由“分?jǐn)?shù)乘法（三）”的教學(xué)談幾種數(shù)學(xué)思想的滲透

甘肅定西市渭源縣中心實驗小學(xué)教育集團(tuán)（748200） 劉萬興

中小學(xué)數(shù)學(xué)課程在提升學(xué)生核心素養(yǎng)、促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展方面有著其他學(xué)科不可替代的重要作用，是學(xué)校課程教育的重要組成部分。小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)不僅要讓學(xué)生掌握當(dāng)代生活和課內(nèi)外學(xué)習(xí)中不可或缺的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)技能，還要注意培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力和科學(xué)創(chuàng)新能力?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》（以下簡稱“課程標(biāo)準(zhǔn)”）中指出，數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不僅要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的結(jié)果，還要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)結(jié)果形成過程所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。這就要求教師必須在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)和日常數(shù)學(xué)活動中不斷地滲透數(shù)學(xué)思想。

一般來說，數(shù)學(xué)思想就是指人們對數(shù)學(xué)的相關(guān)理論與內(nèi)容在本質(zhì)方面的認(rèn)識和看法，是從一些比較具體的數(shù)學(xué)認(rèn)識過程當(dāng)中提煉出來的觀點。這些觀點在很大程度上揭示了數(shù)學(xué)在發(fā)展過程中較為普遍的一些規(guī)律，直接支配著人們在數(shù)學(xué)方面的實踐活動。就當(dāng)下數(shù)學(xué)界的觀點來說，數(shù)學(xué)思想包含函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、方程思想、整體思想、化歸思想、隱含條件思想、類比思想、建模思想、歸納推理思想、極限思想等。此外，數(shù)學(xué)文化作為數(shù)學(xué)發(fā)展中的重要組成部分，也應(yīng)該作為一種數(shù)學(xué)思想，值得師生引起重視。

在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想，也體現(xiàn)了現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育觀和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的新內(nèi)涵，對不斷提高學(xué)生創(chuàng)新思維能力和核心素養(yǎng)具有相當(dāng)重要的作用和意義。這里結(jié)合北師大2011 課標(biāo)版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級下冊“分?jǐn)?shù)乘法（三）”的課堂教學(xué)，談一談極限思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、模型思想和數(shù)學(xué)文化思想等5 種數(shù)學(xué)思想在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的滲透策略。

一、在課堂教學(xué)中滲透極限思想

極限思想是在長期的社會實踐中產(chǎn)生的。要溯源的話，較早的文獻(xiàn)可以追溯到戰(zhàn)國時期著名思想家莊子的《逍遙游》一文和《天下》一文?！吧舷滤姆接袠O乎”“無極之外，復(fù)無極也”是莊子在宏觀上對極限思維進(jìn)行的闡述。魏晉南北朝時期的著名數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)，其實也蘊(yùn)含著極限思想，不過是建立在直觀基礎(chǔ)上的。極限思想在數(shù)學(xué)中是不可或缺的，在小學(xué)階段滲透極限思想，對學(xué)生后續(xù)的數(shù)學(xué)發(fā)展有著非常重要的作用。

在執(zhí)教“分?jǐn)?shù)乘法（三）”的過程中，筆者引用《天下》中的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，讓學(xué)生理解這段話的意思，然后用紙條代替棰，提出問題：每次拿走紙條的一半，剩下的部分占這張紙條的幾分之幾呢？學(xué)生通過思考分析，掌握了可以列式為了解了剩下部分占整體的幾分之幾。分子為1，分母越大，則分?jǐn)?shù)越接近0，但永遠(yuǎn)也不會為0，，這說明紙條理論上是永遠(yuǎn)也拿不完的，讓學(xué)生初步感受和體會極限思想。

類似的例子在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中還有很多，比如“圓的面積”教學(xué)中，把圓形紙片對折后剪開，然后再沿半徑方向等分，分的份數(shù)越多，拼起來的圖形就越接近長方形，從而推導(dǎo)出圓的面積公式。還有循環(huán)小數(shù)的教學(xué)、梯形面積公式的推導(dǎo)等例子。

