例談分類(lèi)討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用

張家豪

（徽縣虞關(guān)鄉(xiāng)初級(jí)中學(xué) 甘肅 徽縣 742300）

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂,它們都具有持續(xù)性、可遷移性，對(duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)具有導(dǎo)向性作用。分類(lèi)討論思想體現(xiàn)出了人們分析和解決問(wèn)題的先進(jìn)智慧，不論是在生產(chǎn)活動(dòng)、科學(xué)實(shí)驗(yàn)，還是日常生活中都會(huì)用到這種思維，它是從古至今人們常用的重要思想方法之一，當(dāng)然，分類(lèi)討論思想也符合初中生的思維發(fā)展特點(diǎn)。因此在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要注重?cái)?shù)學(xué)分類(lèi)討論思想方法的滲透,它能有效地幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)的解題思路，提升數(shù)學(xué)思維能力。

近幾年來(lái)，多地中考數(shù)學(xué)試題中頻繁涉及“分類(lèi)討論”的有關(guān)問(wèn)題，既是考查學(xué)生對(duì)基本知識(shí)與基本技能的靈活運(yùn)用，又反映出學(xué)生數(shù)學(xué)思維的邏輯性、嚴(yán)謹(jǐn)性與思考問(wèn)題的深度。學(xué)生在解答這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，往往會(huì)因考慮不周全而導(dǎo)致失分。因此，在平時(shí)的教學(xué)與解題訓(xùn)練中，教師完全可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，在課堂教學(xué)中結(jié)合具體內(nèi)容，積極引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考、交流分享等方式，讓學(xué)生從中獲得新的認(rèn)識(shí)、感悟到新的思想內(nèi)涵，努力培養(yǎng)學(xué)生思考問(wèn)題的條理性和嚴(yán)謹(jǐn)性，不斷提高學(xué)生分類(lèi)討論思想的自覺(jué)意識(shí)與靈活運(yùn)用的能力。下面筆者結(jié)合具體案例談?wù)?自己在初中數(shù)學(xué)日常教學(xué)中對(duì)分類(lèi)討論思想運(yùn)用的一些做法與體會(huì)。

1.在定理證明題中恰當(dāng)運(yùn)用分類(lèi)討論思想

定理證明是指數(shù)學(xué)領(lǐng)域中對(duì)臆測(cè)的定理尋求一個(gè)證明，證明定理時(shí)，不僅需要有根據(jù)假設(shè)進(jìn)行演繹的能力，而且需要有某些知覺(jué)的技巧，這是一項(xiàng)需要智慧和能力才能完成的任務(wù)。在定理教學(xué)中，我們要多聯(lián)系已有的數(shù)學(xué)知識(shí)，多角度探究定理的證明方法，在此過(guò)程中加強(qiáng)對(duì)分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，讓定理證明教學(xué)更加完美，更具數(shù)學(xué)內(nèi)涵。如人教版9年級(jí)上冊(cè)第86頁(yè)，圓周角定理的證明問(wèn)題。

教學(xué)分析：圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。證明時(shí)在☉O上任取一個(gè)圓周角∠BAC,沿AO所在直線(xiàn)將圓對(duì)折，由于點(diǎn)A的位置不同，折痕會(huì)有三種不同的情況，分別是（1）在圓周角的一條邊上；（2）在圓周角的內(nèi)部；（3）在圓周角的外部。折痕所在的位置則充分體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想。引導(dǎo)學(xué)生分析第（1）種情況時(shí)，可以很簡(jiǎn)單的就推導(dǎo)出圓心O點(diǎn)在∠BAC的一條邊上。因?yàn)镺A=OC，所以∠A=∠C，又因?yàn)椤螧OC=∠A+∠C所以∠A=1/2∠BOC。對(duì)于第（2）（3）種情況，可以通過(guò)添加輔助線(xiàn)的方法,將它們轉(zhuǎn)化為第（1）種情況，從而得到相同的結(jié)論。在定理證明題的教學(xué)中通過(guò)正確應(yīng)用分類(lèi)討論思想，使復(fù)雜的問(wèn)題得到清晰、完整、嚴(yán)密的解答。圓周角定理的證明，整個(gè)過(guò)程不但思路明確，方法簡(jiǎn)單，而且可以按照既定的分類(lèi)步驟有序推進(jìn)，既能訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維的敏捷性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，又能豐富學(xué)生的知識(shí)視野，讓原本無(wú)處著手的問(wèn)題分析情況變的有條不紊了。

2.在含參數(shù)的函數(shù)與方程題中綜合運(yùn)用分類(lèi)討論思想

函數(shù)與方程是初中數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”模塊中最為重要的組成部分，這類(lèi)問(wèn)題的解決也一直是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)。同時(shí)“函數(shù)思想”“方程思想”等又是重要的數(shù)學(xué)思想方法。在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，準(zhǔn)確靈活地運(yùn)用分類(lèi)討論思想能夠讓解題過(guò)程更完善。如在已知函數(shù)y=（t-1）x2+（t-2）（t是實(shí)數(shù)），如果函數(shù)的圖像和x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求t的值。針對(duì)這類(lèi)包含函數(shù)方程的問(wèn)題解決中，首先要對(duì)涉及的函數(shù)和方程進(jìn)行具體的以下教學(xué)分析。

