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    略談數(shù)學(xué)眼光及其培養(yǎng)

    2022-06-23 00:48:36李樹(shù)臣
    關(guān)鍵詞:抽象能力幾何直觀空間觀念

    李樹(shù)臣

    摘要:作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的構(gòu)成,“三會(huì)”是數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)。其中,數(shù)學(xué)眼光是生發(fā)于數(shù)學(xué)學(xué)科特性視角的一種思考,關(guān)注的是“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”的內(nèi)涵,彰顯的是“思想材料的形式化抽象”的特點(diǎn),主要就是在現(xiàn)實(shí)與數(shù)學(xué)之間進(jìn)行的思維切換。根據(jù)數(shù)學(xué)眼光的主要表現(xiàn),其培養(yǎng)可以有側(cè)重地從四個(gè)維度展開(kāi):增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí),發(fā)展空間觀念,重視幾何直觀,提升抽象能力。

    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)眼光;創(chuàng)新意識(shí);空間觀念;幾何直觀;抽象能力

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》明確將“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”(統(tǒng)稱“三會(huì)”,分別簡(jiǎn)稱“數(shù)學(xué)眼光”“數(shù)學(xué)思維”“數(shù)學(xué)語(yǔ)言”)作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的構(gòu)成,并做了比較詳細(xì)的解釋——相比之下,《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》只是提出“三會(huì)”,并沒(méi)有解釋它(包括它與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)系)。作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的構(gòu)成,“三會(huì)”是數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)。本文談?wù)劰P者對(duì)數(shù)學(xué)眼光及其培養(yǎng)的認(rèn)識(shí)與思考。

    一、對(duì)數(shù)學(xué)眼光的一些認(rèn)識(shí)

    觀察是人們認(rèn)識(shí)世界、獲取知識(shí)的重要途徑,也是科學(xué)研究的重要方法。巴甫洛夫告誡學(xué)生“不學(xué)會(huì)觀察,你就永遠(yuǎn)當(dāng)不了科學(xué)家”,并把“觀察、觀察、再觀察”作為自己的座右銘。觀察是通過(guò)“看”和“思考”進(jìn)行的,觀察是科學(xué)研究中的一個(gè)基本方法,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著重要的方法論意義。

    數(shù)學(xué)眼光是生發(fā)于數(shù)學(xué)學(xué)科特性視角的一種思考,關(guān)注的是“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”的內(nèi)涵,彰顯的是“思想材料的形式化抽象”的特點(diǎn),主要就是在現(xiàn)實(shí)與數(shù)學(xué)之間進(jìn)行的思維切換。胡晉賓,劉洪璐.數(shù)學(xué)眼光的內(nèi)涵及培養(yǎng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2021(2):1720。

    具有數(shù)學(xué)眼光的人在面臨現(xiàn)實(shí)情境時(shí),通過(guò)觀察、分析、思考等活動(dòng)能透過(guò)事物的表面現(xiàn)象抽象出相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí);而一旦提到某個(gè)具體的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí),也會(huì)自動(dòng)地想到現(xiàn)實(shí)中的具體案例。胡晉賓,劉洪璐.數(shù)學(xué)眼光的內(nèi)涵及培養(yǎng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2021(2):1720。

    例1今有兩個(gè)容量為100 mL的酒杯,分別盛有50 mL白酒和50 mL紅酒。從白酒杯中用10 mL的取酒勺取一勺倒入紅酒杯中(第一次動(dòng)作),使之充分混合,然后從紅酒杯中取一勺混合酒倒入白酒杯中(第二次動(dòng)作)。請(qǐng)問(wèn):白酒杯中所含的紅酒與紅酒杯中所含的白酒一樣多嗎?為什么?

    這是筆者在學(xué)生學(xué)習(xí)了分式的知識(shí)后設(shè)計(jì)的一個(gè)問(wèn)題。對(duì)此,很多學(xué)生嘗試?yán)梅质降闹R(shí),通過(guò)計(jì)算加以比較:第一次動(dòng)作后,白酒杯中含白酒40 mL,紅酒杯中含紅酒50 mL、白酒10 mL;第二次動(dòng)作后……計(jì)算遇到了困難。實(shí)際上,這個(gè)問(wèn)題雖然通過(guò)計(jì)算完全能夠給出判斷,但是,解答過(guò)程涉及“溶液、溶質(zhì)、濃度”等初三化學(xué)知識(shí),而且計(jì)算過(guò)程比較復(fù)雜。

    教學(xué)中,筆者設(shè)計(jì)了以下子問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生理解問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。

    (1)第二次動(dòng)作后,兩個(gè)杯子里都是混合酒,各有多少?

