有序表征：認(rèn)知從“呈現(xiàn)”走向“發(fā)現(xiàn)”
——以“用列舉的策略解決實(shí)際問題”教學(xué)為例

江蘇如皋市外國語學(xué)校（226500） 丁 洪 顧劉兵

“用列舉的策略解決實(shí)際問題”是蘇教版教材五年級上冊編排的“策略學(xué)習(xí)”的專題活動，它是運(yùn)用策略解決實(shí)際問題的種子課。從表征需求看，問題過程復(fù)雜，階段結(jié)果多樣，一一呈現(xiàn)可以消除誤解，策略意識的激發(fā)由內(nèi)而外；從表征要點(diǎn)看，旨在引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷策略的生長過程，感悟“不重復(fù)和不遺漏”的操作關(guān)鍵，策略思考的提煉由粗變精；從表征價值看，可以解決顯性問題，還可以探究隱性規(guī)律，策略認(rèn)知的發(fā)展由近及遠(yuǎn)。問題是，“如何做到呈現(xiàn)過程有條不紊，有針對性地解決問題？”“如何做到發(fā)現(xiàn)規(guī)律絲絲入扣，有系統(tǒng)性地探究聯(lián)系？”“如何處理好呈現(xiàn)和發(fā)現(xiàn)的關(guān)系，使得策略認(rèn)知螺旋上升和有序建構(gòu)？”，弄清楚這些核心問題才有助于有效開展列舉策略的教學(xué)。

一、有序呈現(xiàn)過程，解決顯性問題

策略是指導(dǎo)數(shù)學(xué)活動的計(jì)劃、方案和技巧，是對具體數(shù)學(xué)認(rèn)知的調(diào)控、修正和優(yōu)化。對小學(xué)生而言，策略學(xué)習(xí)離不開具體問題情境、過程充分經(jīng)歷和經(jīng)驗(yàn)合理對接。

1.關(guān)鍵事件“看得見”

策略學(xué)習(xí)需要情境，在具體情境中，某些環(huán)節(jié)、片段或案例發(fā)揮的價值較大，這樣的對象可稱為策略學(xué)習(xí)的關(guān)鍵事件。

以A 教學(xué)為例，它是圍繞南通洲際綠博園設(shè)計(jì)情境。首先，用視頻形式帶領(lǐng)學(xué)生欣賞典型景點(diǎn)，如“梯田花海”“熱帶名花雨林館”和“木化石風(fēng)情園”等；公布“今日行程”，即“種植基地”“時光隧道”“美食區(qū)”和“娛樂區(qū)”，將學(xué)習(xí)內(nèi)容分別嵌于活動板塊，整體勾勒出關(guān)鍵事件的節(jié)點(diǎn)和流程。B 教學(xué)是改造蘇教版教材中的例題，將“怎樣圍面積最大？”的線性思考變成“要圍一個面積為20 平方米的長方形花圃，如果22 根1 米長的木條全部用完，且不能折斷，這個任務(wù)能完成嗎？”的多元思辨，展示過程中緊扣“周長一定時，面積能否符合要求？”和“面積一定時，周長是否滿足需求？”這兩個關(guān)鍵事件，同樣架構(gòu)了整個教學(xué)時空。

顯然，以上兩個教學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵事件的角色定位和演繹方式明顯不同：A 教學(xué)側(cè)重生活情境的系統(tǒng)性，關(guān)鍵事件先預(yù)設(shè)再展開；B 教學(xué)側(cè)重?cái)?shù)學(xué)問題的思辨性，關(guān)鍵事件先生動再深刻，但這兩個教學(xué)的可視化訴求又有一致性。

2.過程經(jīng)歷“走得穩(wěn)”

認(rèn)知是人最基本的心理過程，它特別強(qiáng)調(diào)通過必要的信息加工獲取知識。因此，為了增強(qiáng)心理體驗(yàn)的強(qiáng)度，同時提高信息加工的效度，過程經(jīng)歷需要考量“是否充分、是否完備和是否穩(wěn)妥”，這是策略認(rèn)知發(fā)展的要求。

