理通法自明
——例談學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)

山東臨沂市羅莊區(qū)沂堂鎮(zhèn)中心小學(xué)（277721） 王永勝

課程標(biāo)準(zhǔn)指出，運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解算理，尋求合理的途徑解決問題。也就是說，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，實(shí)際上就是培養(yǎng)學(xué)生在理解運(yùn)算意義和算理的過程中掌握算法、尋求合理算法解決問題的能力。

眾所周知，證明與計(jì)算是數(shù)學(xué)研究的兩大支柱，數(shù)學(xué)的發(fā)展在很大程度上可以說是計(jì)算、計(jì)算方法和計(jì)算工具的發(fā)展。

運(yùn)算教學(xué)的重要性不言而喻，而對運(yùn)算能力的培養(yǎng)來說，理解運(yùn)算的意義是前提，理解算理是核心，運(yùn)算能力也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵。那么在教學(xué)中，教師如何幫助學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上培養(yǎng)運(yùn)算能力呢？下面，筆者從五個(gè)方面談?wù)勁囵B(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的策略。

一、啟智：巧用比較，遷移算理

遷移是指一種學(xué)習(xí)對另一種學(xué)習(xí)的影響，簡單來說就是已經(jīng)獲得的知識經(jīng)驗(yàn)對其他活動的影響。數(shù)學(xué)是一門邏輯嚴(yán)密又彼此關(guān)聯(lián)的學(xué)科，不同的數(shù)學(xué)知識之間有相同或者相似的因素，尤其是在運(yùn)算方面，學(xué)生先前的運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)、計(jì)算方法、對算理的理解都為新知的探索提供了可遷移的基礎(chǔ)。在教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生從已有的知識和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，嘗試運(yùn)用已有的知識和經(jīng)驗(yàn)探索新問題，使學(xué)生的原有知識結(jié)構(gòu)得到完善。

例如，在教學(xué)“除數(shù)是整十?dāng)?shù)的筆算除法”一課時(shí)，當(dāng)學(xué)生在探究“92÷30”的算理時(shí)，筆者采取了“創(chuàng)境—回顧—比較”的教學(xué)策略。

首先，筆者創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生提出兩個(gè)問題：（1）把92本故事書分給一些班級，每班分3本，可以分給幾個(gè)班？（2）把92 本故事書分給一些班級，每班分30本，可以分給幾個(gè)班？

其次，筆者引導(dǎo)學(xué)生自主回顧“92÷3”的筆算過程，學(xué)生在這過程中鞏固了“除的順序”“商的位置”“余數(shù)的大小”等知識。這時(shí)，筆者追問：“這里的‘92’表示什么？第一次除得的商‘3’為什么寫在十位上？”學(xué)生通過借助情境、畫小棒圖、打比方等方式對筆算過程進(jìn)行講解：“92 表示的是9 個(gè)十和2個(gè)一，第一次用9個(gè)十除以3，得到的是3個(gè)十，所以商‘3’要寫在十位上……”

最后，筆者讓學(xué)生自主計(jì)算“92÷30”，并追問：“為什么‘92÷30’的商‘3’寫在個(gè)位上？”學(xué)生在自主探索的基礎(chǔ)上，通過遷移舊知和已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行了算理的辨析，有學(xué)生說：“‘92÷30’就好比是把9 個(gè)十元和2 個(gè)一元平均分給30 個(gè)人，先分9 個(gè)十元，每人不夠1 個(gè)十元，于是把9 個(gè)十元換成90 個(gè)一元，和2 個(gè)一元合在一起分給30 個(gè)人，每個(gè)人分得3 個(gè)一元，最后還剩2 個(gè)一元，因此這里的商‘3’要寫在個(gè)位上?！边€有學(xué)生說：“92 可以看作9 捆小棒（1 捆有10 根）加2 根小棒，每3 捆分給1 個(gè)班，分給了3個(gè)班后還剩2根，因此‘3’要寫在個(gè)位上。”