    (2)白酒杯中含有的白酒還是50 mL嗎?少的白酒哪里去了?

    (3)白酒杯中多的紅酒是哪里來(lái)的?

    (4)白酒杯中少的白酒和多的紅酒,從量上看一樣嗎?

    學(xué)生圍繞這四個(gè)子問(wèn)題,通過(guò)分析、思考、討論、交流發(fā)現(xiàn),“最后白酒杯中所含的紅酒數(shù)量等于紅酒杯中所含的白酒數(shù)量,因?yàn)?,兩個(gè)酒杯中酒的總量不變,某個(gè)酒杯中少了的酒被另一個(gè)酒杯中少了的酒填上”。發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論(數(shù)量關(guān)系或數(shù)學(xué)模型)是思辨的結(jié)果,而不是用算法得到的程嶸,練冬蘭,廖運(yùn)章.高中生解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題策略及表征偏向的調(diào)查研究[J].教育研究與評(píng)論(中學(xué)教育教學(xué)),2018(7):4148。,需要具有敏銳的數(shù)學(xué)眼光:以整體、抽象(可輔以直觀、形象)的新視角看到復(fù)雜變化中的簡(jiǎn)單不變(問(wèn)題的本質(zhì))。

    進(jìn)一步地,我們不妨用斯托利亞爾和弗賴登塔爾的理論來(lái)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)眼光。斯托利亞爾認(rèn)為,“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)”,并且指出數(shù)學(xué)活動(dòng)可以分為三個(gè)階段:“第一,經(jīng)驗(yàn)材料的數(shù)學(xué)組織化;第二,數(shù)學(xué)材料的邏輯組織化;第三,數(shù)學(xué)理論的應(yīng)用?!盇.A.斯托利亞爾.數(shù)學(xué)教育學(xué)[M].丁爾陞,等譯.北京:人民教育出版社,1984:7。弗賴登塔爾認(rèn)為,“數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實(shí)世界的過(guò)程就是數(shù)學(xué)化”弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].陳昌平,唐瑞芬,等編譯.上海:上海教育出版社,1995:1。,并且指出數(shù)學(xué)化可分為橫向(水平的)數(shù)學(xué)化和縱向(垂直的)數(shù)學(xué)化兩個(gè)層次,橫向數(shù)學(xué)化關(guān)注生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系(包括從現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)知識(shí)、從數(shù)學(xué)知識(shí)到實(shí)際問(wèn)題),縱向數(shù)學(xué)化關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部的遷移與調(diào)整(從數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué))。數(shù)學(xué)眼光主要發(fā)生在橫向數(shù)學(xué)化這個(gè)層次(或者數(shù)學(xué)活動(dòng)的第一個(gè)階段)。一個(gè)人的數(shù)學(xué)眼光與其具有的知識(shí)技能、積累的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)以及聯(lián)系實(shí)際的意識(shí)與能力等因素有關(guān)。具有數(shù)學(xué)眼光的人,在經(jīng)歷這個(gè)層次的過(guò)程中形成了數(shù)學(xué)概念、法則、定理、規(guī)律,以及為解決實(shí)際問(wèn)題而構(gòu)造了數(shù)學(xué)模型等。

    二、對(duì)培養(yǎng)數(shù)學(xué)眼光的幾點(diǎn)思考

    作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的構(gòu)成,數(shù)學(xué)眼光主要表現(xiàn)為創(chuàng)新意識(shí)、空間觀念、幾何直觀與抽象能力。中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)[S].北京:北京師范大學(xué)出版社,2022:5。它們之間并不是完全獨(dú)立的,有一定的交叉,尤其是創(chuàng)新意識(shí)和其他三種表現(xiàn)。因此,數(shù)學(xué)眼光的培養(yǎng)可以有側(cè)重地從以下四個(gè)維度展開(kāi)。