教學(xué)分析：本體給定的條件是函數(shù)，但不能確定是一次函數(shù)還是二次函數(shù)，所以需要根據(jù)t的不同取值，進(jìn)行分類(lèi)討論。當(dāng)t-1=0,即t=1時(shí)，函數(shù)就是一個(gè)一次函數(shù)y=-x-1,它與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)（-1,0）；當(dāng)t-1≠0時(shí)，函數(shù)就是一個(gè)二次函數(shù)y=（t-1）x2+（t-2）x-1，要使得函數(shù)圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，需滿(mǎn)足Δ=（t-2）2+4（t-1）=0，得t=0，拋物線(xiàn)y=-x2-2x-1的頂點(diǎn)（-1,0）在x軸上。

又如：關(guān)于x的方程（k-1）x2-4（k+1）x+4k=0，當(dāng)x在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)時(shí)存在實(shí)數(shù)根，求滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)k的取值范圍?？吹竭@類(lèi)問(wèn)題，教師首先要將x的取值范圍進(jìn)行針對(duì)性的分析，從實(shí)數(shù)的范圍界定之后，進(jìn)而根據(jù)不同的情況開(kāi)展分類(lèi)討論分析。

教學(xué)分析：已知并未說(shuō)明是關(guān)于x的什么方程，因此，就要對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)是否為0進(jìn)行分類(lèi)討論.顯然當(dāng)k-1=0，即k=1時(shí)，該方程可整理為一元一次方程-8x+4=0,解得實(shí)數(shù)根。而當(dāng)k-1≠0，即k≠1時(shí),方程為一元二次方程，由方程存在實(shí)數(shù)根的條件，可得Δ=[-4(k+1)]2-16k(k-1)≥0，解得，所以當(dāng)且k≠1時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根。綜上所述，時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根。上述有關(guān)函數(shù)與方程實(shí)際應(yīng)用的解題教學(xué)，通過(guò)對(duì)定義本身的解讀。如果題設(shè)條件中沒(méi)有指明相關(guān)字母的取值，那么由于字母本身的不確定性，必須考慮字母所有可能的取值，結(jié)合相關(guān)知識(shí)體系進(jìn)行分類(lèi)討論。

3.在動(dòng)態(tài)問(wèn)題中精準(zhǔn)運(yùn)用分類(lèi)討論思想

動(dòng)態(tài)問(wèn)題是數(shù)學(xué)中“經(jīng)久不衰”的經(jīng)典問(wèn)題，圖形中的點(diǎn)、線(xiàn)的運(yùn)動(dòng)，構(gòu)成了數(shù)學(xué)中的一個(gè)新問(wèn)題——?jiǎng)討B(tài)幾何問(wèn)題。在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，由于學(xué)生分類(lèi)討論的意識(shí)不敏感，畫(huà)動(dòng)態(tài)變換過(guò)程中的靜態(tài)示意圖的習(xí)慣沒(méi)養(yǎng)成。對(duì)數(shù)學(xué)分類(lèi)討論思想的重視程度僅限于教師強(qiáng)調(diào)后的被動(dòng)了解或接受,自主研究、自主提煉意識(shí)不到位,數(shù)學(xué)解題策略與思考途徑、步驟等概括不明顯，導(dǎo)致解題過(guò)程不完備，錯(cuò)解、漏解現(xiàn)象迭出。如圖，AB是O的直徑，弦BC=2cm，F(xiàn)是弦BC的中點(diǎn)，∠ABC=60°，若動(dòng)點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)沿著A→B→A方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0≤t<3），連接EF,當(dāng)ΔBEF是直角三角形時(shí)，求t（s）的值。

教學(xué)分析：若ΔBEF是直角三角形，則有兩種情況：∠BFE=90°,∠BEF=90°；在上述兩種情況所得到的直角三角形中，已知BC邊和∠B的度數(shù)，即可求得BE的長(zhǎng)；AB的長(zhǎng)易求得，由AE=AB-BE即可求出AE的長(zhǎng)，也就能得出E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離，根據(jù)時(shí)間＝路程÷速度即可求得t的值。

解析：∵AB是0的直徑，∴∠ACB=90°，RtΔABC中，BC=2，∠ABC=60°，∴AB=2BC=4cm。①當(dāng)∠BFE=90°時(shí)，RtΔBEF中，∠ABC=60°,則BE=2BF=2cm，故此時(shí)AE=AB-BE=2cm，∴E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離為：2cm，故t=1s，所以當(dāng)∠BFE=90°時(shí)，t=1s；②當(dāng)∠BEF=90°時(shí)，同①可求得BE=0.5cm，此時(shí)AE=AB-BE=3.5cm，∴E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離為：3.5cm，故t=1.75s；③當(dāng)E從B回到O的過(guò)程中，再運(yùn)動(dòng)的距離是：2（4-3.5）=1cm,則時(shí)間是：1.75+0.5=2.25s。

