2019版新教材中數(shù)學(xué)建模的模型探究及其在教學(xué)中的作用*

廣東省廣州市鐵一中學(xué)(510600) 范選文

1 數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵

從定義的層面上來(lái)說(shuō),所謂數(shù)學(xué)建模就是分析和研究一個(gè)實(shí)際問(wèn)題時(shí),從定量的角度出發(fā),基于深入調(diào)查研究、了解對(duì)象信息、作出簡(jiǎn)化假設(shè)、分析內(nèi)在規(guī)律等工作的基礎(chǔ)上,用數(shù)學(xué)符號(hào)和語(yǔ)言,把實(shí)際問(wèn)題表述為數(shù)學(xué)式子,即數(shù)學(xué)模型,然后用通過(guò)計(jì)算得到的模型結(jié)果來(lái)解釋實(shí)際問(wèn)題,并接受實(shí)際的檢驗(yàn),這個(gè)建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程就稱為數(shù)學(xué)建模.

數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種新的方式,它為學(xué)生提供了自主學(xué)習(xí)的空間,有助于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的價(jià)值和作用,體驗(yàn)數(shù)學(xué)與日常生活和其他學(xué)科的聯(lián)系,體驗(yàn)綜合運(yùn)用知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程,增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí);有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力.

2 高中教材中的數(shù)學(xué)模型

根據(jù)徐利治先生在《數(shù)學(xué)方法論選講》一書中所談到,所謂“數(shù)學(xué)模型”(Mathematic Model)是一個(gè)含義很廣的概念,粗略的講,數(shù)學(xué)模型是指參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量相依關(guān)系,采用形式化數(shù)學(xué)語(yǔ)言,概括地或近似地表達(dá)出來(lái)的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).廣義的說(shuō),一切數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論體系、數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)方程以及由之構(gòu)成的算法系統(tǒng)都可以稱為數(shù)學(xué)模型;狹義的解釋,只有那些反應(yīng)特定問(wèn)題或特定的具體事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)才叫數(shù)學(xué)模型.

高中數(shù)學(xué)教材的是數(shù)學(xué)模型有:函數(shù)模型,三角模型,數(shù)列模型,幾何模型,概率模型和統(tǒng)計(jì)模型等,在2019 版的新教材中編寫了兩個(gè)數(shù)學(xué)建模活動(dòng),必修第一冊(cè)的建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題與選擇性必修第三冊(cè)的建立統(tǒng)計(jì)模型進(jìn)行預(yù)測(cè).

2.1 建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題

用函數(shù)的觀點(diǎn)解決實(shí)際問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的、最常用的方法.用函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),首先要對(duì)實(shí)際問(wèn)題中的變化過(guò)程進(jìn)行分析,析出其中的常量、變量及其相互關(guān)系;明確其運(yùn)動(dòng)變化的基本特征,從而確定它的運(yùn)動(dòng)變化類型.然后根據(jù)分析結(jié)果,選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)類型構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,將實(shí)際問(wèn)題化歸為數(shù)學(xué)問(wèn)題;再通過(guò)運(yùn)算、推理,求解函數(shù)模型.最后利用函數(shù)模型的解說(shuō)明實(shí)際問(wèn)題的變化規(guī)律,達(dá)到解決問(wèn)題的目的.

建立函數(shù)模型活動(dòng)的過(guò)程:(1)觀察實(shí)際情景,發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題;(2)收集數(shù)據(jù);(3)分析數(shù)據(jù);(4)建立模型;(5)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?(6)求解問(wèn)題.

高中數(shù)學(xué)函數(shù)模型有:一次函數(shù)模型,二次函數(shù)模型,反比例函數(shù)模型,指數(shù)函數(shù)模型,對(duì)數(shù)函數(shù)模型,冪函數(shù)模型和三角函數(shù)模型.

