提升學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考的基本策略

廣東省東莞市虎門中學(xué)(523900) 司徒超旋

廣東省東莞市東莞中學(xué)(523005) 趙銀倉(cāng)

有位數(shù)學(xué)家曾經(jīng)說(shuō)過(guò),學(xué)生們?cè)谥袑W(xué)階段所接受的數(shù)學(xué)知識(shí),進(jìn)入社會(huì)后,沒有機(jī)會(huì)直接應(yīng)用,唯有數(shù)學(xué)精神、思維方法和策略等,使他們終生受益.可見數(shù)學(xué)思維會(huì)影響學(xué)生發(fā)展的終身,要發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,就要讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考,只要學(xué)會(huì)思考,并能深度思考,才能發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1 讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考,才能促進(jìn)素養(yǎng)的落實(shí)

數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)涵和要求是多方面,在教育教學(xué)的過(guò)程中讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考,就是能理解數(shù)學(xué)問(wèn)題,廣泛聯(lián)系相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí),進(jìn)行深度的探究問(wèn)題解決的路徑,無(wú)疑是非常重要的一個(gè)方面.學(xué)生思考問(wèn)題解決的過(guò)程中,體驗(yàn)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的抽象分析過(guò)程,發(fā)展抽象素養(yǎng),在找到問(wèn)題中量之間的關(guān)系,使問(wèn)題轉(zhuǎn)化易于解決問(wèn)題的過(guò)程中,鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模與邏輯推理能力,提升數(shù)學(xué)建模與邏輯推理素養(yǎng),數(shù)學(xué)推理離不開數(shù)學(xué)運(yùn)算,數(shù)學(xué)抽象離不開數(shù)學(xué)想象,這必然發(fā)展了數(shù)學(xué)運(yùn)算與直觀想象素養(yǎng),因此讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考,并能深度思考,一定能極大地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的品質(zhì),進(jìn)而提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展,終身受益.

2 遵循數(shù)學(xué)思維策略,促使學(xué)生學(xué)會(huì)思考

數(shù)學(xué)思維能力的提升,要遵循數(shù)學(xué)思維的原則、規(guī)律,使思維過(guò)程少走彎路.本文擬就探討數(shù)學(xué)思維應(yīng)遵循的基本策略,并舉例說(shuō)明其應(yīng)用.

2.1 簡(jiǎn)單化策略

在數(shù)學(xué)中,往往未知與已知,高次與低次,空間與平面等問(wèn)題互相聯(lián)系,互相轉(zhuǎn)化.從解決問(wèn)題的思維過(guò)程來(lái)看,通常是化繁為簡(jiǎn).主要途徑是:(1)分解為簡(jiǎn)單問(wèn)題的組合.從已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā),設(shè)法將較繁的問(wèn)題分解為按一定方式相聯(lián)系的簡(jiǎn)單問(wèn)題,分步解決;(2)分解為若干同類的子問(wèn)題.根據(jù)某一本質(zhì)屬性的差異,分為不同的種類,分類解決;(3)抽象為基本問(wèn)題的推廣.對(duì)于抽象復(fù)雜問(wèn)題,從同類特殊情形中尋找可推廣的結(jié)論和方法,迂回解決原問(wèn)題.這里將繁轉(zhuǎn)化為某個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題,或幾個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題的組合.找到這(些)“簡(jiǎn)”的問(wèn)題,將它解決,原有“繁”的問(wèn)題也迎刃而解.

簡(jiǎn)單化策略是指這種化陌生為熟悉,高級(jí)為低級(jí),復(fù)雜為簡(jiǎn)單的思想方法.這種對(duì)問(wèn)題簡(jiǎn)單化的過(guò)程中蘊(yùn)含著要理清問(wèn)題中各種量及其關(guān)系,概念之間的聯(lián)系,問(wèn)題之間邏輯關(guān)系,有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和推理素養(yǎng).

例1 設(shè)復(fù)數(shù)z=3 cosθ+i2 sinθ,并設(shè)復(fù)數(shù)z的輔角為α,求函數(shù)y=tan(θ?α),(0<θ <)的最大值以及對(duì)應(yīng)的θ值.

分析 此問(wèn)題可分解為:

(1)求α的正切值.由0<θ <知tanθ >0,且

(2)將tan(θ?α) 表為θ的函數(shù).y=tan(θ?α)=

(3)求最大值及相應(yīng)θ.

這種分解與組合,使得復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,思維自然流暢,邏輯關(guān)系清晰,條理性強(qiáng).對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較弱的學(xué)生,可以幫助學(xué)生找到解題的思路,成功的體驗(yàn),能喚醒學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與信心,發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算、推理與邏輯素養(yǎng).

2.2 等價(jià)變換策略

如果命題A 成立當(dāng)且僅當(dāng)命題B 成立,那么就稱A 和B 為等價(jià)命題.記為A?B.能使變換前、變換后的命題等價(jià)的變換叫做等價(jià)變換.等價(jià)變換的主要途徑有:

(1)數(shù)學(xué)語(yǔ)言間的互譯.靈活地進(jìn)行語(yǔ)言形態(tài)的變換,發(fā)揮它們各自的優(yōu)勢(shì),發(fā)散思維,開闊思路;不同形態(tài)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言(文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言)的互譯,往往能全方位,多角度地審視題目,簡(jiǎn)縮思維過(guò)程,擺脫思維受阻的困境,有利于培養(yǎng)思維的廣闊性.