上課伊始，筆者巧用比較，抓住不同知識間的連接點(diǎn)激發(fā)了學(xué)生的思維，通過遷移舊知識，引導(dǎo)學(xué)生由此及彼，展開探究辨析活動，順利實(shí)現(xiàn)知識的遷移，提高了學(xué)生的遷移類推能力，達(dá)到使學(xué)生觸類旁通、舉一反三的目標(biāo)。

二、明理：直觀操作，外顯算理

美國教育心理學(xué)家布魯納提出學(xué)習(xí)的三種表征方式，即動作表征、形象表征和符號表征，并認(rèn)為這三種表征方式之間存在一種嚴(yán)格的遞進(jìn)關(guān)系。兒童的思維是從動作開始的。在運(yùn)算教學(xué)中，常用的動作表征活動有實(shí)物操作、畫圖操作和課件操作，適當(dāng)?shù)牟僮骰顒硬粌H能促進(jìn)學(xué)生積極探索算法，還能將抽象的算理外顯，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生運(yùn)算能力的發(fā)展。

例如，在教學(xué)“小數(shù)乘法”一課時(shí)，學(xué)生在探究“要在‘3.2×4’的積的末尾點(diǎn)一位小數(shù)”這一問題時(shí)，筆者采取“畫圖—外顯—明理”的策略。

筆者提出問題，引導(dǎo)學(xué)生說出3.2的含義，并用圖表示3個(gè)一和2個(gè)十分之一，即用3個(gè)長方形和2個(gè)十分之一的小長方形表示3.2。

在用圖表示數(shù)的意義的基礎(chǔ)上，筆者啟發(fā)學(xué)生繼續(xù)畫圖表示算式“3.2×4”的含義（如圖1）。學(xué)生通過畫圖探究出了計(jì)算“3.2×4”的方法并直觀理解了算理，學(xué)生發(fā)現(xiàn)“2個(gè)十分之一乘4”得到8個(gè)十分一，不是一個(gè)完整的長方形，所以0.2×4=0.8。數(shù)形結(jié)合，能巧妙地將算理外顯，從而幫助學(xué)生直觀地理解抽象的算理。

圖1

算理是運(yùn)算的理論依據(jù)，具有數(shù)學(xué)的抽象特質(zhì)，而學(xué)生的思維又具有具象的特點(diǎn)，因此在課中，教師要為學(xué)生提供自主操作直觀模型的機(jī)會。直觀模型指的是具有一定結(jié)構(gòu)的操作材料和直觀材料，如小棒、計(jì)數(shù)器、長方形紙片或圓形紙片等。操作本身不是目的，而是為了促進(jìn)算理的直觀化和思維的可視化，強(qiáng)調(diào)的是學(xué)生的自主探究。教師要給學(xué)生獨(dú)立思考、自主操作的機(jī)會，并適時(shí)點(diǎn)撥引導(dǎo)，實(shí)現(xiàn)從直觀操作到符號表達(dá)的轉(zhuǎn)化。

三、推演：字母表達(dá)，解釋算理

課程標(biāo)準(zhǔn)指出：推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程；推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理，兩種推理的功能不同，卻相輔相成。在計(jì)算教學(xué)中，教師可以根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)讓學(xué)生運(yùn)用合情推理探索運(yùn)算的規(guī)律，運(yùn)用演繹推理解釋算理。

例如，在教學(xué)“乘法分配律”一課時(shí)，讓學(xué)生經(jīng)歷“大膽猜想—舉例驗(yàn)證—得出結(jié)論”的學(xué)習(xí)活動后，得到乘法分配律的模型：（a+b）c=ac+bc。這個(gè)活動過程應(yīng)該既是學(xué)生舉例探索的過程，也是學(xué)生運(yùn)用合情推理不完全歸納運(yùn)算規(guī)律的過程，但多數(shù)學(xué)生的思維停留在了探索規(guī)律的層面，并沒有深究乘法分配律的意義，因而學(xué)生的推理能力的訓(xùn)練效果大打折扣，不明算理致使他們在運(yùn)用乘法分配律計(jì)算時(shí)錯(cuò)誤百出。