2.2 建立統(tǒng)計(jì)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)

在現(xiàn)實(shí)世界中有許多隨機(jī)現(xiàn)象需要研究.已有的學(xué)習(xí)告訴我們,研究隨機(jī)現(xiàn)象,就是要在明確研究對(duì)象和問(wèn)題的基礎(chǔ)上,通過(guò)收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、提取信息、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,再利用模型進(jìn)行推斷,得出結(jié)論.通過(guò)這樣的研究所得出的結(jié)論,可以為我們作出決策提供有力的依據(jù).

建立統(tǒng)計(jì)模型活動(dòng)的過(guò)程:(1)了解背景知識(shí),明確分析目的,確定獲得數(shù)據(jù)方法;(2)觀測(cè)數(shù)據(jù)(收集樣本數(shù)據(jù));(3)統(tǒng)計(jì)描述;(4)統(tǒng)計(jì)模型;(5)統(tǒng)計(jì)推斷;(6)得出結(jié)論和做出決策.

高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)模型有:一元線性回歸模型,非線性回歸模型和獨(dú)立性檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?

下面看一個(gè)建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的實(shí)例

(1)觀察實(shí)際情景,發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題

中國(guó)茶文化博大精深,茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).經(jīng)驗(yàn)表明,某種綠茶用85°C 的水泡制,再等到茶水溫度降至60°C 時(shí)飲用,可以產(chǎn)生最佳口感.那么在25°C 室溫下,剛好泡好的茶水大約需要放置多長(zhǎng)時(shí)間才能達(dá)到最佳飲用口感?

(2)收集數(shù)據(jù)

某研究人員每隔1min 測(cè)量一次茶水溫度,得到下表(表1)的一組數(shù)據(jù).

時(shí)間/min 0 1 2 3 4 5水溫/°C 8500 79.19 74.75 79.19 68.19 65.10

(3)分析數(shù)據(jù)

根據(jù)所收集的數(shù)據(jù),利用Excle 畫出散點(diǎn)圖,如上圖所示.

(4)建立模型

根據(jù)散點(diǎn)圖的趨勢(shì)可以擬合為線性的一次函數(shù)模型,也可以擬合為指數(shù)函數(shù)的模型,下面我們利用Excle 的擬合功能,直接可以求解出兩個(gè)函數(shù)模型的表達(dá)式.

擬合為一次函數(shù)模型(模型1) 的表達(dá)式為:y=?3.8874x+83.622,R21=0.982.

擬合為指數(shù)函數(shù)模型(模型2) 的表達(dá)式為:y=83.889e(?0.052x),R22=0.991.

(5)模型檢驗(yàn)

模型1 檢驗(yàn):當(dāng)x=5 時(shí),y1=64.185;

模型2 檢驗(yàn):當(dāng)x=5 時(shí),y2=64.683;

因?yàn)閨y2?65| <|y1?65| <0.5,且R22>R21>0.95,所以可以判斷出用兩個(gè)函數(shù)模型都能很好的反映茶水溫度隨時(shí)間變化的規(guī)律,相比之下利用指數(shù)函數(shù)模型進(jìn)行擬合會(huì)更優(yōu).

(6)求解問(wèn)題

我們利用指數(shù)函數(shù)模型(模型2)進(jìn)行求解,當(dāng)y=60時(shí),解得x ≈6.445.所以,泡制一杯最佳口感茶水所需時(shí)間大約是7min.

3 數(shù)學(xué)建模在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

3.1 數(shù)學(xué)建模能提高學(xué)生的主體意識(shí)

在課堂教學(xué)中真正落實(shí)學(xué)生的主體地位,讓學(xué)生真正成為數(shù)學(xué)課堂的主人,促進(jìn)學(xué)生自主地發(fā)展,是現(xiàn)代數(shù)學(xué)課堂的重要標(biāo)志,是高中數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的核心思想,也是全面實(shí)施素質(zhì)教育的關(guān)鍵.高中數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)旨在培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和獨(dú)立解決問(wèn)題的能力,學(xué)生是建模的主體,學(xué)生在進(jìn)行建?；顒?dòng)過(guò)程中表現(xiàn)出的主體性表現(xiàn)為自主完成建模任務(wù)和在建模活動(dòng)中的互相協(xié)作性.中學(xué)生具有好奇、好問(wèn)、好動(dòng)、好勝、好玩的心理特點(diǎn),思維開(kāi)始從經(jīng)驗(yàn)型走向理論型,出現(xiàn)了思維的獨(dú)立性和批判性,表現(xiàn)為喜歡獨(dú)立思考、尋根究底和質(zhì)疑爭(zhēng)辯.因此,教師在課堂上應(yīng)該讓學(xué)生充分進(jìn)行自主體驗(yàn),在數(shù)學(xué)建模的實(shí)踐中運(yùn)用這些數(shù)學(xué)知識(shí),感受和體驗(yàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.教師可作適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥指導(dǎo),但要重視學(xué)生的參與過(guò)程和主體意識(shí),不能越俎代庖,目的是提高學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)的能力、提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

