《立體幾何》的學(xué)法指導(dǎo)

鮑亞杰

立體幾何是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，這個模塊中的大部分知識點都與三維空間有關(guān).要學(xué)好立體幾何，就需建立立體觀念，重視培養(yǎng)邏輯推理能力和空間想象能力.本文就如何學(xué)好立體幾何這部分知識，與同學(xué)們進行一些交流和探討.

一、建立空間觀念，培養(yǎng)空間想象能力

立體幾何主要是研究現(xiàn)實世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系的，因此在學(xué)習(xí)立體幾何時，同學(xué)們可通過以下方式來建立空間觀念，培養(yǎng)空間想象能力.

1.用硬卡紙或木質(zhì)材料制作空間幾何體模型，通過這種方法去認識正方體、三棱錐、三棱柱、四棱臺、圓柱、圓錐等簡單的空間幾何體，以及空間點、直線、平面的位置關(guān)系.經(jīng)歷制作模型和畫圖的過程，同學(xué)們就會對幾何體的組成元素以及簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征了然于心，這對培養(yǎng)同學(xué)們的空間想象能力和直觀想象能力很有幫助.

2.多角度觀察身邊的事物，建立空間觀念.可將我們的教室看作一個長方體;將黑板可以看作一個平面;將天花板上的燈管看作一些直線，仔細觀察，可發(fā)現(xiàn)它們都是平行的.當(dāng)門繞著門軸旋轉(zhuǎn)時，所在的平面始終垂直于地面.這樣就能很直觀地研究直線和平面的位置關(guān)系，也有利于培養(yǎng)空間想象能力.

二、理解并熟記立體幾何中的定義，定理、公理等

立體幾何中的公理、定理和定義是解題的重要依據(jù)，因此理解和熟記這些基礎(chǔ)知識是很有必要的.立體幾何中的公理、定理和定義通?？捎脠D形語言、文字語言和符號語言來表示.在學(xué)習(xí)的過程中，可將三者進行相互轉(zhuǎn)化，這樣有利于理解并熟記立體幾何中的定義、定理、公理等.

例如在學(xué)習(xí)平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理時，可將該定理分別用圖形語言、文字語言和符號語言來表示，如下表所示.

其次，重視定理、公理的推導(dǎo)過程，研究定義、定理、公理的內(nèi)涵和外延，以明確定義、定理、公理的使用方法與范圍，提高應(yīng)用能力.

三、歸納解題的方法

1.轉(zhuǎn)化法

有些立體幾何問題較為復(fù)雜，此時可運用轉(zhuǎn)化法，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識來解題.可通過平移直線，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面角，將二面角的大小轉(zhuǎn)化為平面角，空間距離轉(zhuǎn)化為點到點或點到線的距離.

我們根據(jù)相似三角形的性質(zhì)把空間中另一個平面β內(nèi)的兩條線段的長度比，轉(zhuǎn)化為平面a內(nèi)的兩條線段的比，然后通過解三角形和利用函數(shù)的性質(zhì)求得最值.

例2.如圖2所示，已知正三棱柱ABC-AiBlCI的底面邊長為1，高為8，一質(zhì)點從A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達A1點的最短路徑的長為_____

將幾何體展開，便可將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題.采用轉(zhuǎn)化法解題，能達到化難為易、化繁為簡的效果.

2.構(gòu)造輔助圖形法

在解答立體幾何問題時，可根據(jù)題目的特點，將幾何體特殊化，構(gòu)造一個特殊的幾何模型，將復(fù)雜問題簡化，將陌生的問題變?yōu)槭煜さ膯栴}.

例3.四棱錐P -ABCD的五個頂點都在一個球面上，底面ABCD是邊長為1的正方形，若PA上平面ABCD，PA=√2，則該球的體積為_____.

結(jié)合四棱錐的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造輔助長方體，然后根據(jù)長方體的性質(zhì)及其與外接球的關(guān)系求得球的半徑和體積.

3.添加輔助線

在解答立體幾何問題時，我們經(jīng)常會遇到阻礙，此時可根據(jù)圖形的結(jié)構(gòu)特征，合理添加輔助線，如平行線、垂線、中位線、對角線等，這樣便能運用相關(guān)的定理、公式、定義等來解題.

通過作輔助線PM、PD，便可利用平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊平行以及線面平行的判定定理來證明結(jié)論.

除了上述方法，解答立體幾何問題的方法還有割補法、空間向量法、等體積法等.同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中要不斷積累各種解題方法與技巧，并將其靈活地應(yīng)用與解答題當(dāng)中.

總之，要學(xué)好立體幾何知識，不僅要培養(yǎng)空間想象能力，還需熟練掌握立體幾何的基礎(chǔ)知識.立體幾何并沒有想象中的那么難，同學(xué)們只要樹立學(xué)好立體幾何知識的自信心，結(jié)合生活實際和平面幾何知識，就能學(xué)好立體幾何知識.

（作者單位：江蘇省南京市江寧高級中學(xué)）