(2)引入軸助(變)量.引入新的(變)量,促使原問(wèn)題的形式結(jié)構(gòu)向易于理解和解決的方向轉(zhuǎn)化;

(3)恒等變形.通過(guò)與已知問(wèn)題結(jié)構(gòu)的對(duì)比,找出異同,變異為同;

(4)數(shù)形轉(zhuǎn)換.將幾何的直觀和代數(shù)的靈活相結(jié)合,靈活地進(jìn)行數(shù)形的轉(zhuǎn)化,不斷優(yōu)化解題的思維過(guò)程;

(5)圖形變換.利用某種變換手段恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行圖形變換,創(chuàng)造新的問(wèn)題情境,尋求簡(jiǎn)明快捷的解題途徑.

等價(jià)變換的過(guò)程就是不斷地聯(lián)想類比與變形推理的過(guò)程,能夠豐富學(xué)生的想象力,增強(qiáng)推理能力,發(fā)展學(xué)生的想象與推理素養(yǎng).

例2設(shè)a1,a2,…an都是正數(shù),證明不等式:

分析1

分析2

由a >0,b >0 時(shí),?b >a?b成立,知原不等式成立.

分析3

由柯西不等式知成立.

對(duì)于某些問(wèn)題,從其形式結(jié)構(gòu)出發(fā),與原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)聯(lián)想類比,找出之間異同,利用它們結(jié)構(gòu)的相似性,進(jìn)行恒等變形,應(yīng)用已有結(jié)論導(dǎo)出新的結(jié)論.這種思維的策略有助于培養(yǎng)思維的想象力,靈活性與深刻性,引導(dǎo)學(xué)生尋找疑難問(wèn)題的數(shù)學(xué)本源,能促進(jìn)學(xué)生的推理素養(yǎng)的提升.

2.3 映射反演策略

如果兩個(gè)命題或系統(tǒng)的內(nèi)容、形式、結(jié)構(gòu)之間存在某種相似性,那么設(shè)法在它們之間建立一種對(duì)應(yīng)關(guān)系,把原問(wèn)題映射到其它領(lǐng)域中去解決,然后反演回原來(lái)的領(lǐng)域中得出問(wèn)題的解答.這種解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法叫映射反演原則.這里“映射”指實(shí)現(xiàn)命題轉(zhuǎn)換的某種對(duì)應(yīng)方法或變換手段,而“反演”是將變換后求得的解答再轉(zhuǎn)換成原來(lái)問(wèn)題的解答.

實(shí)施映射反演,就是一種構(gòu)造的方法,通過(guò)類比聯(lián)想,利用映射構(gòu)造新的問(wèn)題,使原來(lái)困難的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易于解決的問(wèn)題,問(wèn)題解決的思維過(guò)程中包含著聯(lián)想、構(gòu)造、抽象與推理等思維要素,能發(fā)展學(xué)生的想象、抽象、推理與運(yùn)算素養(yǎng).

例3求sin220°+cos280°+的值.

分析對(duì)于每個(gè)給定的x ∈R,sinx,cosx之間建立對(duì)立關(guān)系,產(chǎn)生對(duì)偶式可幫助解題.于是設(shè)則相加得

例4集合S={1,2,···,18}的五元子集S1={a1,a2,a3,a4,a5}中,任何兩元素之差不為1,這樣的子集S1有多少個(gè)?

分析1若分類考慮,明顯太煩.由于S1中的每個(gè)元素都在S中且任何兩個(gè)之差不為1,作子集S′={a1,a2?1,a3?2,a4?3,a5?4},則S′與S一一對(duì)應(yīng),而S′是1,2,3,···14 的五元子集,故共有個(gè).

分析2原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為18 名學(xué)生中有5 名女生,要排成一排,其中任何兩個(gè)女生不得相鄰,問(wèn)共有多少種不同的排法?

在解題過(guò)程中,采用輔助手段如對(duì)偶、換元、排序、賦值、分割、投影、放縮等,尋求與問(wèn)題相關(guān)的對(duì)應(yīng)元素、情境和問(wèn)題,進(jìn)行遷移和移植,使難題巧解,這種方法能夠培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性、深刻性和靈活性.促進(jìn)數(shù)學(xué)運(yùn)算、抽象與推理素養(yǎng)的形成.

2.4 猜想驗(yàn)證策略

猜想驗(yàn)證原則是指對(duì)某個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題通過(guò)實(shí)驗(yàn)與觀察分析,提出該問(wèn)題具有某種可能結(jié)果的猜想,然后多次驗(yàn)證,以逐步認(rèn)識(shí)并找出該問(wèn)題的解決方法.猜想指對(duì)某個(gè)新命題結(jié)論的猜想,也指對(duì)解題方向的猜想.當(dāng)結(jié)論是關(guān)于自然數(shù)的命題時(shí),通常用數(shù)學(xué)歸納法證明.

