考慮可制造性約束的聲子晶體多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化1)

曹蕾蕾 武建華 樊 浩 張傳增 孫霖霖

* (長(zhǎng)安大學(xué)道路施工技術(shù)與裝備教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710064)

? (德國(guó)錫根大學(xué)土木工程系,德國(guó)錫根D-57068)

引言

聲子晶體是一種新型周期性人工超材料,它可以使得某些頻率范圍內(nèi)彈性波的傳播衰減或禁止,其特有的帶隙特性使其在負(fù)折射、聲聚焦、聲吸收、聲隱身、聲成像領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景[1-2].帶隙的產(chǎn)生和分布是聲子晶體應(yīng)用的關(guān)鍵問(wèn)題,因此,利用拓?fù)鋬?yōu)化方法進(jìn)行聲子晶體帶隙設(shè)計(jì)與優(yōu)化引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注.

關(guān)于聲子晶體的拓?fù)鋬?yōu)化方法主要有兩類:梯度類算法和非梯度類算法.梯度類算法通過(guò)處理目標(biāo)函數(shù)和約束條件的靈敏度信息,使可行解沿問(wèn)題的梯度方向移動(dòng)更新,可通過(guò)較少迭代次數(shù)完成問(wèn)題的求解.目前,該方面的研究主要采用移動(dòng)漸近線算法(method of moving asymptotes,MMA)[3-6]和雙向進(jìn)化結(jié)構(gòu)優(yōu)化(bi-directional evolutionary structural optimization,BESO)方法[7-8]對(duì)聲子晶體進(jìn)行帶隙優(yōu)化.雖然梯度類算法求解效率高,但存在容易陷入局部最優(yōu)解的弊端.非梯度類算法是通過(guò)對(duì)適應(yīng)度函數(shù)的不斷評(píng)估和多次迭代,在設(shè)計(jì)域內(nèi)找到滿足要求的近似全局最優(yōu)解.其中,遺傳算法在聲子晶體拓?fù)鋬?yōu)化中應(yīng)用最為廣泛,如標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法(standard genetic algorithm,SGA)[9-15]、自適應(yīng)遺傳算法(adaptive genetic algorithm,AGA)[16-18]、多精英遺傳算法(multiple elitist genetic algorithm,MEGA)[19]、快速非支配排序遺傳算法(non-dominated sorting genetic algorithm II,NSGA-II)[20-24]與不同的數(shù)值計(jì)算方法相結(jié)合皆可實(shí)現(xiàn)對(duì)聲子晶體的帶隙優(yōu)化.

雖然聲子晶體的拓?fù)鋬?yōu)化近年來(lái)已經(jīng)取得了一系列的重大進(jìn)展,但優(yōu)化中存在的“棋盤格效應(yīng)”使得結(jié)構(gòu)中往往出現(xiàn)某種孤立材料單元、超細(xì)而導(dǎo)致剛度較弱的鏈接單元、微結(jié)構(gòu)組元幾何形貌十分復(fù)雜、微結(jié)構(gòu)邊界和各組元邊界或界面粗糙等異常情況,這對(duì)于實(shí)際加工制造十分不利,因而大大限制了聲子晶體的應(yīng)用.針對(duì)優(yōu)化結(jié)果常常出現(xiàn)孤立材料單元這一問(wèn)題,本文開展考慮可制造性的二維多相聲子晶體拓?fù)鋬?yōu)化研究,通過(guò)對(duì)優(yōu)化過(guò)程中拓?fù)錁?gòu)型的連通性分析以限制最小材料連通域的占比,避免出現(xiàn)孤立材料單元,進(jìn)而建立提高其可制造性的優(yōu)化模型.在此基礎(chǔ)上,應(yīng)用NSGA-II 對(duì)模型進(jìn)行求解,得到了多目標(biāo)帕累托(Pareto)解集.具有代表性的數(shù)值算例結(jié)果表明本文方法可在滿足帶隙性能等指標(biāo)的前提下同時(shí)兼顧到制造可行性的要求,有利于聲子晶體優(yōu)化結(jié)果的實(shí)際加工制造和推廣應(yīng)用.