筆者在此基礎(chǔ)上深入一步，引入演繹推理，以此提升學(xué)生的運(yùn)算水平。首先引導(dǎo)學(xué)生基于乘法的意義想一想（a+b）c表示的意思（c個(gè)“a+b”相加），然后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行轉(zhuǎn)化表達(dá)“（a+b）+（a+b）+（a+b）+……”（一共是c 個(gè)“a+b”相加）。繼而利用交換律將c個(gè)a 加在一起，再將c個(gè)b 加在一起，即（a+a+a+……）+（b+b+b+……）。最后利用乘法意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，c個(gè)a相加可以簡寫為ac，c個(gè)b相加可以簡寫為bc，從而運(yùn)用演繹推理的方法證明了乘法分配律（a+b）c=ac+bc 的合理性。這一教學(xué)過程，筆者引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用字母解釋算理，不但讓學(xué)生知其然，又知其所以然，更讓合情推理與演繹推理相互補(bǔ)充，從而在發(fā)展學(xué)生的推理能力的基礎(chǔ)上提高學(xué)生的運(yùn)算水平。

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾說：“真正的數(shù)學(xué)家常常憑借數(shù)學(xué)的直覺思維做出各種猜想，然后加以證實(shí)?！币虼嗽谶\(yùn)算教學(xué)中，教師要創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫?，給學(xué)生“大膽想”的空間，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，還要借助字母的表達(dá)式教給學(xué)生“小心證”的方法，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維。

四、悟道：整體建構(gòu)，打通算理

數(shù)學(xué)是一門邏輯性、系統(tǒng)性很強(qiáng)的學(xué)科。數(shù)學(xué)內(nèi)容本身就是一個(gè)整體，它是由若干知識建構(gòu)起來的具有嚴(yán)密邏輯關(guān)系的系統(tǒng)，前面的知識是后面知識的基礎(chǔ)，后面的知識又是前面知識的延伸。因此，在運(yùn)算教學(xué)中，教師要樹立整體意識，適時(shí)幫助學(xué)生“回頭看”，打通算理，實(shí)現(xiàn)整體建構(gòu)。

例如，在教學(xué)“同分母分?jǐn)?shù)加減法”一課時(shí)，學(xué)生得出“分母不變，分子相加減”的算法后，筆者適時(shí)來個(gè)“回馬槍”，引導(dǎo)學(xué)生回顧整數(shù)、小數(shù)的加減法，幫助學(xué)生理解算理。在學(xué)生思考與交流后，筆者讓學(xué)生觀察和思考一組算式：4+3，400+300，0.4+學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)，這些算式的數(shù)的類型看似不同，但計(jì)算方法卻有相同之處：每個(gè)算式都有“4+3=7”這一步。筆者追問：“那它們的結(jié)果為什么不同呢？”學(xué)生發(fā)現(xiàn)是因?yàn)橛?jì)數(shù)單位不同。這樣就順利溝通了知識間的聯(lián)系：不論是整數(shù)、小數(shù)還是分?jǐn)?shù)加法，其算法其實(shí)就是把相同計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)進(jìn)行累加，“分母不變”就是計(jì)數(shù)單位不變，“分子相加”就是計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)相加。

圖2

再如，在教學(xué)“三位數(shù)乘兩位數(shù)”一課時(shí)，學(xué)生根據(jù)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的計(jì)算方法類推“三位數(shù)乘三位數(shù)”的計(jì)算方法，還發(fā)現(xiàn)了它們的計(jì)算方法是相同的。此時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生“回頭看”，依次回顧“兩位數(shù)乘一位數(shù)”“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”和“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的算法，并提問：“觀察這些豎式，你有什么發(fā)現(xiàn)？”學(xué)生在思考后發(fā)現(xiàn)，豎式中如果第二個(gè)因數(shù)是一位數(shù)，乘得的積就有一層，如果第二個(gè)因數(shù)是兩位數(shù)，乘得的積就有兩層……第一層的積都表示幾個(gè)一，第二層的積都表示幾個(gè)十。接著，教師引導(dǎo)學(xué)生推測：“如果第二個(gè)因數(shù)是三位數(shù)，它們的積會有幾層？又表示什么？”經(jīng)過探究，學(xué)生不但明白了算法，還理解了豎式計(jì)算的算理：“豎式計(jì)算的過程，其實(shí)就是先分后合的過程，也就是先分別算有幾個(gè)一、幾個(gè)十、幾個(gè)百，再合起來。”至此，學(xué)生在整體建構(gòu)中厘清了整數(shù)乘法的算理。

