關(guān)系重構(gòu)：認(rèn)知從“復(fù)雜”走向“簡單”
——以“用假設(shè)的策略解決實際問題”教學(xué)為例

江蘇如皋市外國語學(xué)校（226500） 丁 洪 張林林

“用假設(shè)的策略解決實際問題”是蘇教版教材六年級上冊安排的“策略學(xué)習(xí)”專題活動，它也是運用策略解決實際問題的種子課。從關(guān)系的數(shù)量看，一般要解決幾個未知量就需要幾組數(shù)量關(guān)系，少則無法確定結(jié)果，多則出現(xiàn)條件剩余。從關(guān)系的勾連看，未知量之間要有關(guān)聯(lián)，關(guān)系可以是直接的或間接的，未知量之間可以靈活轉(zhuǎn)化和統(tǒng)一表征。從關(guān)系的變化看，關(guān)聯(lián)的數(shù)量進(jìn)行等量代換和有機整合之后，內(nèi)容上出現(xiàn)了“新數(shù)量”，形式上出現(xiàn)了“新等式”，盡管關(guān)系對應(yīng)為“假狀態(tài)”，但所求結(jié)論仍然為“真結(jié)果”?？梢哉f，關(guān)系從復(fù)雜存在到簡單重構(gòu)是一個“慢”的漸進(jìn)過程，教師除了要在認(rèn)識上拎得清，還要在行動上把得準(zhǔn)。

一、制造認(rèn)知沖突，激發(fā)關(guān)系需求

認(rèn)知沖突是學(xué)習(xí)主體在信息加工過程中產(chǎn)生的一種不平衡的心理狀態(tài)。究其原因，主要是個體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)在新舊銜接時的不一致、不和諧所致。教師如能巧妙設(shè)計認(rèn)知沖突，則可以聚焦關(guān)鍵、激發(fā)需求和引發(fā)學(xué)習(xí)。

1.策略調(diào)用

首先，動態(tài)出示兩個天平，第一個天平左邊擺放1 個梨，右邊擺放2 個桃；第二個天平左邊擺放1個梨和2 個桃，右邊擺放1 個400 克的砝碼。接著，學(xué)生通過解決問題“仔細(xì)觀察擺放的過程，你知道了哪些數(shù)量關(guān)系？”，獲得“1 個梨的質(zhì)量=2 個桃的質(zhì)量”和“1個梨的質(zhì)量+2個桃的質(zhì)量=400克”的結(jié)論。這樣運用技術(shù)手段將靜態(tài)關(guān)系予以動態(tài)呈現(xiàn)，有助于學(xué)生實時聚焦問題的發(fā)生過程，弄清不同對象之間的內(nèi)在聯(lián)系。通過問題“根據(jù)這些數(shù)量關(guān)系，你能解決什么問題？”引發(fā)學(xué)生調(diào)用已有認(rèn)知經(jīng)驗，提出問題并嘗試解決問題。學(xué)生有兩種思路：第一種是“將1 個梨看成2 個桃”，對應(yīng)得到“4 個桃一共400 克”，先求出“1 個桃是100 克”，再順勢得到“1 個梨是200 克”，列式計算為“400÷（2+2）=100（克），100×2=200（克）”，解題的關(guān)鍵是“將梨都看成了等量的桃”；第二種是“將2 個桃看成1 個梨”，對應(yīng)得到“2 個梨一共400 克”，先求出“1 個梨200克”，再順勢得到“1 個桃是100 克”，列式計算為“400÷（1+1）=200（克），200÷2=100（克）”，解題的關(guān)鍵是“將桃都看成了等量的梨”。最后，引領(lǐng)學(xué)生比較兩種思考過程，發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系是理解具體問題的關(guān)鍵，等量代換是處理數(shù)量關(guān)系的依據(jù)，至于怎么使用數(shù)量關(guān)系，也就是“都看成梨”或“都看成桃”，變換方向可以不一樣?？梢钥闯?，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷思維過程的異同體驗，有助于學(xué)生初步感受假設(shè)的方向和方法之間的聯(lián)系和區(qū)別，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定策略認(rèn)知的基礎(chǔ)。