以A 教學(xué)為例，先在“種植基地”中出示“王大叔用22根1米長的木條圍一個長方形花圃，怎樣圍面積最大？”的問題，驅(qū)動學(xué)生分析已知條件和問題，得到“周長是22 米，可以圍成大小不同的長方形”和“圍成的長方形的長和寬都是整米數(shù)”的結(jié)論，這里主要將生活信息加工成數(shù)學(xué)信息。接著，通過問題“你打算怎樣解決上面的問題？”引導(dǎo)學(xué)生提出“用22 根小棒擺出不同的長方形，再分別求出它們的面積”和“先求出長方形長與寬的和，再通過列舉求出面積各是多少”的方案，這里主要是將數(shù)學(xué)信息轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)思維。然后，創(chuàng)設(shè)自主探究活動，引導(dǎo)學(xué)生先在活動單上記錄過程，再在小組內(nèi)交流、互動和點(diǎn)評，直至全班展示匯報。由匯報結(jié)果知，從方法層面上看，有畫出過程和計(jì)算過程之別；從思維層面上看，有推進(jìn)有序和推進(jìn)雜亂無章之分；從結(jié)果層面上看，有解決問題和阻礙結(jié)論之態(tài)。對于學(xué)生充滿生機(jī)和活力的原創(chuàng)作品，教師應(yīng)當(dāng)盡可能地展示和對比，還要回溯到問題原點(diǎn)，考量“長方形面積大小”的決定因素，順勢鎖定長和寬的乘法組合，有機(jī)滲透二維平面觀念，這里主要將數(shù)學(xué)思維加工成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。最后，鼓勵學(xué)生緊扣問題的本源性結(jié)構(gòu)，在表格中快速、有序地列舉所有可能，對應(yīng)計(jì)算各自面積后，獲得“長6 米、寬5 米時，長方形面積最大”的終極結(jié)論，這里主要將數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)加工成數(shù)學(xué)路徑。

以B 教學(xué)為例，教師將教材中的例題改編成研學(xué)單，讓學(xué)生課前先嘗試探究問題“王大伯想用22根1 米長的木條圍一個面積為20 平方米的長方形花圃。如果22 根木條要全部用完，而且不能折斷，你覺得他能完成這一任務(wù)嗎？”。這種前測設(shè)計(jì)，從學(xué)的角度看，能為學(xué)生的自我挑戰(zhàn)提供平臺，而且時間充裕，學(xué)生可以更好地思考和表征，盡己所能，不留遺憾；從教的角度看，教師可以了解和捕捉學(xué)生的思維過程，感受他們的認(rèn)知傾向、表達(dá)習(xí)慣和思維質(zhì)量，有效彌補(bǔ)了解不全、交流倉促和即時評價有局限的不足，真正做到知己知彼，有的放矢。回到課堂上，教師首先組織學(xué)生在小組內(nèi)交流各自的方法和結(jié)論，并展示典型作品：第一種是“尾巴型”，先設(shè)計(jì)長5 米、寬4 米的長方形，再將剩下的4米長的木條接在圖形尾部；第二種是“靠墻型”，設(shè)計(jì)長20 米、寬1 米的長方形，這個長方形的一條長邊是靠墻的；第三種是“支架型”，先設(shè)計(jì)長5 米、寬4 米的長方形，再將剩下的4 根木條分別放在圖形四個角的下方，這樣就將原來設(shè)計(jì)的長方形支撐起來了。學(xué)生的評價頭頭是道：有學(xué)生認(rèn)為“尾巴型”沒有考慮“22 根木條要全部用完”這個條件，可謂“一針見血”；有學(xué)生認(rèn)為“靠墻型”雖然用完了所有木條，但是否靠墻值得商榷，而且既然可以一面靠墻，那么是否可以兩面、三面靠墻呢？可謂“面面俱到”；有學(xué)生認(rèn)為“支架型”雖然有意思，但是在長方形面積不變的情況下，除了四個角可以放置木條，其他很多地方都可以，結(jié)論不唯一和不明確，可謂“絲絲入扣”。另外，有學(xué)生認(rèn)為不能完成任務(wù)：一是通過周長是22 米，分別列舉不同長方形的長和寬，計(jì)算后得出面積都不等于20 平方米；二是通過面積是20 平方米，分別列舉不同長方形的長和寬，計(jì)算后得出周長都不等于22米。

顯然，通過以上兩個案例可以發(fā)現(xiàn)策略學(xué)習(xí)的共性，那就是策略推進(jìn)過程要想走得穩(wěn)，既要有機(jī)結(jié)合問題的精神和實(shí)質(zhì)，也要適時凸顯策略的特質(zhì)和魅力，兩者不可偏廢，否則策略學(xué)習(xí)猶如空中樓閣，看似有結(jié)論，實(shí)則無過程。