圖3

教學(xué)實(shí)踐證明，掌握知識的整體結(jié)構(gòu)有助于理解知識和形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在學(xué)生初步理解了某一算法后，教師適時(shí)“回頭看”，從整體上打通算理，能起到四兩撥千斤之效。這樣教學(xué)，學(xué)生才能真正悟到其中的道理。整體建構(gòu)能讓學(xué)生的學(xué)習(xí)從一種混沌的模糊狀態(tài)提升為一種有意義、有結(jié)構(gòu)的狀態(tài)。

五、貫通：問題解決，應(yīng)用算理

好的問題情境是選擇合理運(yùn)算方法的敲門磚，更是檢驗(yàn)學(xué)生對算理的理解的試金石。在計(jì)算練習(xí)的環(huán)節(jié)，仍然需要教師創(chuàng)設(shè)合理的情境讓學(xué)生基于算理的理解運(yùn)用運(yùn)算技能，在實(shí)際應(yīng)用中對算理達(dá)到形式化的理解，提升運(yùn)算水平。

例如，在教學(xué)“三位數(shù)乘兩位數(shù)”一課時(shí)，筆者創(chuàng)設(shè)問題情境：A 市到F 市一日游每人309元，一個(gè)旅游團(tuán)有21 名游客。引導(dǎo)學(xué)生提出問題“一共要花多少錢”，在學(xué)生列出算式并說明為什么用乘法的基礎(chǔ)上，筆者提出了一個(gè)問題：“有個(gè)同學(xué)計(jì)算的結(jié)果是8325，他算得對不對呢？”在檢驗(yàn)這個(gè)答案時(shí)，有的學(xué)生想到了看尾數(shù)的方法，309 的個(gè)位和21的個(gè)位相乘的積應(yīng)該是9，不應(yīng)該是5，所以這個(gè)答案是錯(cuò)的。還有的學(xué)生想到了估算的方法，把309 看 成300，把21 看 成20，3000 乘20 的 積 是6000，實(shí)際的積應(yīng)該是6000 多，不可能是8000 多。學(xué)生在理解算式含義的基礎(chǔ)上靈活地選擇合理的方法進(jìn)行檢驗(yàn)。

在此基礎(chǔ)上，筆者繼續(xù)創(chuàng)設(shè)情境：旅行社的阿姨想用計(jì)算器來算309×21，可是數(shù)字鍵“1”壞了，你能幫阿姨想個(gè)辦法用計(jì)算器算出309×21 的結(jié)果嗎？學(xué)生給出不少方法：（1）309×20+309；（2）309×22-309；（3）309×7×3……學(xué)生在幫助旅行社阿姨解決問題的過程中，貫通了不同算法之間的聯(lián)系，加深了對算理的理解與感悟，發(fā)展了高階思維。

從創(chuàng)設(shè)情境到解決問題的過程，是學(xué)生對算法從認(rèn)知到熟知，對算理從直觀理解到應(yīng)用理解的過程。事實(shí)上，學(xué)生應(yīng)用抽象的算理解決現(xiàn)實(shí)問題是衡量其運(yùn)算能力的標(biāo)準(zhǔn)，因此，在練習(xí)環(huán)節(jié)，教師應(yīng)讓學(xué)生用算理解決實(shí)際問題，從而發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力。

總之，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力并非一朝一夕能完成，在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，教師要善于啟智、操作、解釋、串連和應(yīng)用，避免讓學(xué)生機(jī)械計(jì)算，并能根據(jù)學(xué)生的心理特征和數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)不斷革新教學(xué)方式，循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力。