立足基本圖形 積累活動經(jīng)驗 發(fā)展核心素養(yǎng)
——2021年重慶市中考壓軸題第26題的探索

廣東省廣州市第二中學(510530) 代本富

1 題目呈現(xiàn)

(2021年重慶中考數(shù)學第26 題) 在ΔABC中,AB=AC,D是邊BC上一動點,連接AD,將AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至AE的位置,使得∠DAE+∠BAC=180°.

(1)如圖1,當∠BAC=90°時,連接BE,交AC于點F,若BE平分∠ABC,BD=2,求AF的長;

圖1

(2)如圖2,連接BE,取BE的中點G,連接AG,猜想AG與CD存在的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;

圖2

(3)如圖3,在(2)的條件下,連接DG,CE,若∠BAC=120°,當BD >CD,∠AEC=150°時,請直接寫出的值.

圖3

2 試題評析

本題是以幾何變換(旋轉(zhuǎn))為背景的中考壓軸題,將一些常見的基本圖形結(jié)構(gòu)疊加,考查全等三角形的判定和性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),解三角形等知識,涉及的知識面廣,要求學生積累豐富而有效的數(shù)學活動經(jīng)驗,才能識別基本圖形,合理添加輔助線,明確解題思路,從而進行邏輯推理和運算.考查學生推理能力、模型思想、幾何直觀、運算能力等基本素養(yǎng).本題視角眾多,解法多樣,不同層面的學生都可以嘗試求解,符合課程標準和教材對核心知識的教學要求,有利于有效評價和引領(lǐng)教學.

本題三個問題設(shè)置環(huán)環(huán)相扣,層層遞進,從一個特殊狀態(tài)求值,到一般位置探究變化中的不變關(guān)系,最后再給一些特殊條件,導邊導角,挖掘豐富的基本圖形結(jié)構(gòu),利用計算進行推理.

第(1)問是一個特殊狀態(tài),蘊含角平分線、“手拉手”等常見的基本圖形結(jié)構(gòu),可利用全等或相似解決問題.

第(2)問是共頂角頂點且頂角互補的兩個等腰三角形結(jié)構(gòu),關(guān)鍵條件是中點,可利用中點條件由因?qū)Ч?也可利用幾何直觀猜出兩倍關(guān)系,執(zhí)果索因,由基本活動經(jīng)驗利用中點問題常見處理策略(如倍長中線、構(gòu)造中位線等)來解決.

第(3)問把前兩問的結(jié)論綜合在一起,使得題目中出現(xiàn)的線段和角都具有特殊性,且蘊含豐富的基本圖形,例如由等邊ΔADE,可考慮構(gòu)造手拉手全等;由∠ABC+∠AEC=180°,識別出“對角互補”四邊形基本圖形,可考慮構(gòu)造輔助圓導邊導角.

3 解法薈萃

基于以上對圖形結(jié)構(gòu)的分析,下面給出每個小問的幾種構(gòu)圖破題思路:

(1)思路1(“手拉手”+“角平分線”): 如圖4,過點F作FH⊥BC于點H,易證ΔABD≌ΔACE(SAS),則CE=BD=2,∠ACE=∠ABD=45°,所以∠BCE=90°,由BE平分∠ABC得∠1=∠2,AF=HF,又由∠1+∠5=∠2+∠3=90°,得∠3=∠5=∠4,所以CF=CE=2,AF=FH=

圖4

思路2同上可證CE=BD=2,∠BCE=90°,可得FH//EC,則設(shè)FH=x,則由得解得

思路3(“手拉手”+相似): 如圖5,同上可證CE=BD=2,∠1=∠2,∠BAF=∠BCE=90°,則所以故

圖5

評析本題直接計算AF長度的條件不夠,立足基本圖形分析,首先利用一個常見的“手拉手”全等結(jié)構(gòu)導邊導角,得到CE=2 及∠BCE=90°,然后思路1 利用角度發(fā)現(xiàn)CF=CE=2 是關(guān)鍵;思路2 直接從計算的角度去思考;思路3 結(jié)合角平分線,識別一個基本的相似三角形,求得目標.