    (一)增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)

    創(chuàng)新意識(shí)主要是數(shù)學(xué)眼光靈活、獨(dú)到的表現(xiàn)。具有創(chuàng)新意識(shí)的人,往往思路開(kāi)闊、富于聯(lián)想,具有較強(qiáng)的直覺(jué)思維、發(fā)散思維能力,并且能夠獨(dú)立思考,敢于質(zhì)疑問(wèn)難。教學(xué)中,應(yīng)該精選一些非常規(guī)問(wèn)題、開(kāi)放性問(wèn)題,鼓勵(lì)、引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、思考、聯(lián)想、猜測(cè)等活動(dòng),在活動(dòng)過(guò)程中打破常規(guī),從新的角度或方向大膽探索,從而逐步學(xué)會(huì)把已知知識(shí)、方法廣泛、迅速地遷移,靈活、變通地運(yùn)用到新情境中去。久而久之,學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)將會(huì)得到增強(qiáng),并逐步發(fā)展成為“數(shù)學(xué)慧眼”。

    顯然,上述例1可以增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。這里再舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子。

    例2解方程x+1+x-1+|2x-3|=0。

    這是筆者在學(xué)生學(xué)習(xí)了算術(shù)平方根的知識(shí)后設(shè)計(jì)的一道題目。此題不需要通過(guò)計(jì)算來(lái)解答,而是可以打破解方程的常規(guī),從算術(shù)平方根和絕對(duì)值的性質(zhì)的角度迅速作出無(wú)解的判斷。

    (二)發(fā)展空間觀念

    空間觀念主要是指對(duì)空間物體或圖形的形狀、大小及位置關(guān)系的認(rèn)識(shí);有助于理解現(xiàn)實(shí)生活空間物體的形態(tài)、結(jié)構(gòu)及運(yùn)動(dòng)變化,是幾何直觀的基礎(chǔ),也是形成空間想象能力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)??臻g觀念實(shí)際上是一種“形感”,是數(shù)學(xué)眼光形象、可感的表現(xiàn)。圖形與幾何領(lǐng)域的知識(shí)大多是發(fā)展學(xué)生空間觀念的載體。教學(xué)中,應(yīng)該精心設(shè)計(jì)問(wèn)題情境,引導(dǎo)學(xué)生在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理等過(guò)程中,從感性到理性,完成對(duì)圖形與幾何領(lǐng)域概念與性質(zhì)的感受、發(fā)現(xiàn)與梳理、總結(jié)。

    例如,學(xué)生學(xué)習(xí)“正方體的展開(kāi)圖”時(shí)普遍感到困難,其根本原因在于空間觀念弱。對(duì)此,我們?cè)O(shè)計(jì)了系列學(xué)習(xí)活動(dòng),引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“實(shí)驗(yàn)探究—交流發(fā)現(xiàn)—?dú)w類總結(jié)”的過(guò)程,系統(tǒng)掌握正方體的各種展開(kāi)圖,充分發(fā)展空間觀念。

    活動(dòng)1觀察正方體紙盒有幾條棱,沿著其中的一些棱剪開(kāi),將正方體展開(kāi)成平面圖形(保證六個(gè)面通過(guò)未剪開(kāi)的棱連在一起)。

    活動(dòng)2組內(nèi)交流共有幾種不同的展開(kāi)圖,各組長(zhǎng)依次把本組內(nèi)不同的展開(kāi)圖用膠帶貼在黑板上(與前面小組已有的展開(kāi)圖重復(fù)的,就不要再貼了)。

    活動(dòng)3觀察黑板上不同的展開(kāi)圖,思考有沒(méi)有重復(fù)和遺漏;如果沒(méi)有重復(fù)和遺漏,請(qǐng)將這些展開(kāi)圖歸歸類。

    通過(guò)上述活動(dòng),在教師的引導(dǎo)下,學(xué)生梳理、總結(jié)出正方體的展開(kāi)圖共有11種情況,可以分為4種類型:(1)“一四一”型,如圖1—圖6所示;(2)“一二三”型,如圖7—圖9所示;(3)“二二二”型,如圖10所示;(3)“三三”型,如圖11所示。

    例34個(gè)半徑為1厘米的等圓的位置如圖12所示,其中陰影部分酷似一個(gè)花瓶的縱截面(不妨稱其為花瓶形)。你會(huì)計(jì)算花瓶形的面積嗎?