綜合上面三種情況可以得出這樣的結(jié)論，當(dāng)t的值為1s或1.75s和2.25s時(shí)，ΔBEF是直角三角形。當(dāng)然某些問(wèn)題在一級(jí)討論的基礎(chǔ)上還需進(jìn)行二級(jí)討論，如第二類(lèi)當(dāng)∠BEF=90°時(shí)，又分為A→B和B→A兩種情況?？傊诸?lèi)的結(jié)果只能讓具體的問(wèn)題更加細(xì)節(jié)化。

4.在生活問(wèn)題中有效運(yùn)用分類(lèi)討論思想

在一些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中，也存在由于變量的不同取值導(dǎo)致結(jié)果不同而需要進(jìn)行分類(lèi)討論的情況。解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，需分析問(wèn)題變量在整個(gè)過(guò)程中的不同取值產(chǎn)生的不同結(jié)果，把他們一一羅列出來(lái)，系統(tǒng)地進(jìn)行分類(lèi)，才能正確求解，讓問(wèn)題的解決更趨全面。如某超市五一期間舉行促銷(xiāo)優(yōu)惠活動(dòng)，方案一：憑50元錢(qián)購(gòu)買(mǎi)會(huì)員卡，憑會(huì)卡購(gòu)買(mǎi)超市內(nèi)商品享受八折優(yōu)惠；方案二：若不購(gòu)買(mǎi)會(huì)員，則購(gòu)買(mǎi)超市內(nèi)商品只能享受九折優(yōu)惠。若按照方案一購(gòu)買(mǎi)商品應(yīng)付款額為y1元，若按照方案二購(gòu)買(mǎi)商品應(yīng)付款額為y2元，購(gòu)買(mǎi)商品的價(jià)格為x元請(qǐng)用含有x的代數(shù)式表示y1和y2；購(gòu)買(mǎi)商品的價(jià)格在什么范圍內(nèi)，如何選擇購(gòu)買(mǎi)方案更劃算？生活中這樣的數(shù)學(xué)實(shí)際事例比比皆是，要讓數(shù)學(xué)成為學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的工具，分類(lèi)討論這一環(huán)節(jié)必不可少。

教學(xué)分析：（1）y1=50+0.8x，y2=0.9x；（2）當(dāng)y1>y2時(shí)，50+0.8x>0.9x解得x＜ 500；當(dāng)y1=y2，時(shí)，50+0.8x=0.9x,解寫(xiě)x=500；當(dāng)y1500；所以當(dāng)購(gòu)買(mǎi)商品的價(jià)格小于500元時(shí)，選擇方案二更劃算，當(dāng)購(gòu)買(mǎi)商品的價(jià)格等于500元時(shí)，選擇兩種方案一樣劃算，當(dāng)購(gòu)買(mǎi)商品的價(jià)格大于500元時(shí)，選擇方案一更劃算。從整個(gè)教學(xué)的過(guò)程和案例分析我們不難看出，分類(lèi)討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用是極其廣泛的。合理地運(yùn)用分類(lèi)討論方法思想，可以簡(jiǎn)化研究對(duì)象，清楚地暴露問(wèn)題的原有特性，使題目中的限制條件更加明確、問(wèn)題相對(duì)容易解決。當(dāng)然，在運(yùn)用分類(lèi)討論數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題時(shí)，必須明確分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，遵循不重復(fù)、不遺漏的分類(lèi)討論的原則。當(dāng)然，分類(lèi)不是萬(wàn)能的，不是唯一的，能夠避免分類(lèi)討論的要盡量回避，切不可盲目地運(yùn)用，要認(rèn)真審查題目特點(diǎn)，從而提高分類(lèi)討論的效果。

綜上所述，分類(lèi)討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中可以說(shuō)是占據(jù)了主流部分，從分類(lèi)中探討問(wèn)題，在歸納中分類(lèi)梳理，從而達(dá)到解決問(wèn)題，掌握方法的教學(xué)目標(biāo)，這本身就是分類(lèi)討論思想的優(yōu)勢(shì)所在，特別是常常碰見(jiàn)的概率問(wèn)題，在解題當(dāng)中更是蘊(yùn)含豐富的分類(lèi)討論思想方法，只有合理運(yùn)用，才能有效解決數(shù)學(xué)實(shí)踐中的具體問(wèn)題。因此，作為初中數(shù)學(xué)教師，只有在教學(xué)中進(jìn)一步探究分類(lèi)討論教學(xué)的方法和方式，不斷啟智學(xué)生的思辨能力，并創(chuàng)造性的將分類(lèi)討論思想融入到具體的數(shù)學(xué)實(shí)踐中，才能讓數(shù)學(xué)教學(xué)更加突出具體問(wèn)題具體實(shí)踐探究的意義，才能夯實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的基礎(chǔ)。