1 考慮可制造性的聲子晶體拓?fù)鋬?yōu)化方法

1.1 帶隙計(jì)算理論模型

主要考慮二維聲子晶體可視為非均質(zhì)各向同性彈性材料的情況,忽略體力影響時(shí),其彈性波動(dòng)方程為

式中,ρ,λ 和 μ 分別是質(zhì)量密度和拉梅常數(shù),u是位移向量.? 和 ω 分別為梯度算子和角頻率.假定彈性波僅在xy平面內(nèi)傳播,則有 ?u/?z=0,于是方程(1)可分解為以下兩個(gè)解耦的二維波動(dòng)方程

僅考慮由式(2)描述的面內(nèi)波動(dòng)情形而不考慮由式(3)描述的面外或反平面波的傳播.根據(jù)周期性結(jié)構(gòu)中的Bloch 定理,位移向量u(r) 可用如下公式表示

式中,uk(r) 為周期性函數(shù),k=k(x,y) 為波矢.利用有限元方法求解,式(2)可轉(zhuǎn)化為以下特征方程

式中,K和M分別為整體剛度矩陣和整體質(zhì)量矩陣,U是節(jié)點(diǎn)位移向量.給定波矢求解式(5)中的特征頻率可得到能帶結(jié)構(gòu)或頻散曲線.為了方便起見,能帶結(jié)構(gòu)圖的縱坐標(biāo)為帶隙歸一化頻率 Ω=ωa/(2πct),其中a為晶格常數(shù),ct為基體的剪切波波速.

1.2 優(yōu)化模型

實(shí)施聲子晶體的拓?fù)鋬?yōu)化,主要思路是采用有限元網(wǎng)格對(duì)單胞結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散化,通過(guò)優(yōu)化算法在網(wǎng)格中填充合適的材料,得到滿足優(yōu)化目標(biāo)要求的拓?fù)錁?gòu)型.由于遺傳算法采用二進(jìn)制變量,特別適合建立兩相材料與拓?fù)錁?gòu)型之間的關(guān)系[12,19,24],即采用0 和1 分別代表兩種不同的材料,故聲子晶體的拓?fù)鋬?yōu)化多采用遺傳算法.對(duì)于多相聲子晶體,可通過(guò)引入“二進(jìn)制向量”的方式對(duì)離散單元的材料進(jìn)行編碼,即

式中,φi(i=1,2,···,NE) 為任意離散單元的二進(jìn)制編碼(NE為單元數(shù)),bs為二進(jìn)制編碼值,t為向量長(zhǎng)度,NM為材料數(shù).以4 相材料為例,有

對(duì)于更多相聲子晶體,可通過(guò)增加向量 φi的長(zhǎng)度t來(lái)進(jìn)行相應(yīng)的編碼.由離散單元的“二進(jìn)制向量”編碼組合可得到整個(gè)設(shè)計(jì)域的材料分布，即

式中，? 為設(shè)計(jì)域的材料分布.在優(yōu)化問(wèn)題求解中,采用N×N的網(wǎng)格對(duì)單胞進(jìn)行離散,由于結(jié)構(gòu)的平移周期性和點(diǎn)群對(duì)稱性,通過(guò)波矢遍歷不可約布里淵區(qū)邊界求解特征頻率可得到能帶結(jié)構(gòu),則設(shè)計(jì)域內(nèi)單元數(shù)目減少至 (N/2)(1+N/2)/2,對(duì)應(yīng)遺傳算法染色體長(zhǎng)度為t(N/2)(1+N/2)/2 .

為了避免出現(xiàn)孤立材料單元而難以或無(wú)法實(shí)際制造的問(wèn)題,需要引入合適的可制造性約束條件.本文試圖通過(guò)控制連通單元的占比達(dá)到限制孤立單元的目的.引入圖像處理中四連通區(qū)域的定義,即從區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)出發(fā),可通過(guò)上下左右4 個(gè)方向的移動(dòng)組合,在不越出區(qū)域的前提下,能達(dá)到區(qū)域內(nèi)任一像素的區(qū)域定義為四連通區(qū)域.將離散后的網(wǎng)格看作像素點(diǎn),則可將此定義擴(kuò)展到材料連通單元中,進(jìn)一步由連通單元組成材料連通域,如圖1 中所示.紅、綠、黑不同標(biāo)記的網(wǎng)格分別由3 種不同材料填充,其中,紅色、綠色區(qū)域分別為獨(dú)立的連通域,而黑色區(qū)域雖在角點(diǎn)處相連接,但屬于兩個(gè)連通域.