小學(xué)生一般比較擅長形象思維，但隨著年齡增長，他們的思維方式也會不斷提升和轉(zhuǎn)換，因此教師在課堂中也引入極限思想，從形象思維過渡到抽象思維，讓學(xué)生用極限思想去觀察現(xiàn)實問題、思考和理解現(xiàn)實問題、解決現(xiàn)實問題，從而提高數(shù)學(xué)思維能力，提升數(shù)學(xué)理解能力、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和綜合能力，為將來進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)做好鋪墊。

二、在課堂教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)與形作為數(shù)學(xué)的研究對象由來已久，作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最基本的研究對象，它們是緊密聯(lián)系的。我們通常把這個聯(lián)系叫作數(shù)形結(jié)合。通常在數(shù)學(xué)中加上一定條件就可以實現(xiàn)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化。

數(shù)與形反映了數(shù)學(xué)中的事物在兩個方面不同而又有聯(lián)系的屬性。數(shù)形結(jié)合在日常教學(xué)中一般有兩種情況，一種是借助數(shù)學(xué)圖形來研究數(shù)量關(guān)系，另一種是借助數(shù)量關(guān)系來研究圖形特征。概括起來，就是我們常講的把抽象思維和形象思維有機(jī)結(jié)合起來，把復(fù)雜的問題變得簡單，把抽象的問題變得具體，以簡單的問題和具體的問題為基礎(chǔ)，從而達(dá)到優(yōu)化解題過程的目的。

在“分?jǐn)?shù)乘法（三）”一課的教學(xué)過程中，筆者首先讓學(xué)生理解“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”這句話，并出示圖1。

圖1

圖2

再次，筆者引導(dǎo)學(xué)生探究分?jǐn)?shù)乘法。4×4=16，表示單位“1”被平均分成16 份，也就是分母乘分母，深色部分表示3 個1，也就是分子乘分子，引出這個關(guān)鍵步驟，為下一步總結(jié)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計算方法做好鋪墊。這樣一來，學(xué)生通過直觀的形，看到了具體的數(shù)，通過數(shù)形結(jié)合明白了分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算理，突破了這節(jié)課的難點。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要學(xué)會充分利用圖形形象、直觀、便于分析這三個優(yōu)點，把數(shù)與形緊密結(jié)合起來，讓學(xué)生快速、準(zhǔn)確地解決數(shù)學(xué)問題。

三、滲透化歸思想

課堂上，學(xué)生動手折的過程中還出現(xiàn)了如圖3所示的情況：

圖3

這個圖形其實先是將單位“1”平均分成4 份，取其中的3 份，也就是單位“1”的然后把3 份中的每1 份又平均分成4 份，其中的1 份就是即每一份深色部分占單位“1”的，一共有3 個，從而引出，涉及分?jǐn)?shù)單位乘分?jǐn)?shù)單位的分?jǐn)?shù)乘法。新的分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的知識通過這樣的分解，巧妙地轉(zhuǎn)化成了已經(jīng)學(xué)過的分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的計算。

這就是常說的轉(zhuǎn)化思想。研究和解決數(shù)學(xué)問題常常就是將數(shù)學(xué)問題通過某種變換和轉(zhuǎn)化，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成相對簡單的數(shù)學(xué)問題，把比較難解決的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成相對容易的數(shù)學(xué)問題，把還沒有解決或還沒有學(xué)過的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成已經(jīng)解決或已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)問題。前面提到數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化和后面將要提到的實際問題與數(shù)學(xué)模型的相互轉(zhuǎn)化，都是這種思想在教學(xué)中的體現(xiàn)。

雞兔同籠問題中假設(shè)兔子抬起兩只前爪或者雞將翅膀尖著地，平行四邊形的面積、梯形的面積、三角形的面積計算公式的推導(dǎo)等都是經(jīng)典例子。在教學(xué)中不斷變更問題，先對已知成分進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)習(xí)或掌握的熟悉內(nèi)容進(jìn)行研究，都是化歸思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體體現(xiàn)?；瘹w作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中最基本的思維策略和有效的思維方式。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生運化歸思想來思考問題和解決問題，不但能夠鞏固舊知識，促進(jìn)對新知識的理解和掌握，而且對提高學(xué)生思考和解決問題的水平、提升學(xué)生自信心有著非常重要的作用。