(2)思路1(倍長中線): 如圖6,延長AG至點M,使GM=AG,連接EM,易證ΔABG≌ΔMEG(SAS),則EM=AB=AC且AB//EM,所以∠AEM+∠BAE=180°;又由∠DAE+∠BAC=180°,可得∠DAC+∠BAE=180°,故∠AEM=∠DAC,可證ΔDAC≌ΔAEM(SAS),所以CD=MA=2AG.

圖6

思路2同理,如圖7,延長AG至點M,使GM=AG,連接BM,證ΔDAC≌ΔMBA(SAS)也可.

圖7

思路3(加倍→構(gòu)造中位線): 如圖8,延長BA至點M,使AM=AB,連接EM,同上由∠DAE+∠BAC=180°,可得∠DAC+∠BAE=180°,故∠DAC=∠EAM,可證ΔDAC≌ΔEAM(SAS),所以CD=EM=2AG.

圖8

思路4同理,如圖9,延長EA至點M,使AM=AE,證ΔDACΔMAB(SAS)也可.

圖9

思路5(加倍→構(gòu)造中位線): 如圖10,延長DA至點M,使AM=AD,連接CM,取CM中點N,連接AN,同上由∠DAE+∠BAC=180°,可得∠DAC+∠BAE=180°,由∠DAC+∠MAC=180°,故∠BAE=∠CAM,可證ΔBAE≌ΔCAM(SAS),所以CD=2AN=2AG.

圖10

思路6同理,如圖11,延長CA至點M,使AM=AC,連接DM,AM,取DM中點N,連接AN,同上由∠DAE+∠BAC=180°,可得∠DAC+∠BAE=180°,由∠DAC+∠MAD=180°,故∠BAE=∠MAD,可證ΔBAE≌ΔMAD(SAS),所以CD=2AN=2AG.

圖11

思路7(半分→構(gòu)造中位線): 如圖12,取AB中點M,連接MG,同上由∠DAE+∠BAC=180°,可得∠DAC+∠BAE=180°,又由中位線易證∠GMA+∠BAE=180°,AE=2MG,則∠GMA=∠DAC,由可證ΔGMA∽ΔDAC,所以即所以CD=2AG.

圖12

思路8同理,如圖13,取AE中點M,連接MG,同上由∠DAE+∠BAC=180°,可得∠DAC+∠BAE=180°,又由中位線易證∠GMA+∠BAE=180°,AB=2MG,則∠GMA=∠DAC,由可證ΔGMA∽ΔCAD,所以,即所以CD=2AG.

圖13

思路9(半分→倍長中線): 如圖14,取CD中點N,連接AN并延長至點M,使NM=AN,連接DM,易證ΔANC≌ΔMND(SAS),則DM=AC=AB且DM//AC,所以∠ADM+∠DAC=180°;又由∠DAE+∠BAC=180°,可得∠DAC+∠BAE=180°,故∠ADM=∠BAE,可證ΔADM≌ΔEAB(SAS),所以CD=2DN=2AG.

圖14

思路10同理,如圖15,取CD中點N,連接AN并延長至點M,使NM=AN,連接CM,證ΔEABΔMCA(SAS)也可.

圖15

評析上述解法異曲同工,首先都需要將條件“∠DAE+∠BAC=180°”轉(zhuǎn)換為“∠DAC+∠BAE=180°”,再利用線段兩倍關(guān)系以及中點常見的處理策略(即倍長中線或構(gòu)造中位線等)積極構(gòu)造全等.事實上,不管取哪條線段的中點(或倍長)本題都能得以解決,不同層面的學生都可以嘗試求解.立足基本圖形分析,在復雜多變的幾何圖形中,關(guān)鍵是會識圖,能構(gòu)圖,這需要平時積累豐富的基本圖形結(jié)構(gòu)以及基本的活動經(jīng)驗,能做到“慧眼識珠”,善于尋找或構(gòu)造常見的基本圖形.