    這是青島版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)在“36 弧長(zhǎng)及扇形面積的計(jì)算”后設(shè)置的一個(gè)閱讀材料中的問(wèn)題。此題以四個(gè)等圓按正方形的四個(gè)頂點(diǎn)“密鋪”為背景,考查學(xué)生將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形來(lái)計(jì)算面積的能力。解此題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)“密鋪”的空隙圖形與一個(gè)圓的分割組合關(guān)系,能夠很好地發(fā)展學(xué)生的空間觀念,啟發(fā)學(xué)生的思維。同時(shí),圖形設(shè)計(jì)精巧,可使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的對(duì)稱、和諧美。此外,解題方法具有開(kāi)放性、多樣性,可以增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

    教學(xué)中,可以引導(dǎo)學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理、計(jì)算,從而(至少)得到以下四種解法:

    (1)如圖13,將花瓶形的下部(圓)沿著相互垂直的兩條直徑剪成4塊(剪下3塊),拼到上部(空隙圖形)的四周,可以拼成正方形。易知拼成的正方形的邊長(zhǎng)等于圓的直徑,即2 cm,所以花瓶形的面積為2×2=4(cm2)。

    (2)如圖14,將花瓶形的上部(空隙圖形)沿著相互垂直的兩條對(duì)稱軸剪成4塊(剪下3塊),拼到下部(圓)的四周,可以拼成正方形。易知拼成的正方形的邊長(zhǎng)等于圓的直徑,即2 cm,所以花瓶形的面積為2×2=4(cm2)。

    (3)如圖15,將花瓶形的下部和上部分別沿著各自的一條對(duì)稱軸(這兩條對(duì)稱軸相互垂直)剪成3塊,也能拼成正方形。易知拼成的正方形的邊長(zhǎng)等于圓的直徑,即2 cm,所以花瓶形的面積為2×2=4(cm2)。

    (4)如圖16,將花瓶形的下部(圓)沿著內(nèi)接正方形的邊剪成4塊(剪下3塊),拼到上部(空隙圖形)的四周,可以得到長(zhǎng)方形。該長(zhǎng)方形的寬為2 cm,長(zhǎng)為22 cm,所以面積為22×2=4(cm2)。

    (三)重視幾何直觀

    幾何直觀主要是指運(yùn)用圖表描述和分析問(wèn)題的意識(shí)和習(xí)慣,包括:感知各種幾何圖形及其組成元素,依據(jù)圖形的特征分類;依據(jù)語(yǔ)言描述畫(huà)出相應(yīng)的圖形,分析圖形的性質(zhì);建立數(shù)與形的聯(lián)系,構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型;利用圖表分析實(shí)際情境與數(shù)學(xué)問(wèn)題,探索解決問(wèn)題的思路。幾何直觀有助于把握問(wèn)題的本質(zhì),明晰思維的路徑。教學(xué)中,應(yīng)創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境,引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)物中抽象出圖形,或根據(jù)語(yǔ)言描述畫(huà)出圖形,尤其是利用坐標(biāo)思想或幾何意義將一些代數(shù)條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形,并分析圖形特征與性質(zhì)(包括其基本元素或其中基本圖形的關(guān)系),用它解決問(wèn)題。孫紅強(qiáng).圖形:培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)的關(guān)鍵要素[J].教育研究與評(píng)論(中學(xué)教育教學(xué)),2020(3):5053。

    例4兩人相繼在一張圓桌上擺放一枚同樣大小的硬幣(兩人手中都有足夠多的硬幣),誰(shuí)放下最后一枚而使對(duì)方?jīng)]有地方再放,誰(shuí)就獲勝。試問(wèn):是先放者獲勝還是后放者獲勝?怎樣才能穩(wěn)操勝券?

