初中數(shù)學(xué)“命題、定理、證明”教學(xué)研究

李庾南 劉東升

摘要：七年級平面幾何入門階段，關(guān)于“命題、定理、證明”的教學(xué)研究往往是各級教研活動的一個薄弱點。如何將這部分內(nèi)容中比較抽象的數(shù)學(xué)概念形象生動地呈現(xiàn)出來？怎樣把這些零散的概念或知識點串聯(lián)起來？可以從理解課標、理解教材出發(fā)，梳理出思維導(dǎo)圖，精選典型實例改編成“問題串”，驅(qū)動結(jié)構(gòu)化認知的生成。

關(guān)鍵詞：“命題、定理、證明”;教學(xué)研究;結(jié)構(gòu)化認知

本文系江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題“高質(zhì)量發(fā)展視域下‘三學(xué)’立人的實踐研究”（編號：TSXM/2021/06）的階段性研究成果。課題主持人：李庾南、祁國斌。七年級平面幾何入門階段，關(guān)于“命題、定理、證明”的教學(xué)研究往往是各級教研活動的一個薄弱點。從一些隨堂課的觀課情況來看，有些教師在教學(xué)中確實存在“一個定義、三項注意、大量練習(xí)”（章建躍語）的問題。如何將這部分內(nèi)容中比較抽象的數(shù)學(xué)概念形象生動地呈現(xiàn)出來？怎樣把零散的概念、知識點串聯(lián)起來？最近，我們在集體備課時，對這些問題做了較為深入的教學(xué)研討。

一、知識梳理與解讀

我們首先對人教版初中數(shù)學(xué)七年級下冊 “5.3.2命題、定理、證明”的內(nèi)容做了知識梳理與解讀，預(yù)設(shè)出所要形成的知識網(wǎng)絡(luò)（如下頁圖1所示）。

根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》的要求，七年級新授階段，只要求學(xué)生“通過具體實例，了解定義、命題、定理、推論的意義。結(jié)合具體實例，會區(qū)分命題的條件和結(jié)論”?？紤]到幾何內(nèi)容分布在不同分冊教材中，對于命題的相關(guān)知識，人教版教材也是分散安排的，教學(xué)時要注意把握七年級的教學(xué)要求，特別是“結(jié)合具體實例”幫助學(xué)生了解相關(guān)概念。

二、教學(xué)設(shè)計

（一）生成“命題”概念

問題1研究下列語句的特點，側(cè)重分析它們是否是對某個數(shù)學(xué)概念或性質(zhì)的判斷。

（1）如果兩個角互補，那么它們的和為180°;

（2）作∠AOB的平分線OC;

（3）a的相反數(shù)為-a嗎？

（4）∠AOB=90°，AO⊥BO;

（5）直角都相等;

（6）相等的角都是直角。

在學(xué)生分析上述語句的特點之后，抽象概括出命題的概念及構(gòu)成（命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項）。需要講解清楚的是，命題常寫成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的是題設(shè)，“那么”后接的是結(jié)論。在此基礎(chǔ)上，繼續(xù)安排一組習(xí)題，讓學(xué)生判斷這些語句是不是命題，如果是命題，則判斷命題是否正確。即讓學(xué)生“回到命題的定義”去解題，將命題的概念具體化，通過恰當(dāng)、必要的追問，讓學(xué)生知道命題中需要有“一件事情”和“判斷”等關(guān)鍵信息。

（二）辨析命題的“題設(shè)”和“結(jié)論”

問題2分析下列命題的題設(shè)和結(jié)論。

（1）如果兩個角互為補角，那么這兩個角的和等于180°;

（2）如果x=0，那么xy=0;

（3）大于90°而小于180°的角是鈍角;

（4）直角都相等;

（5）同角的余角相等;

（6）內(nèi)錯角相等。

前兩個小問，學(xué)生容易分析出“如果”后面是題設(shè)，“那么”后面是結(jié)論;后四個小問，可以引導(dǎo)學(xué)生先將它們改寫成“如果……那么……”的形式，再來辨析它們的題設(shè)和結(jié)論。講評這個問題時，教師還要注意以下兩個方面：一是讓學(xué)生知道命題既有文字命題的形式，也可以用符號語言來表示，如第二小問;二是幫助學(xué)生根據(jù)已有的經(jīng)驗，學(xué)會判斷命題的正確性。進一步地，按命題的真假性，可以將其分為真命題和假命題兩類。