2.策略分析

首先，出示“720 毫升果汁”的前置條件，以及多組不同的備選條件，分別是“倒入9 個同樣的小杯，正好倒?jié)M”“倒入3 個相同的大杯，正好倒?jié)M”和“倒入6個小杯和1個大杯，正好倒?jié)M”，鼓勵學(xué)生自主搭配和選擇條件，并對問題對象進(jìn)行判斷。接著，學(xué)生自由匯報，有的選擇“倒入9 個同樣的小杯，正好倒?jié)M”這個條件，列式為“720÷9=80（毫升）”，順利解決了小杯容量的問題；有的選擇“倒入3 個相同的大杯，正好倒?jié)M”這個條件，列式為“720÷3=240（毫升）”，順利解決了大杯容量的問題；有的選擇“倒入6個小杯和1個大杯，正好倒?jié)M”這個條件，發(fā)現(xiàn)解決問題有困難——認(rèn)知沖突的出現(xiàn)，極大提升了學(xué)生的關(guān)注度。然后，教師順勢提出問題“為什么不能同時解決大小杯容量的問題？”“如果想要解決，你有什么好的建議？”和“大小杯容量之間可能有怎樣的關(guān)系？”，引導(dǎo)學(xué)生感知“單獨倒入”關(guān)系簡單，“同時倒入”關(guān)系復(fù)雜，要想求解同時出現(xiàn)的兩個未知量，知道它們之間的數(shù)量關(guān)系是關(guān)鍵，至于是“倍比關(guān)系”或“和差關(guān)系”，這并不是問題的重點。可以看出，認(rèn)知沖突有效驅(qū)動了分析，辨析的內(nèi)容直指假設(shè)策略的兩大關(guān)鍵，一是“條件和問題之間要有聯(lián)系”，二是“條件和條件之間要有聯(lián)系”，至于條件之間的聯(lián)系和運算環(huán)境是什么，姑且看作是假設(shè)策略的學(xué)習(xí)類型，它并不是假設(shè)策略認(rèn)知的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

顯然，“策略調(diào)用”側(cè)重數(shù)量的“關(guān)系運用”，演繹了算法多樣；“策略分析”側(cè)重數(shù)量的“關(guān)系聯(lián)結(jié)”，考量了認(rèn)知沖突中的需求一致。這樣處理，既固化了問題解決的一般路徑，又深化了數(shù)量關(guān)系的核心地位。

二、構(gòu)造認(rèn)知模型，凸顯關(guān)系內(nèi)涵

認(rèn)知模型是一種結(jié)構(gòu)化的共性理解和數(shù)學(xué)構(gòu)造。就假設(shè)策略的學(xué)習(xí)而言，認(rèn)知模型以未知量為節(jié)點，以數(shù)量關(guān)系為紐帶，以新的、簡單的和方便問題解決的結(jié)構(gòu)為取向，過程著重關(guān)系的內(nèi)涵理解、新舊對比和價值感悟。

1.策略生動

2.策略深刻

策略學(xué)習(xí)需要問題解決，但是又不止于問題解決，還需要將個性思維中的共性方法進(jìn)行梳理、提煉和內(nèi)化（如圖1）。仔細(xì)觀察后不難發(fā)現(xiàn)，假設(shè)策略的數(shù)學(xué)內(nèi)涵具有鮮明特征。首先，從未知量的個數(shù)角度來看，以往的“一個未知量”變成現(xiàn)在的“兩個未知量”，未知量的增多，情境的相對復(fù)雜，激發(fā)了學(xué)生假設(shè)策略的認(rèn)知內(nèi)需。其次，從未知量的關(guān)系角度來看，以往的“條件不相關(guān)”變成現(xiàn)在的“條件正相關(guān)”，數(shù)量關(guān)聯(lián)支撐了假設(shè)策略的具體實施。最后，從未知量的代換角度來看，無論是“全部倒入小杯”，還是“全部倒入大杯”，等量代換的數(shù)學(xué)思想一脈相承，未知量由多變少的操作路徑異曲同工，思維的有效整合凸顯了假設(shè)策略的數(shù)學(xué)本質(zhì)。就這樣，在變與不變的過程體驗和思辨中，方法感知演變成了策略架構(gòu)，同時策略價值的感悟也變得可視化、結(jié)構(gòu)化和一體化。

圖1

顯然，“策略生動”側(cè)重個性的“思維表達(dá)”，演繹了“快思考”的過程生動；“策略深刻”側(cè)重共性的“思維沉淀”，呈現(xiàn)了“慢思考”的過程深刻。這樣處理，既尊重了學(xué)習(xí)主體的感性基礎(chǔ)，又促進(jìn)了知識發(fā)展的理性建構(gòu)。

