例談函數(shù)零點問題中的“找點”方法
——一節(jié)函數(shù)零點問題研究課紀(jì)要

北京市第一七一中學(xué)(100013) 王楨宇

導(dǎo)數(shù)在高考數(shù)學(xué)試題中占有重要地位,也是對于學(xué)生“數(shù)學(xué)運算”素養(yǎng)考查的重要載體,本文旨在通過一道北京高考模擬試題,探討突出“數(shù)學(xué)運算”的課堂設(shè)計,尤其是呈現(xiàn)學(xué)生對于“找點”問題的多角度思考.

1 試題再現(xiàn)

(2021 朝陽區(qū)高三第一學(xué)期期末試卷,第20 題)

已知函數(shù)f(x)=lnx?(a+2)x+ax2(a ∈R).

(I)當(dāng)a=0 時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;

(II)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(III)若f(x)恰有兩個零點,求實數(shù)a的取值范圍.

2 參考答案

(I)略(II)略

(III)由(II)可知:

①當(dāng)a≤0 時,f(x)在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,當(dāng)x=時,f(x) 取得最大值=

(i)當(dāng)?4 ln 2?4≤a≤0 時,所以f(x)在(0,+∞)上至多有一個零點,不符合題意.

(ii) 當(dāng)a e 且因為=?ln(?a)+1+<1?ln(?a)<1?ln e=0,>0,且f(x)在內(nèi)單調(diào)遞增,所以f(x)在內(nèi)有唯一零點.所以當(dāng)a

②當(dāng)0

③當(dāng)a=2 時,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)在(0,+∞)上至多有一個零點,不符合題意.

④當(dāng)a >2 時,f(x)在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減.因為當(dāng)x=時,f(x)取得極大值所以f(x)在(0,+∞)上至多有一個零點,不符合題意.

綜上所述,實數(shù)a的取值范圍是(?∞,?4 ln 2?4).

3 明確問題,突出本質(zhì)

本題通過討論參數(shù)范圍,判斷函數(shù)單調(diào)性,進而確定零點個數(shù),當(dāng)a <0 時,函數(shù)在單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,若函數(shù)存在兩個零點,則需>0,可得a

4 尊重學(xué)生,解法多樣

為了引導(dǎo)學(xué)生探究不同的運算方案,進行比較和歸納,筆者精心設(shè)計,在教學(xué)時充分調(diào)動學(xué)生的積極性,師生進過嘗試、否定、證實等探究活動,得到以下解題思路.

方法1(常規(guī)數(shù)值找點)

方法2(指、對互換找點)

在找點過程中,函數(shù)是對數(shù)函數(shù)時,常借助對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系化簡,過程如下:

因為a

因為a <—4 且ea ∈所以1?ea+e2a >0,f(ea)=a(1?ea+e2a)?2ea <0,所以?x0=ea ∈

方法3(取值范圍放縮)

因為x ∈所以通過對其取值范圍放縮,重構(gòu)函數(shù)解析式,實現(xiàn)找點目的.

方法3.1因為x ∈且ax2<0,所以

錯解舉例: 課堂上,問題的解決其實并非一帆風(fēng)順,多次經(jīng)歷了錯解,反思,修正.在此也舉一錯解,及其調(diào)整過程,還原學(xué)生思維變化全貌.

在完成方法3.1 后,同學(xué)A 提出了自己的解法,他認為,lnx,ax2兩項均為負值,—(a+2)x為正值,方法3.1 去掉了ax2實現(xiàn)放縮,那么能否去掉lnx呢? 經(jīng)過嘗試有了一些想法,所以邀請其板演,過程如下:

因為x ∈且lnx <0,所以f(x)=lnx?(a+2)x+ax2

令?(a+2)+ax2=0,可得x2=當(dāng)a

錯解分析: 首先有同學(xué)懷疑,條件是a 0,y軸右側(cè)的零點顯然在函數(shù)值恒正,不存在使g(x)<0 的點.出現(xiàn)這樣的結(jié)果,說明我們放縮的尺度沒有掌控好,過大了,那么在此基礎(chǔ)如何進行調(diào)整呢,可以預(yù)見的是,需要減小放縮的幅度.經(jīng)過大家的熱烈討論,學(xué)生B 給出了解決方法:

方法3.2因為所以lnx <所以f(x)=lnx?(a+2)x+ax20,且g(0)=?ln 2<=>0,(a

方法4(函數(shù)關(guān)系放縮)

為了簡化函數(shù)解析式形式,學(xué)生提出了構(gòu)造放縮關(guān)系消去二次項ax2的想法,實踐如下:

因為x

為了繼續(xù)消去參數(shù)a可以令x0=ea,故f(ea)

方法5(刪項放縮)

方法5.1(常規(guī)數(shù)值找點): 因為ea ∈代入函數(shù)g(x) 可得:g(ea)=ln ea?aea=a(1?ea)<0,所以?x0=ea ∈<0,則f(x0)<0.

方法5.2(不等式放縮找點): 令g(x)=lnx—ax,可以利用眾所周知的不等式lnx≤x—1(見人教A 版普通高中教科書94 頁練習(xí)2[1])得:g(x)=lnx—ax

5 反思沉淀,總結(jié)提升

通過師、生對本題的探索與思維碰撞,越發(fā)覺得這是一道難得的鍛煉學(xué)生思維能力的好題,尤其是在多種不同解法產(chǎn)生原理和思路的過程中,逐漸對導(dǎo)數(shù)中的找點問題有了更為深入的認識和感悟.師生共同總結(jié)常見找點方法如下:

(3)指數(shù)與對數(shù)運算關(guān)系找點: 利用兩個恒等式loga ax=x及=x轉(zhuǎn)化

(4)對函數(shù)放縮找點:

通常借助ex >x >lnx(x >0),ex >x+1(x ?=0).(見人教A 版普通高中教科書99 頁“綜合運用”第12 題)[1]等常見恒不等式進行放縮或分組放縮.或者借助零點存在的區(qū)間或一些明顯成立的不等式對含x的項進行部分放縮,也可刪去部分可以不參與運算的項,簡化解析式形式.

導(dǎo)數(shù)“找點”計算,涉及到方程、不等式,參數(shù)討論,求導(dǎo)運算、四則運算以及估算等能力,追求本質(zhì)、簡單、自然的解題方法,不僅是課堂教學(xué)的重要環(huán)節(jié),更是培養(yǎng)“數(shù)學(xué)運算”核心素養(yǎng)的必由之路,教師教學(xué)中要舍得把課堂留給學(xué)生,讓學(xué)生切身感受猜想、失敗、修正、成功的歷程,讓思維擦出閃亮火花,照亮未來的科學(xué)之路.