3.經(jīng)驗(yàn)對接“理得順”

經(jīng)驗(yàn)可以分為兩個層面。一是感性層面的即時經(jīng)驗(yàn)，它可以是本節(jié)課內(nèi)的，也可以是本單元內(nèi)的，經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生的時間比較近，經(jīng)驗(yàn)載體相對集中；二是潛意識層面的過往經(jīng)驗(yàn)，它可能是跨學(xué)期的，或者是跨學(xué)段的，經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生的時間比較長，經(jīng)驗(yàn)載體相對分散。

在A 教學(xué)中，首先讓學(xué)生通過思考“回顧解決問題的過程，你有什么體會？”，梳理出“有些實(shí)際問題可以通過列舉來解決”“按一定的順序列舉，做到不重復(fù)、不遺漏”和“要對列舉出的結(jié)果進(jìn)行比較，做出選擇”的即時經(jīng)驗(yàn)，助推經(jīng)驗(yàn)的沉淀。接著，在“時光隧道”環(huán)節(jié)，通過“在以前的學(xué)習(xí)中，我們曾經(jīng)運(yùn)用列舉的策略解決過哪些問題？”驅(qū)動學(xué)生自主回憶和小組內(nèi)碰撞，梳理出“一組一組地寫出10可以分成幾和幾”“用12 個邊長為1 厘米的正方形拼成不同的長方形”和“有序地寫出3 張數(shù)字卡片能組成的所有三位數(shù)”等策略，雖然整數(shù)的分成、圖形的拼成和多位數(shù)的組成等只是過往經(jīng)驗(yàn)的冰山一角，但是它們的存在足以說明列舉策略的客觀性、適用性和價值性。與此對應(yīng)，在B 教學(xué)中，問題情境和問題內(nèi)容雖然不盡相同，但是經(jīng)驗(yàn)對接這件事一直在發(fā)生和發(fā)展。有趣的是，它們其實(shí)都在努力做到即時經(jīng)驗(yàn)與過往經(jīng)驗(yàn)的碰撞、對接和交融，使得策略經(jīng)驗(yàn)從簡單固化走向了路徑塑化（如圖1）。

圖1

顯然，A教學(xué)提供的顯性問題相對封閉，B教學(xué)創(chuàng)造的顯性問題相對開放，但是它們都需要通過各自顯性問題的順利解決，借助關(guān)鍵事件的聚焦、過程經(jīng)歷的體驗(yàn)和經(jīng)驗(yàn)的無縫對接，使得豐盈的體驗(yàn)?zāi)苤Σ呗缘母兄透形颉?/p>

二、有序發(fā)現(xiàn)聯(lián)系，探究隱性規(guī)律

以上學(xué)習(xí)只是對特定信息進(jìn)行了必要的對比、抽象和提煉，學(xué)生的策略認(rèn)知處于低水平運(yùn)行狀態(tài)。其實(shí)，可以適度遷移運(yùn)用和適時深度加工，以挖掘信息之間的聯(lián)系，探明隱藏于現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)規(guī)律，這樣的策略體驗(yàn)才完整、系統(tǒng)和有價值。

1.靈活遷移“用得上”

首先，出示“哪個時點(diǎn)會響鈴？”的問題，引導(dǎo)學(xué)生分析已有鬧鈴信息，歸納出“每間隔40 分鐘響一次鈴”的規(guī)律，然后進(jìn)行列舉和判斷。這里的具體情境雖然有變，但是列舉需求仍然不變。接著，出示“一共有多少種不同的搭配？”的問題，引導(dǎo)學(xué)生先從一種葷菜開始列舉，得到葷素4 種不同搭配，然后以此類推，得到“3 個4 種，一共就是12 種”的結(jié)論；還可以從一種素菜開始列舉，得到素葷3 種不同搭配，然后以此類推，得到“4個3種，一共就是12 種”的結(jié)論。這里的思維起點(diǎn)雖然不同，但是列舉策略異曲同工。最后，出示“可能得到多少環(huán)？”的問題，引導(dǎo)學(xué)生剖析“投中兩次”的內(nèi)涵，即“環(huán)數(shù)相同”和“環(huán)數(shù)不同”兩類，據(jù)此分別進(jìn)行列舉。需要注意的是，“8+8=16”和“10+6=16”的投中過程不同，但從問題“多少環(huán)”這個角度考量，它們又歸屬于同一種環(huán)數(shù)，這里的列舉意圖雖然明顯，但是列舉結(jié)果仍需整合。顯然，單線型列舉是組合型列舉和分類型列舉的基礎(chǔ)，了解它們之間的有機(jī)聯(lián)系，可以更好地解構(gòu)復(fù)雜問題和把握策略方向。