三、遷移認(rèn)知經(jīng)驗，具化關(guān)系路徑

認(rèn)知經(jīng)驗就生長階段而言，一般可分兩個層次。第一個層次是“無案可循”的形式加工，它側(cè)重對現(xiàn)有情境中重復(fù)出現(xiàn)方法的抽象和概括；第二個層次是“有案可依”的實質(zhì)加工，它側(cè)重已有經(jīng)驗對后續(xù)行為的約束和引導(dǎo)。

1.策略強化

首先，將教材的例題進(jìn)行適當(dāng)改編，變成“720毫升果汁倒入4 個小杯、2 個中杯和1 個大杯，正好都倒?jié)M”和“小杯的容量是中杯的大杯的容量是中杯的2 倍”，與此同時，提出“小杯、中杯和大杯的容量各是多少毫升？”的問題。接著，創(chuàng)設(shè)自主探究的活動，鼓勵學(xué)生遷移已有經(jīng)驗，積極思考并記錄過程?；顒娱_始之前進(jìn)行師生交流“你準(zhǔn)備假設(shè)將果汁全部倒入哪種杯子？”“其他杯子也可以嗎？”，滲透“想清楚再做事”的基本原則，為學(xué)生思維品質(zhì)的提升添磚加瓦。教師要引導(dǎo)學(xué)生有序匯報，以“假設(shè)全部倒入中杯”為例，根據(jù)“大杯的容量是中杯的2 倍”，可以將“1 個大杯等量代換成2 個中杯”，根據(jù)“小杯的容量是中杯的可以將“4個小杯等量代換成2 個中杯”，再算上原來的2 個中杯，這樣就假設(shè)成“6 個中杯的容量一共是720 毫升”，有了這個簡單的數(shù)量關(guān)系，很快算出“1 個中杯的容量是720÷6=120（毫升）”，進(jìn)而求出“1 個大杯的容量是120×2=240（毫升）”和“1 個小杯的容量是120÷2=60（毫升）”；當(dāng)然，也可以“假設(shè)全部倒入大杯”或者“假設(shè)全部倒入小杯”（如圖2）。最后，引導(dǎo)學(xué)生觀察、對比和思考，從整體上把握策略實踐的要點和路徑，從局部上感受“直接關(guān)系”比“間接關(guān)系”更方便等量代換，促使策略的思維從“可以做”進(jìn)階為“可優(yōu)化”。

圖2

2.策略回顧

如果把“策略強化”看成“怎么做”，那么“策略回顧”就是“怎么看”。因此，在這里主要鼓勵學(xué)生從假設(shè)策略的視角出發(fā)，整理以往學(xué)習(xí)中使用假設(shè)策略的案例，挖掘出諸如“計算除數(shù)是兩位數(shù)的除法，把除數(shù)當(dāng)作整十?dāng)?shù)試商”“把接近整百或整十的數(shù)看作整百或整十?dāng)?shù)，估算出大致的結(jié)果”和“已知兩個數(shù)的和與差，假設(shè)兩個數(shù)同樣多，分別求出這兩個數(shù)”等，這些都是基于自主認(rèn)知的定性確認(rèn)。這樣的回顧，一方面使得策略的意識從模糊變得清晰，感知策略運用的基礎(chǔ)性和廣泛性；另一方面也豐富了假設(shè)策略的內(nèi)涵，不僅可以像例題那樣，使數(shù)量關(guān)系變簡單，還可以像試商和估算那樣，使運算過程變簡潔，從而感知策略運用的價值性和統(tǒng)一性。

顯然，“策略強化”側(cè)重策略的“自我調(diào)節(jié)”，具化了關(guān)系處理的既定路線；“策略回顧”側(cè)重策略的“自我認(rèn)同”，聯(lián)結(jié)了立體多元的隱形認(rèn)知。這樣處理，既驅(qū)動了策略規(guī)則的外化有術(shù)，又滲透了策略視角的內(nèi)化有道。

四、內(nèi)化認(rèn)知策略，提升關(guān)系素養(yǎng)

認(rèn)知策略是學(xué)習(xí)主體加工信息的方法。就本課而言，在學(xué)生歷經(jīng)方法的滲透、示范、嘗試和回顧等四個階段后，還可以繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生感受不同情境的其他問題，或者相同情境的不同角度，以內(nèi)化策略、發(fā)展思維和提升素養(yǎng)。

