的成員在分享中建構(gòu)有序的思維，填出所有的可能，從而感受到合作帶來的成就感。

（2）類推式。類推即比照某一事物的某個屬性或某種特征，推測出跟它同類的其他事物的屬性或特征。在類推式的問題串中，學(xué)生掌握了一定的研究思路，積累了此類問題的解決經(jīng)驗后，數(shù)學(xué)思維就會由特殊轉(zhuǎn)向一般。

例如，在活動課“探究圖形的規(guī)律”中（見下圖），筆者采用類推式的問題串讓學(xué)生感悟“當(dāng)掌握了某個問題的解決方法時，此類問題我們也能順利解決”。

在研究的過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)擺1個正方形需要4根小棒，以后每增加1個正方形就增加3根小棒，有三個解決方法：①4+（100-1）×3;②1+100×3;③100×4-99（100個正方形中有99根是共用的，需減去）。此時，筆者提出類推式的問題：“照這樣，擺1000個正方形需要多少根小棒？照這樣，擺n個正方形需要多少根小棒？”學(xué)習(xí)能力強的學(xué)生會總結(jié)出“1+3n”的表達(dá)式。筆者接著提出：“如果把題目改成‘照這樣，擺n個三角形需要多少根小棒？擺n個正五邊形和擺n個正六邊形分別需要多少根小棒？’呢？”在舉一反三的問題中，筆者由“一個問題”轉(zhuǎn)為“一類問題”，將數(shù)學(xué)思想從特殊轉(zhuǎn)向一般，從淺顯邁向縱深。

4.在思想結(jié)構(gòu)中拓展

數(shù)學(xué)思想，即人們將現(xiàn)實世界的數(shù)學(xué)關(guān)系或數(shù)學(xué)理論通過思維活動在意識中的反應(yīng)結(jié)果，它不同于數(shù)學(xué)的解題思想和方法。數(shù)學(xué)思想貫穿小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，為學(xué)生的數(shù)學(xué)知識、技能和素養(yǎng)的生長提供能量。筆者以“多邊形的面積”系列教學(xué)為例，從兩個方面滲透數(shù)學(xué)思想。

（1）數(shù)形結(jié)合。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開數(shù)形結(jié)合，尤其是平面圖形的探究。在“平行四邊形的面積”的鞏固環(huán)節(jié)，筆者設(shè)計一個問題：“一個平行四邊形相鄰兩條邊的長分別是3厘米和5厘米，高是4厘米，該平行四邊形的面積是多少？應(yīng)該用哪個數(shù)據(jù)做底呢？”筆者鼓勵學(xué)生在給出的平行四邊形（已經(jīng)標(biāo)注相鄰的邊的長度）中畫高，學(xué)生通過操作、反思和推理快速找出4厘米的高對應(yīng)的底。正是給思維插上數(shù)形結(jié)合的“翅膀”，學(xué)生才能在知識的高空中翱翔，幫助學(xué)生降低了解決問題的難度，加速了思考的過程，正所謂“一圖開路，思路皆來”。

（2）立足建模。建模思想是數(shù)學(xué)思想的核心之一，它是指人們在解決問題的過程中先逐步形成解決模式并建立數(shù)學(xué)模型，再通過數(shù)學(xué)模型去解決實際問題。在對已知信息的分析、處理與加工中，找出它們的出處和原型，有利于學(xué)生舉一反三、觸類旁通。在探究完長方形、正方形、平行四邊形的面積之后，學(xué)生逐步建立起“猜想→驗證→結(jié)論”的平面（立體）圖形探究程式，在剪、移、拼、思、遷移中將平行四邊形轉(zhuǎn)化為面積相等的長方形，形成基本的模型，從而為以后探究三角形、梯形、圓等圖形的面積打下堅實的基礎(chǔ)，厘清數(shù)學(xué)思維的脈絡(luò)。

綜上所述，有序思維既能調(diào)動學(xué)生主動思考的興趣，又能激發(fā)創(chuàng)新思維。教師應(yīng)抓住學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的規(guī)律，結(jié)合數(shù)學(xué)知識螺旋上升、循序漸進(jìn)的特征，充分認(rèn)識有序思維的價值，合理地、高效地發(fā)揮小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)科特點，探究有序思維的培養(yǎng)策略、培養(yǎng)方式和培養(yǎng)途徑，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的不斷豐盈。

（責(zé)編 覃小慧）