3.2 數(shù)學(xué)建模能培養(yǎng)學(xué)生的能力

數(shù)學(xué)建模教學(xué)體現(xiàn)了多方面能力的培養(yǎng):

(1)翻譯能力.能將實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái),建立數(shù)學(xué)模型,并能把數(shù)學(xué)題的解用一般人所能理解的非數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái);

(2)運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力.表現(xiàn)在能用數(shù)學(xué)工具對(duì)所建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行處理;

(3)交流合作能力.數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)中常常是小組分工合作、密切配合、相互交流、集思廣益,這種互相合作的精神是社會(huì)生活中極為需要的;

(4)創(chuàng)造能力.數(shù)學(xué)建模沒(méi)有現(xiàn)成的答案,也沒(méi)有現(xiàn)成的模式或通式,建模的過(guò)程有較大的靈活性,建模的結(jié)果一般說(shuō)來(lái)只有最優(yōu)解答,而非標(biāo)準(zhǔn)解答.這樣,有助于培養(yǎng)學(xué)生的想象力和洞察力.

3.3 數(shù)學(xué)建模能促進(jìn)課堂教學(xué)

(1)積極創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問(wèn)題情境,激發(fā)學(xué)生建模熱情

結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握情況,從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)適當(dāng)選編問(wèn)題作為學(xué)生建模的基礎(chǔ),并為學(xué)生在建模過(guò)程中提供必要的指導(dǎo)和充分的交流,以激發(fā)學(xué)生的建模熱情.

(2)概括問(wèn)題,從問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)化模型

建模的過(guò)程就是對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行概括抽象的過(guò)程,通過(guò)對(duì)問(wèn)題的交流、探討與整理,抽象出數(shù)學(xué)化的式子或方程.在數(shù)學(xué)化的過(guò)程中,教師應(yīng)作出及時(shí)調(diào)控,以便于學(xué)生從觀察、猜測(cè)中形成正確的思路與方法.

(3)對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行探究分析,形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)模型的建立過(guò)程,需要通過(guò)啟發(fā)和指導(dǎo),使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法的真實(shí)體驗(yàn),并從課題的分析和總結(jié)中受到數(shù)學(xué)素養(yǎng)的熏陶.

(4)利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題,享受成功的喜悅

問(wèn)題的解決總是伴隨著成功的體驗(yàn),數(shù)學(xué)模型的建立為實(shí)際問(wèn)題的解答打開(kāi)了智慧的大門,學(xué)生在運(yùn)用知識(shí)的過(guò)程中體驗(yàn)到了方法的重要和思想的威力.

在2019 版新教材中,數(shù)學(xué)建模應(yīng)用于很多章節(jié),例如如應(yīng)用于數(shù)學(xué)概念、定義和定理的教學(xué)之中,應(yīng)用于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的教學(xué)之中等等.數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的基本手段,也是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力.數(shù)學(xué)建模作為“六大核心素養(yǎng)”之一,在數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的形成過(guò)程中,積累用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn).學(xué)生能夠在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題;能夠針對(duì)問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型;能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解模型,并嘗試基于現(xiàn)實(shí)背景驗(yàn)證模型和完善模型;能夠提升應(yīng)用能力,增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí).所以數(shù)學(xué)建模在高中數(shù)學(xué)中具有廣闊的發(fā)展前景和重要的應(yīng)用.