球?qū)ΨQ區(qū)域上分?jǐn)?shù)階擴散方程逆源問題

耿肖肖， 程浩， 朱承澄

江南大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 無錫 214122

分?jǐn)?shù)階微分方程越來越受到人們的關(guān)注，其主要原因是分?jǐn)?shù)階模型廣泛應(yīng)用于金融統(tǒng)計、粘彈性力學(xué)、反常擴散等研究領(lǐng)域中[1].與整數(shù)階微分方程相比，分?jǐn)?shù)階微分算子由于其非局部性質(zhì)，能夠更精準(zhǔn)地描述物理現(xiàn)象.目前，關(guān)于分?jǐn)?shù)階擴散方程正問題的研究，不管是在理論還是數(shù)值上都已經(jīng)有了很多有價值的研究成果[2-4].反問題上的研究相對較少，不過最近幾年也得到越來越多的關(guān)注，例如反向問題[5-8]、柯西問題[9-10]、逆源問題[11-14]、反演擴散系數(shù)問題[15]等等.逆源問題是反問題研究中的一個重要分支，在現(xiàn)實生活中，它也是一類很有應(yīng)用背景的問題，比如環(huán)境污染源的確定、裂縫的識別、新能源的尋找等等.

本文考慮如下球?qū)ΨQ區(qū)域上分?jǐn)?shù)階擴散方程：

(1)

若源項F(r，t)、初始條件φ(r)和邊界條件已知，則上述初邊值問題是經(jīng)典的正問題.

本文所要研究的逆源問題是：假如初始條件和邊界條件已知，通過附加的終值數(shù)據(jù)

u(r，T)=g(r)，0≤r≤R

來辨識具有變量分離形式的源項F(r，t)=f(r)q(t)中的f(r)，其中q(t)是已知的.

在實際問題中，g(r)是通過測量得到的，帶有一定的誤差，故假設(shè)終值數(shù)據(jù)g(r)和測量數(shù)據(jù)gδ(r)滿足

‖g(r)-gδ(r)‖≤δ

(2)

其中‖·‖是L2([0，R]，r2)范數(shù)，δ>0是測量誤差.眾所周知，逆源問題是不適定的，目前已有很多正則化方法被提出來處理此類問題[17-20].

本文組織結(jié)構(gòu)如下：第1節(jié)提供了一些輔助知識；第2節(jié)分析了問題的不適定性以及條件穩(wěn)定性；第3節(jié)給出了迭代正則化方法，并獲得了兩種正則化參數(shù)選取規(guī)則下的誤差估計；第4節(jié)通過兩個算例驗證了該方法的有效性；最后一節(jié)給出了簡單的結(jié)論.

1 輔助知識

定義1對任意常數(shù)α>0和β∈R，Mittag-Leffler函數(shù)定義為

引理2[22]如果q(t)∈C[0，T]滿足：對?t∈[0，T]，都有q(t)≥q0>0，令

則有

pk(λ)λμ≤k1-μ0≤μ≤1

(3)

rk(λ)λv≤θv(k+1)-v

(4)

其中

2 不適定性與條件穩(wěn)定性

假如初邊值條件和源項都是已知條件，則通過分離變量法以及Mittag-Leffler函數(shù)的Laplace變換可得到正問題(1)的解u(r，t)如下

利用終值數(shù)據(jù)u(r，T)=g(r)可得

(5)

其中g(shù)n=(g(r)，ωn(r)).

記

hn=gn-φnEα，1(-λnTα)

可知算子K是一個具有奇異值

和特征函數(shù)ωn(r)的線性自伴算子.根據(jù)ωn(r)的性質(zhì)，式(5)可改寫為

所以有

(6)

根據(jù)引理2可知

這表明終值數(shù)據(jù)g(r)中的微小擾動都會導(dǎo)致源項f(r)發(fā)生巨大變化，亦即該逆源問題是不適定的.因此需要通過正則化方法來恢復(fù)解的穩(wěn)定性.

為了保證解的穩(wěn)定性，假設(shè)源項f(r)滿足先驗界條件

‖f(·)‖p≤E，p>0

(7)

這里范數(shù)‖f(·)‖p的定義為

定理1若f(r)滿足‖f(·)‖p≤E，則有

其中

證由H?lder不等式和式(6)，有

(8)

根據(jù)引理2，則有

(9)

所以由式(8)，(9)可得

注1根據(jù)定理1的證明，可以類似得到

這意味著可以通過估計‖f‖p和‖Kf‖的L2范數(shù)來得到f的L2范數(shù)的界.

3 迭代正則化方法和誤差估計

本節(jié)將通過迭代正則化方法求得源項f(r)的正則近似解，并分別給出先驗和后驗參數(shù)選取規(guī)則下精確解與正則近似解之間的誤差估計.

我們通過構(gòu)造如下正問題來逼近原來的逆源問題，這里uk(r，t)是如下問題的解

其中源項fk，δ(r)通過下面的迭代方式給出，

f0，δ(r)=0，fk，δ(r)=fk-1，δ(r)-s(uk-1，δ(r，T)-gδ(r))k=1，2，3，…

(10)

這里s是一個加速因子，它滿足：對?n∈N，有

k是迭代步數(shù)，它相當(dāng)于正則化參數(shù).