    本題以“在圓桌上擺放硬幣”的游戲?yàn)楸尘?,考查學(xué)生對(duì)圓的中心對(duì)稱性的理解和應(yīng)用。解答本題的關(guān)鍵是,運(yùn)用幾何直觀,從實(shí)物中抽象出幾何圖形圓,充分利用圓的性質(zhì)思考游戲的獲勝策略:假如圓桌小到只能放下一枚硬幣,當(dāng)然是先放者獲勝;假如圓桌比較大,先放者只要把第一枚硬幣放在圓桌的中心位置,后放者每放下一枚硬幣,先放者只要把硬幣放在與后放者放的位置關(guān)于圓桌中心對(duì)稱的位置,即可穩(wěn)操勝券。通過(guò)解答這個(gè)問(wèn)題,學(xué)生不僅能加深對(duì)圓的認(rèn)識(shí),而且能培養(yǎng)幾何直觀的意識(shí)與能力。

    在此基礎(chǔ)上,教師可以鼓勵(lì)學(xué)生思考更一般的情況:桌面不是圓形而是長(zhǎng)方形或正方形的話,這種解答策略還有效嗎?從圖形的對(duì)稱性到游戲的對(duì)稱策略,學(xué)生能夠認(rèn)識(shí)到對(duì)稱是一種重要的思維模式,從而自覺(jué)地運(yùn)用對(duì)稱,思考、求解更多的問(wèn)題。

    (四)提升抽象能力

    抽象能力主要是指通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象,得到數(shù)學(xué)的研究對(duì)象,形成數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則和方法的能力,包括:從實(shí)際情境或跨學(xué)科的問(wèn)題中抽象出核心變量、變量的規(guī)律及變量之間的關(guān)系,并用數(shù)學(xué)符號(hào)予以表達(dá);從具體的問(wèn)題解決中概括出一般的結(jié)論,形成數(shù)學(xué)的方法與策略。從本質(zhì)上看,“抽象是從許多事物中舍棄個(gè)別的、非本質(zhì)屬性,得到共同的、本質(zhì)屬性的思維過(guò)程”史寧中.數(shù)學(xué)基本思想18講[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2016:10。;數(shù)學(xué)抽象是指舍棄事物的一切物理屬性,得到一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的思維過(guò)程。抽象是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征之一,是數(shù)學(xué)的基本思想方法,并且是數(shù)學(xué)眼光深刻、犀利的表現(xiàn)。在數(shù)學(xué)知識(shí)形成及問(wèn)題解決的教學(xué)中,都要讓學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)到數(shù)學(xué)、從特殊到一般、透過(guò)現(xiàn)象看到本質(zhì)等的數(shù)學(xué)抽象過(guò)程,從而提升數(shù)學(xué)抽象能力。

    例如,教學(xué)一元二次方程的概念時(shí),可以引導(dǎo)學(xué)生分層解決如下問(wèn)題,從而經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的完整過(guò)程。

    【從問(wèn)題到方程】

    (1)金星學(xué)校要用大小完全相同的240塊正方形地板磚鋪一個(gè)面積為60 m2的音樂(lè)教室。設(shè)每塊地板磚的邊長(zhǎng)為x m,為了求出地板磚的邊長(zhǎng),可列方程:。

    (2)《九章算術(shù)》中有一題:“今有二人同所立,甲行率7,乙行率3。乙東行,甲南行十步而斜東北,與乙會(huì)。問(wèn):甲乙行幾何?”意思是:“甲乙兩人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā),甲的速度是7,乙的速度是3。乙向東行走,甲向南走了10步后向東北行走,與乙相遇。問(wèn):相遇時(shí),甲乙分別走了多少?”設(shè)他們相遇時(shí)所用的時(shí)間為t,則相遇時(shí)甲共走了,乙共走了;為了求出相遇時(shí),甲乙分別走了多少,可列方程:。

    (3)一個(gè)兩位數(shù),個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小3,這個(gè)兩位數(shù)加上10后,恰好等于個(gè)位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之積的3倍。設(shè)個(gè)位上的數(shù)字為a,為了求出這個(gè)兩位數(shù),可列方程:。

    這一層次的三個(gè)問(wèn)題體現(xiàn)了從現(xiàn)實(shí)情境到數(shù)學(xué)模型的抽象。其中的現(xiàn)實(shí)情境既包括當(dāng)下的生活現(xiàn)實(shí),也包括史料中的生活現(xiàn)實(shí),還包括數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)。未知數(shù)的設(shè)法既有直接設(shè),也有間接設(shè)。學(xué)生分析題目中的數(shù)量關(guān)系,不難列出三個(gè)方程:(1)240x2=60;(2)(3t)2+102=(7t-10)2;(3)a+10(a+3)+10=3a(a+3)。

    【從特殊到一般】

    (4)將所列出的三個(gè)方程依次化為按字母次數(shù)降序排列的一般形式,得到4x2-1=0、2t2-7t=0、3a2-2a-40=0。這三個(gè)方程有什么相同與不同之處?