1.策略同化

首先，動態(tài)出示“2個大筐和3個小筐一共裝了99千克蘋果”和“大筐所裝的量是小筐的3倍”的條件，要求學(xué)生選擇一種假設(shè)方向，自主解決“大筐、小筐蘋果千克數(shù)”的問題。學(xué)生的匯報井然有序：第一種是“假設(shè)蘋果全部裝入小筐”，根據(jù)“2 個大筐”和“大筐所裝的質(zhì)量是小筐的3 倍”這兩個條件，可以很快地將“2個大筐假設(shè)成6個小筐”，此時“99千克”對應(yīng)的就是“9個小筐（其中6個是假的，3個是真的）”，然后順勢算出“每個小筐所裝蘋果的千克數(shù)是99÷9=11（千克）”，則“每個大筐所裝蘋果的千克數(shù)是11×3=33（千克）”；第二種是“假設(shè)蘋果全部裝入大筐”，根據(jù)“3 個小筐”和“大筐所裝的質(zhì)量是小筐的3 倍”這兩個條件，可以很快地將“3 個小筐假設(shè)成1 個大筐”，此時“99 千克”對應(yīng)的就是“3 個大筐（其中1 個是假的，2 個是真的）”，然后順勢算出“每個大筐蘋果的千克數(shù)是99÷3=33（千克）”，則“每個小筐蘋果的千克數(shù)是33÷3=11（千克）”?？梢钥闯?，這里的問題結(jié)構(gòu)與例題相似，策略同化的特征明顯。接著，將情境稍做變化，把“2個大筐和3 個小筐”改編成“3 個大筐和2 個小筐”，其他條件和問題都不變，讓學(xué)生嘗試解決。有趣的是，出現(xiàn)“假設(shè)蘋果全部裝入小筐”的人數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于“假設(shè)蘋果全部裝入大筐”的人數(shù)。究其原因，前者的假設(shè)方向是“順勢而為”，計算僅在整數(shù)范圍內(nèi)運行，過程比較簡單；后者的假設(shè)方向是“逆流而上”，計算涉及分?jǐn)?shù)范圍和方程形式，過程比較復(fù)雜和曲折。這樣就引發(fā)了學(xué)生感知“假設(shè)方向”的互通性、必要性和選擇性，強化了假設(shè)策略的靈活運用。最后，動態(tài)出示“三層貨架上的洗手液，每層總質(zhì)量相等，從上往下看，第一層有1 大瓶、2 個中瓶和5 個小瓶，第二層有3 個中瓶和5 個小瓶，第三層有1 個大瓶和8 個小瓶，還知道1 個小瓶有200 克，要求1個大瓶和1 個中瓶各有多少克”?？梢钥闯觯@里的問題結(jié)構(gòu)稍有變化，處理方式稍有不同，但關(guān)系化繁為簡的策略取向沒有變，等量代換的思想支撐也沒有變，所以它仍然隸屬策略同化的范疇。

2.策略順應(yīng)

假設(shè)策略對于學(xué)生今后的學(xué)習(xí)影響較大，如果學(xué)生能有感性體驗，也許就能為學(xué)習(xí)的持續(xù)性注入生長因子?；谶@樣的思考，將課堂初始“梨和桃”的問題情境加以改造，用兩個未知數(shù)分別表示梨和桃的數(shù)量，即假設(shè)1 個梨的質(zhì)量是x 克，1 個桃的質(zhì)量是y 克，然后根據(jù)數(shù)量關(guān)系，分別列出方程，即“x=2y”和“x+2y=400”，并將它們聯(lián)立成方程組，最后鼓勵學(xué)生口算解決問題，體會外在形式的組織變化并沒有改變等量代換和關(guān)系化簡的內(nèi)在事實?？梢钥闯?，學(xué)生對原有認(rèn)知進(jìn)行修改和重構(gòu)后，能夠勝任新環(huán)境的學(xué)習(xí)需求，從而實現(xiàn)策略順應(yīng)的無限精彩。

顯然，“策略同化”側(cè)重認(rèn)知的“必要鞏固”，提升了策略實踐的操作水準(zhǔn)；“策略順應(yīng)”側(cè)重認(rèn)知的“可能應(yīng)用”，架構(gòu)了策略體驗的價值魅力。這樣處理，既夯實了策略學(xué)習(xí)的關(guān)鍵技能，又孕育了策略素養(yǎng)的必備品格。