2.模型建構(gòu)“想得透”

模型建構(gòu)是用聯(lián)系的視角對數(shù)學(xué)信息進(jìn)行再加工，這個過程數(shù)學(xué)味濃郁，“一案一得”是常用的方法和路徑。比如，在“誰的面積最大？”的問題中，引導(dǎo)學(xué)生“從左往右”觀察長和寬的單獨(dú)變化，“從上往下”觀察長和寬的組合變化，歸納出“周長一定時，長和寬越接近，面積就越大”的規(guī)律；在“哪個時點(diǎn)會響鈴？”的問題中，引導(dǎo)學(xué)生“從前往后”觀察響鈴的時點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)“相差以兩小時為一個周期”的周期規(guī)律；在“一共有多少種不同的搭配？”的問題中，引導(dǎo)學(xué)生按照“先后順序”觀察搭配對象的數(shù)量，發(fā)現(xiàn)“3 個4 種”和“4 個3 種”的內(nèi)在聯(lián)系，歸納出“搭配數(shù)量×搭配數(shù)量=搭配結(jié)果”的乘法規(guī)律；在“可能得到多少環(huán)？”的問題中，引導(dǎo)學(xué)生從“先分再合”的角度觀察列舉過程，發(fā)現(xiàn)看似復(fù)雜的問題其實(shí)可以合理分解，感悟分類討論解決問題的疊加規(guī)律。顯然，模型建構(gòu)難度不一，不能要求學(xué)生一下子就領(lǐng)悟，尤其對解決相似的問題有困難時，仍然可以回到問題起點(diǎn)，一一列舉解決問題后再次建模。

3.思想沉淀“帶得走”

數(shù)學(xué)思想是系統(tǒng)化、理論化、理性化了的數(shù)學(xué)知識，是對數(shù)學(xué)科學(xué)研究的本質(zhì)及規(guī)律的深刻認(rèn)識。這樣看來，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“根”和“魂”，是學(xué)生能從數(shù)學(xué)學(xué)科中帶得走的寶貴財(cái)富，策略學(xué)習(xí)同樣需要數(shù)學(xué)思想適時介入、適度發(fā)展和適切點(diǎn)化。比如，在“誰的面積最大？”的問題中，要使長方形面積的大小可視化，就可以滲透“數(shù)形結(jié)合”的基本思想。這樣除了有數(shù)據(jù)支撐的理性推理，還有感性體驗(yàn)的直觀把握，使得策略學(xué)習(xí)入眼入心、印象深刻；在“一共有多少種不同的搭配？”的問題中，為了使搭配過程和結(jié)果得以簡潔化，可以滲透“整體思考”的基本思想，無論列舉起點(diǎn)怎么變化，只要搭配的數(shù)量不變，它們的搭配結(jié)果就對應(yīng)不變，策略學(xué)習(xí)從有限列舉走向了無限思考；在“可能得到多少環(huán)？”的問題中，為了使復(fù)雜問題的內(nèi)涵表征序列化，可以滲透“分類討論”的基本思想，這樣既有分門別類的單點(diǎn)突破，又有井然有序的多點(diǎn)整合，策略學(xué)習(xí)從有序解構(gòu)走向了合理重構(gòu)，等等。顯然，有了數(shù)學(xué)思想的充分浸潤，策略學(xué)習(xí)的過程將更有生命力，策略內(nèi)化為數(shù)學(xué)素養(yǎng)也就更加自然、順暢和高效。

綜上所述，“呈現(xiàn)過程”是列舉策略學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)工作和必由路徑，主要通過不同過程的展示、評價和概括，逐步抽象共性的認(rèn)知，感知策略存在的環(huán)境、把脈策略運(yùn)行的要點(diǎn)和辨析策略表征的對象；“發(fā)現(xiàn)聯(lián)系”是列舉策略學(xué)習(xí)的有序延伸和必要拓展，主要通過不同情境的策略遷移、不同模型的順利建構(gòu)和不同思想的有序滲透，助力學(xué)生認(rèn)知水平的逐步提升。需要說明的是，兩者雖然可以和諧共生、循環(huán)往復(fù)，但是切莫急功近利、本末倒置。