    (5)上面這三個(gè)方程的本質(zhì)屬性(相同之處)是什么?

    這一層次的兩個(gè)問(wèn)題體現(xiàn)了從特殊情況到一般概念的抽象。先引導(dǎo)學(xué)生尋找特殊情況的相同與不同之處(各種屬性),再引導(dǎo)學(xué)生保留相同之處(本質(zhì)屬性),剔除不同之處(非本質(zhì)屬性),從而建立一般概念。學(xué)生經(jīng)過(guò)思考、交流,可以得到三個(gè)方程的相同與不同之處:(1)都含有一個(gè)未知數(shù);(2)未知數(shù)有不同的含義;(3)未知數(shù)的最高次數(shù)都是2;(4)未知數(shù)的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)可有可無(wú)。進(jìn)而,可以根據(jù)三個(gè)方程的本質(zhì)屬性,給出一元二次方程的概念:可以化為ax2+bx+c=0(x為未知數(shù),a、b、c為常數(shù),a≠0)形式的方程。

    例5(2018年江西省中考試題)小賢與小杰在探究某類二次函數(shù)問(wèn)題時(shí),經(jīng)歷了如下過(guò)程:

    【求解體驗(yàn)】

    (1)已知拋物線y=-x2+bx-3經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,0),則b=,頂點(diǎn)坐標(biāo)為,該拋物線關(guān)于點(diǎn)(0,1)成中心對(duì)稱的拋物線的表達(dá)式是。

    【抽象感悟】

    我們定義:與拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)關(guān)于y軸上的點(diǎn)M(0,m)對(duì)稱的拋物線y′稱為拋物線y的“衍生拋物線”,點(diǎn)M稱為“衍生中心”。

    (2)已知拋物線y=-x2-2x+5關(guān)于點(diǎn)(0,m)的衍生拋物線為y′,若這兩條拋物線有交點(diǎn),求m的取值范圍。

    【問(wèn)題解決】

    (3)已知拋物線y=ax2+2ax-b(a≠0)。

    ①若拋物線y的衍生拋物線為y′=bx2-2bx+a2(b≠0),兩條拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),且恰好是它們的頂點(diǎn),求a、b的值及衍生中心的坐標(biāo);

    ②若拋物線y關(guān)于點(diǎn)(0,k+12)的衍生拋物線為y1,其頂點(diǎn)為A1;關(guān)于點(diǎn)(0,k+22)的衍生拋物線為y2,其頂點(diǎn)為A2……關(guān)于點(diǎn)(0,k+n2)的衍生拋物線為yn,其頂點(diǎn)為An(n為正整數(shù))……求AnAn+1的長(zhǎng)(用含n的式子表示)。

    在學(xué)生學(xué)習(xí)了拋物線解析式的求法、一般式與頂點(diǎn)式的互化、頂點(diǎn)坐標(biāo)以及開(kāi)口朝向與大?。ㄓ墒裁礇Q定)等知識(shí)后,筆者讓學(xué)生解決這道中考題。本題以二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)為載體,新定義“衍生拋物線”的概念,分層設(shè)問(wèn),充分體現(xiàn)了從特殊到一般的抽象過(guò)程:不僅從第(1)問(wèn)到第(3)問(wèn)體現(xiàn)了解析式與對(duì)稱中心逐漸一般化的過(guò)程[第(3)問(wèn)的第①小問(wèn)還有一個(gè)逆向設(shè)計(jì)],而且第(3)問(wèn)的第②小問(wèn)的解答也需要經(jīng)歷一個(gè)從特殊到一般的過(guò)程(先求A1、A2,類推An、An+1)。多解決這類新定義、分層設(shè)問(wèn)的問(wèn)題,十分有利于學(xué)生提升閱讀理解能力以及數(shù)學(xué)抽象能力。

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