這是一種由特殊到一般的思維方法,學(xué)生在長(zhǎng)期的學(xué)習(xí)中形成一般到特殊的思維定勢(shì),也就是習(xí)慣于演繹推理,不熟悉使用合理推理解決問(wèn)題的路徑,培養(yǎng)學(xué)生用猜想驗(yàn)證解決問(wèn)題能使的思維更加全面靈活,使推理素養(yǎng)進(jìn)一步落實(shí).

例5求和

分析對(duì)于該題,求和既無(wú)現(xiàn)成公式可用,也不知往何處化.但聯(lián)想:S1=時(shí)使用錯(cuò)位相消法,可猜想:若能找能這樣的α與β,問(wèn)題便迎刃而解.

不難求驗(yàn)證α=2m+1,β=2m?1 滿足要求.于是可求得

猜想驗(yàn)證是探求問(wèn)題結(jié)論的有效方法,它有利于培養(yǎng)思維的靈活性、縝密性、創(chuàng)造性,能綜合提高數(shù)學(xué)素質(zhì).

2.5 辯證轉(zhuǎn)化策略

數(shù)學(xué)中充滿著矛盾,如已知和未知,常量和變量,相等和不等,有限和無(wú)限,運(yùn)動(dòng)和靜止,合并與分解等.矛盾著的雙方既對(duì)立又統(tǒng)一,在一定的條件下,互相轉(zhuǎn)化,互相制約.當(dāng)直接解決某數(shù)學(xué)問(wèn)題有困難時(shí),可轉(zhuǎn)向來(lái)探索與該問(wèn)題相聯(lián)系的另一相對(duì)的數(shù)學(xué)問(wèn)題,再利用兩者之間的依賴關(guān)系求得原問(wèn)題的解.稱這種運(yùn)用辯證思維策略來(lái)探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法為辯證轉(zhuǎn)化原則.

辯證轉(zhuǎn)化這一思維方式能使學(xué)生學(xué)會(huì)從正反兩個(gè)方面考慮問(wèn)題,能夠培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性與深刻性,提升數(shù)學(xué)的抽象、運(yùn)算與推理素養(yǎng).

例6已知數(shù)列{an},{bn}滿足且a1=b1=1,λ為常數(shù),設(shè)cn=an+bn,n=1,2,3,···,求證時(shí),{cn}不可能是等差數(shù)列.

分析用反證法.設(shè){cn}是等差數(shù)列,于是cn+1=an+1+bn+1=an+bn+(λ?)bn=cn+(λ?)bn,即公差d=(λ?)bn為常數(shù),∴λ=或bn=b1=1.因?yàn)棣??=,故bn=1.則由bn+1=+λbn得=1?λ得an=1?λ也為常數(shù),再由及an=an+1=常數(shù),導(dǎo)出故λ=與已知λ ?=矛盾.故得證.

順向推有困難時(shí)就逆推,直接證有困難時(shí)就間接證.這種正難則反的辯證思維策略往往使解題易于入手,有利于培養(yǎng)思維的靈活性.

例7求橢圓的內(nèi)接三角形面積的最大值.

分析由面積射影定理聯(lián)想到橢圓為一圓柱的截面,升維構(gòu)造底面半徑為軸長(zhǎng)為2b,橢圓內(nèi)接ΔABC在圓柱底面上的射影為圓接ΔA1B1C1,且當(dāng)ΔA1B1C1為正三角形時(shí),橢圓內(nèi)接ΔABC的面積最大,易知截面與底面夾角的余弦值為從而求得橢圓內(nèi)接三角形面積最大值為

在平面上解決該問(wèn)題,會(huì)陷入僵局,無(wú)計(jì)可施,利用“升”維變換在空間上,茅塞頓開,淺顯易見.從問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)出發(fā),靈活使用“次數(shù)”、“維數(shù)”的升降的辯證關(guān)系,改變思維角度,另辟蹊徑.辯證思維的形式是多樣的,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,靈活應(yīng)用這些辯證思維的策略,可優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì),提高思維的深刻性與全面性,促進(jìn)數(shù)學(xué)抽象與推理素養(yǎng)的發(fā)展.

3 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)對(duì)所教學(xué)校的高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況的調(diào)研和訪談發(fā)現(xiàn),現(xiàn)在高中在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中形成一定的學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)方法的定勢(shì),讓學(xué)生養(yǎng)成良好的思考習(xí)慣,形成一定的思考能力,有助于學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思維策略去分析問(wèn)題和解決問(wèn)題.只有學(xué)會(huì)思考,并能深度思考,才能發(fā)展學(xué)生思維能力,遇到問(wèn)題才能獨(dú)立思考并尋找解決的方法,改變過(guò)去靠記憶和模仿學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的習(xí)慣,學(xué)會(huì)了思考,學(xué)生對(duì)感受到數(shù)學(xué)的內(nèi)在美,會(huì)感染和熏陶學(xué)生在心底由衷的喜歡數(shù)學(xué),鉆研數(shù)學(xué),才能使發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)得以落實(shí).