(3)思路1(“手拉手”): 如圖16,延長BA至點M,使AM=AB,連接EM,CM,DE,因為∠BAC=120°,所以∠DAE=∠EAM=60°,則ΔACM、ΔAED均為等邊三角形,由(1)可證得ΔDAC≌ΔEAM(SAS),所以∠AME=ACD=30°,則ME平分∠AMC,所以ME垂直平分AC,故CE=AE=DE,所以∠EAC=∠ECA=15°,所以∠CAD=∠EAM=45°,所以∠BAD=∠ADB=75°,所以BA=BD,所以BE垂直平分AD,所以DG=AG=設(shè)DG=x,則CD=2x,如圖17 解ΔADC可得,BD=BA=故

圖16

圖17

思路2(輔助圓): 如圖18,由∠ABC+∠AEC=180°,可知A,B,C,E四點共圓,所以∠AEB=∠ACB=30°,同上可證ΔAED為等邊三角形,所以∠DEB=∠AEB=30°,所以BE垂直平分AD,所以BA=BD,DG=AG=∠ACE=∠ABE=∠CBE=∠CAE=15°,∠CAD=45°,設(shè)DG=x,則CD=2x,如圖17 解ΔADC可得,BD=BA=AC=故

圖18

評析該問圖形結(jié)構(gòu)蘊含豐富,思路1 構(gòu)造一個等邊三角形ΔACM,與已有等邊三角形組成“手拉手”全等結(jié)構(gòu),然后導邊導角,推導出系列基本圖形結(jié)構(gòu),如頂角為150°的等腰ΔAEC、頂角為30°的等腰ΔABD、等腰RtΔCDE、等腰RtΔAGD、以及含特殊角的ΔACD等,然后主動設(shè)元,表示相關(guān)線段長,從而獲解;思路2 需識別“四點共圓”結(jié)構(gòu),利用輔助圓導邊導角,從而發(fā)現(xiàn)一些基本的圖形結(jié)構(gòu),然后解ΔACD求得相關(guān)線段長.本題題目中出現(xiàn)的線段和角都具有特殊性,所以無論最后是解ΔACD,ΔABC,ΔAEC或其他均可獲解,解法眾多,有興趣的讀者可自行嘗試.以上解法最后落腳的基本圖形是一致的,即一題多解,多解歸一,是利于發(fā)展學生核心素養(yǎng)的.

4 解題感悟

《義務教育數(shù)學課程標準(2011 版)》指出:“數(shù)學活動經(jīng)驗的積累是提高學生數(shù)學素養(yǎng)的重要標志.幫助學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗是數(shù)學教學的重要目標,是學生不斷經(jīng)歷、體驗各種數(shù)學活動過程的結(jié)果”[1].2021年重慶市中考壓軸題第26 題的三個問題設(shè)置環(huán)環(huán)相扣,層層遞進,是一道凸顯數(shù)學核心素養(yǎng)的試題.完整解答本題需要學生真正理解數(shù)學知識,積累豐富而有效的數(shù)學活動經(jīng)驗.

幾何壓軸題圖形本身可能是復雜的,多變的,也可能是“不完整”的,多角度分析題目背景,把握應用題目條件,結(jié)合圖形進行分析是破題關(guān)鍵.在日常教學中,需要師生共同歸納總結(jié)常見的幾何模型,但又不能拘泥于模型,要引導學生讀圖,識圖,最終能構(gòu)圖,引導學生通過對基本圖形結(jié)構(gòu)的分析,深刻理解模型的關(guān)鍵條件,透析數(shù)學問題的本質(zhì),這有助于學生遇見圖形展開豐富的模型聯(lián)想,從而主動的去構(gòu)建模型,讓所添輔助線更具目的性.更好的感悟背后所蘊含的數(shù)學思想,知道如何應用到其他情境中去,發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng).

另外教學過程中應有意識的選擇一些經(jīng)典的,復雜的,具有代表性的幾何圖形,以此引導學生自己總結(jié)提煉出一些反復出現(xiàn)的,經(jīng)典的,應用廣泛的基本圖形結(jié)構(gòu),并應用基本圖形分析法,幫助學生更好的探索解決問題的思路,猜想結(jié)果,發(fā)展學生的直觀想象素養(yǎng);培養(yǎng)學生從復雜的圖形中分離出基本圖形的能力,強化數(shù)學建模意識,讓學生學會把陌生的、復雜的問題化歸為熟悉的、簡單的問題,這也正是培養(yǎng)學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵所在.