不妨記

則易得

根據(jù)式(10)有

(11)

3.1 先驗誤差估計

定理2設(shè)f(r)是逆源問題的精確解，fk，δ(r)是由式(11)給出的正則近似解，若先驗界條件(7)和假設(shè)(2)都成立，并選取正則化參數(shù)

(12)

則可得到如下誤差估計

證由三角不等式，有

‖fk，δ(r)-f(r)‖≤‖fk，δ(r)-fk(r)‖+‖fk(r)-f(r)‖

根據(jù)式(11)，(2)和(3)，并取μ=0，可得

(13)

(14)

結(jié)合式(13)和(14)，并選取

即可得到

3.2 后驗誤差估計

設(shè)τ>1為給定的常數(shù)，正則化參數(shù)k的取法是滿足下面偏差原理

‖Kfk，δ(r)-hδ(r)‖≤τδ<‖Kfk-1，δ(r)-hδ(r)‖

(15)

定理3設(shè)f(r)是逆源問題的精確解，fk，δ(r)是由式(11)給出的正則近似解，若先驗界條件(7)和假設(shè)(2)都成立，且正則化參數(shù)k由式(15)取定，則可得到如下誤差估計

證由三角不等式，有

‖fk，δ(r)-f(r)‖≤‖fk，δ(r)-fk(r)‖+‖fk(r)-f(r)‖

由式(13)知

‖fk，δ(r)-fk(r)‖≤skδ

(16)

由式(15)可得

故有

(17)

將式(17)代入式(16)，得

(18)

另一方面，

根據(jù)f(r)的先驗界條件以及范數(shù)‖f(·)‖p的定義，有

應(yīng)用注1，可得

(19)

結(jié)合式(18)和式(19)，即可得到所要結(jié)果.

4 數(shù)值算例

時間項導(dǎo)數(shù)可以通過Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的L1插值逼近來近似得到

空間項導(dǎo)數(shù)由如下格式近似得到

對有限差分得到的終值數(shù)據(jù)g(r)按如下方式添加隨機擾動得到噪聲數(shù)據(jù)：

gδ=g+εg·(2rand(size(g))-1)

其中ε>0反映相對誤差水平，相應(yīng)的噪聲水平為δ=‖gδ-g‖.

為了說明正則近似解的精確性，我們計算絕對誤差

e(f，ε)=‖fk，δ(r)-f(r)‖

和相對誤差

例1取函數(shù)q(t)=2t+π，φ(r)=sin(r)，精確的源項為

f(r)=2sin(πr)

圖1和圖2分別給出了先驗和后驗正則化參數(shù)選取規(guī)則下，取α=0.2，0.8時不同誤差水平下的正則近似解與精確解的數(shù)值結(jié)果.在表1和表2中，我們分別給出先驗和后驗規(guī)則下ε=0.01，α取不同值時精確解與正則近似解之間的誤差分析以及α=0.5，ε取不同值時精確解與正則近似解之間的誤差分析.

圖1 先驗參數(shù)選取規(guī)則下例1的精確解與正則近似解比較

圖2 后驗參數(shù)選取規(guī)則下例1的精確解與正則近似解比較

表1 例1關(guān)于不同α的數(shù)值結(jié)果(ε=0.01)

表2 例1關(guān)于不同ε的數(shù)值結(jié)果(α=0.5)

例2取函數(shù)q(t)=t+6π，φ(r)=r2-4r，精確的源項為

在圖3和圖4中，我們分別給出了先驗和后驗規(guī)則下，取α=0.2，0.8時不同誤差水平下的正則近似解與精確解之間的數(shù)值結(jié)果.在表3和表4中，我們分別給出先驗和后驗規(guī)則下，ε=0.01，α取不同值時精確解與正則近似解之間的誤差分析以及α=0.5，ε取不同值時精確解與正則近似解之間的誤差分析.

圖3 先驗參數(shù)選取規(guī)則下例2的精確解與正則近似解比較

圖4 后驗參數(shù)選取規(guī)則下例2的精確解與正則近似解比較

表3 例2關(guān)于不同α的數(shù)值結(jié)果(ε=0.01)

表4 例2關(guān)于不同ε的數(shù)值結(jié)果(α=0.5)

綜合對比圖1至圖4，可以看出，后驗正則化參數(shù)選取規(guī)則下重構(gòu)的源項與精確解之間的擬合效果總體要比先驗的好一些.再結(jié)合表1至表4，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)值誤差關(guān)于α變化比較穩(wěn)定，故我們的方法對α不太敏感(這與文獻(xiàn)[20]的結(jié)果相符)，同時也可以發(fā)現(xiàn)隨著隨機擾動ε的減小，數(shù)值誤差明顯在減小，精確解與正則近似解也越來越吻合.這說明對于球?qū)ΨQ區(qū)域上分階擴散方程的逆源問題，采用該迭代正則化方法有著非常好的效果.

5 結(jié)論

探討了球?qū)ΨQ區(qū)域上分?jǐn)?shù)階擴散方程逆源問題.通過迭代正則化求得源項的正則近似解，并在先驗和后驗參數(shù)選取規(guī)則下給出了精確解與正則近似解之間的H?lder型誤差估計.最后，通過數(shù)值算例驗證了該迭代方法處理此逆源問題的有效性.