（三）了解“推理”“證明”和“定理”

問題3判斷命題“垂直于同一直線的兩直線平行”的真假，并說明理由。

在訓(xùn)練命題真假性判定的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生了解推理和證明的意義，體會推理、證明的基本步驟，并初步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文字語言與圖形符號語言的互化，為以后證明文字命題奠基。在推理過程中運用到的依據(jù)，一般有定義、公理、基本事實、定理、推論等。這里，可讓學(xué)生了解定理的概念，即經(jīng)過推理證實其為真并且可以它為依據(jù)推證其他命題的真命題叫作定理，定理是重要的真命題。順便可讓學(xué)生回顧已經(jīng)學(xué)過的一些定理、公理（或基本事實）。

問題4判斷下列命題的真假，如果是真命題，說明理由;如果是假命題，舉反例說明。

（1）如果兩個角互余，那么這兩個角都是不大于45°的角;

（2）如果a+b>0，那么a>0，b>0。

教學(xué)時要讓學(xué)生知道，真命題無一例外總是正確的，而假命題則不能保證總是正確的，只要能找到一個反例，就可以說明某個命題是假命題，從而幫助學(xué)生正確理解命題的真假性。

（四）完善結(jié)構(gòu)化板書

問題5本課我們學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)概念，舉例說說你對它們的理解。

問題6證明“兩直線平行，同旁內(nèi)角的平分線互相垂直”這道文字命題時，你覺得要分哪幾步？

問題5是開放性的，學(xué)生可結(jié)合本課所學(xué)，先小組內(nèi)交流，再全班匯報，教師進行必要的追問，并完善、形成本課的結(jié)構(gòu)化板書（類似圖1）。對于問題6中文字命題的證明，要讓學(xué)生知道應(yīng)先分析命題的題設(shè)和結(jié)論，然后將文字命題的題設(shè)、結(jié)論分別轉(zhuǎn)化為圖形語言和符號的形式，再進一步去分析證明思路，書寫推理過程。具體的解答過程，則可以作為課后作業(yè)安排學(xué)生完成。

三、教學(xué)立意的進一步闡釋

在研究某個課時的教學(xué)時，首先要查閱國家頒布的學(xué)科課程標準。課程標準一般從整個學(xué)段（如初中為7—9年級）提出某個知識點的教學(xué)要求，我們可以在此基礎(chǔ)上厘清本課時教學(xué)的具體要求。“命題、定理、證明”在初中學(xué)段只要求“結(jié)合具體實例了解”，那么本課時就要注意放低起點，精心挑選恰當(dāng)?shù)膶嵗齺韼椭鷮W(xué)生理解這三個概念。比如，在生成“命題”概念時，問題1中（1）是對“和”作出判斷，（2）是祈使句但不是判斷句，（3）是疑問句但未作出判斷，（6）是判斷但判斷不正確。由此，學(xué)生可以明確，命題中需要有“一件事情”和“判斷”等關(guān)鍵信息，從而將抽象的“命題”概念具體化。

特別要指出的是，有些教輔資料隨意編寫一些生活中的語句，如“今天的天氣真好”“這本書你看完了嗎”等，讓學(xué)生辨析它們是不是命題。我們認為，這些沒有數(shù)學(xué)味的語句屬于“無趣題”，對學(xué)生理解數(shù)學(xué)命題的概念意義不大，不宜出現(xiàn)在數(shù)學(xué)命題的教與學(xué)中。

人教版初中數(shù)學(xué)教材在“命題、定理、證明”這一課時的內(nèi)容安排上，以大段文字的講解為主，比較抽象，我們在研讀教材的基礎(chǔ)上，先將本課中一些概念之間的關(guān)系梳理成思維導(dǎo)圖，再選編幾組“問題串”，分別在這些“問題串”的驅(qū)動之下依次引出命題、定理和證明的概念，并漸次生成結(jié)構(gòu)化板書，使得教學(xué)環(huán)節(jié)分明、層層遞進、漸次生長。這也是教師需要加強修煉的基于教材的加工轉(zhuǎn)化能力。