四、滲透模型思想

一般來說，人們描述一個實際現(xiàn)象的時候，為了讓描述具有科學(xué)性、邏輯性、客觀性和可重復(fù)性，就會選用一種大家都覺得比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z言，這種語言也包括數(shù)學(xué)語言。數(shù)學(xué)語言當(dāng)中，針對或參照某種事物的特征或數(shù)量關(guān)系，近似地表達(dá)出數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，就是我們所說的數(shù)學(xué)模型。通常，數(shù)學(xué)模型的建立是有一定要求的，在建模的過程中，我們要學(xué)會將一個現(xiàn)實的問題經(jīng)過大腦的分析，轉(zhuǎn)化成一個數(shù)學(xué)問題，再選用合適的數(shù)學(xué)思維方法去解決。這不但是一種思考問題的方法，而且是一種運用數(shù)學(xué)語言的方法，經(jīng)歷抽象、簡化從而建立能解決實際數(shù)學(xué)問題和現(xiàn)實問題的一種非常有效的手段。

對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)來說，建立數(shù)學(xué)模型的過程，其實就是一個數(shù)學(xué)化的過程。在本課小結(jié)時，筆者出示《九章算術(shù)》的相關(guān)材料，說明分?jǐn)?shù)乘法運算在中國古代著作《九章算術(shù)》中有記載，其法則是“母相乘為法，子相乘為實，實如法而一”，用現(xiàn)代文翻譯過來就是“分母相乘作積的分母，分子相乘作積的分子”。然后，筆者出示引導(dǎo)學(xué)生建立均不等于0）這樣一個數(shù)學(xué)模型，從而使分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計算法則“兩個分?jǐn)?shù)相乘，分子相乘作積的分子，分母相乘作積的分母”上升到數(shù)學(xué)模型的高度。這樣能夠幫助學(xué)生初步形成建模意識，形成模型思想，提高他們對數(shù)學(xué)以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的其他學(xué)科的興趣和應(yīng)用意識。

五、滲透數(shù)學(xué)文化思想

“分?jǐn)?shù)乘法（三）”一課的教學(xué)中，既滲透了《莊子·天下》中的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，又引入了《九章算術(shù)》中關(guān)于分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計算方法。在課堂教學(xué)中，將教學(xué)內(nèi)容與中國幾千年來優(yōu)秀的數(shù)學(xué)和哲學(xué)思想結(jié)合起來，讓優(yōu)秀的中華傳統(tǒng)文化得到充分的發(fā)揚(yáng)，從而讓學(xué)生感悟中國豐富的傳統(tǒng)文化，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)得到有效提升。

當(dāng)然，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師一定要精心設(shè)計教學(xué)方案，把握機(jī)會對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)文化的滲透，努力讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中切實感受到數(shù)學(xué)文化的魅力，對數(shù)學(xué)文化產(chǎn)生認(rèn)同和共鳴，體會數(shù)學(xué)的獨特文化品位，體察到其他社會文化和數(shù)學(xué)文化之間的互動，增強(qiáng)對數(shù)學(xué)的興趣，提升綜合能力。

六、結(jié)語

數(shù)學(xué)思想和我們一般所說的數(shù)學(xué)概念和解題技能是不同的，數(shù)學(xué)技能一般通過一定時間的訓(xùn)練就能夠掌握，但是數(shù)學(xué)思想需要教師在教學(xué)中長期滲透才能夠形成。培養(yǎng)學(xué)生的思維能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心目標(biāo)之一，在日常教學(xué)中不斷地滲透數(shù)學(xué)思想不僅可以鍛煉學(xué)生的思維能力，還可以提高學(xué)生觀察、理解和解決現(xiàn)實中的問題的能力。

教師要不斷加強(qiáng)理論修養(yǎng)，不斷引入源頭活水，在課堂中滲透數(shù)學(xué)思想，用數(shù)學(xué)這門學(xué)科具有的魅力引導(dǎo)學(xué)生逐步走上數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)研究的道路，使學(xué)生在潛移默化中日積月累，通過提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)達(dá)到學(xué)好數(shù)學(xué)的目的，讓學(xué)生即使忘卻了學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識，還能用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的思維、數(shù)學(xué)的方法去觀察、理解、解決現(xiàn)實中的問題。