圖1 連通域示意圖Fig.1 The connectivity domain

按照編碼方式為元胞網(wǎng)格填充材料后,可進(jìn)行連通域的識(shí)別和其相對(duì)于元胞面積的占比計(jì)算,即

式中Ajk(?) 和Ijk(?) 分別為第k種材料的第j個(gè)連通域的面積和其相對(duì)于元胞的面積占比;A為元胞面積,NM為材料數(shù),NQ為每種材料所包含的四連通域數(shù)目.Ijk(?) 過(guò)小會(huì)使得聲子晶體的可制造性下降,故通過(guò)限制Ijk(?) 值保障其可制造性,相應(yīng)的附加約束條件具體如下

式中,I(?) 為Ijk(?) 的最小值,r*為閾值,可根據(jù)實(shí)際對(duì)可制造性的要求和數(shù)值試驗(yàn)確定,r*越大則表示對(duì)結(jié)構(gòu)可制造性要求越高.

對(duì)于聲子晶體的帶隙優(yōu)化研究,常以最大化相對(duì)帶隙寬度、最大化絕對(duì)帶隙寬度、特定帶隙中心頻率等為優(yōu)化目標(biāo).本文主要以輕質(zhì)結(jié)構(gòu)的減振隔振為應(yīng)用背景,考慮到實(shí)際應(yīng)用中通常是針對(duì)特定場(chǎng)合對(duì)特定頻段的減振需求設(shè)計(jì)具有預(yù)期帶隙的聲子晶體,同時(shí),往往還需兼顧結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)的需求,故本文以在特定頻率段帶隙最寬和結(jié)構(gòu)質(zhì)量最小為優(yōu)化目標(biāo).

綜上所述,考慮可制造性約束的二維多相聲子晶體多目標(biāo)優(yōu)化優(yōu)化模型表述如下

式中,? 為設(shè)計(jì)域材料分布;Δ ωn為第n帶隙的帶隙寬度,為了方便描述,指定第n條能帶和第n+1 能帶之間存在的帶隙為第n帶隙,即當(dāng)?shù)趎+1 條能帶的最小值大于第n條能帶的最大值時(shí),帶隙寬度Δωn＞0,反之帶隙寬度 Δ ωn=0,帶隙不存在;F1(?)為特定頻率范圍段內(nèi)帶隙寬度之和的占比,其值越大表示帶隙對(duì)特定頻率段的覆蓋率越高,ωlow和ωupp分別為特定頻率范圍的上、下界,F2(?) 為優(yōu)化結(jié)構(gòu)質(zhì)量,N為網(wǎng)格的離散規(guī)模,ρs為單元質(zhì)量密度,V為單元面積.

1.3 優(yōu)化算法

對(duì)于式(9)的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題,可采用快速非支配排序遺傳算法 N SGA-II[25]進(jìn)行求解,該方法能夠有效生成 P areto 解集,使決策者能夠根據(jù)需要從Pareto解集中選擇出最適合的解.算法流程如圖2 所示.

圖2 基于NSGA-II 算法的聲子晶體多目標(biāo)優(yōu)化流程圖Fig.2 Flow chart of the multi-objective optimization of phononic crystals based on the NSGA-II algorithm

在計(jì)算種群內(nèi)個(gè)體的適應(yīng)度值時(shí),將種群中不滿足可制造性約束和雖滿足可制造性約束但無(wú)帶隙個(gè)體的帶隙特性目標(biāo)函數(shù)值賦予極小值0.000 1,可以增加滿足可制造約束且存在帶隙個(gè)體在非支配排序時(shí)處于更優(yōu)的非支配排序?qū)拥目赡苄?便于后續(xù)選擇操作時(shí)對(duì)此類優(yōu)秀個(gè)體的保留.

2 數(shù)值算例

以二維正方晶格聲子晶體面內(nèi)模態(tài)為例,晶格常數(shù)為0.01 m,聲子晶體單胞由4 種材料組成,即金(綠)、環(huán)氧樹脂(灰)、硅橡膠(黃)和硫化橡膠(藍(lán)),材料名稱、編碼 φi、質(zhì)量密度 ρ、楊氏模量E和泊松比 ν 如表1 所示.以在給定歸一化頻段0～0.05 帶隙最寬為優(yōu)化目標(biāo),有 ωlow=0,ωupp=0.05 ;考慮可制造性約束要求,取r*=0.005 ;對(duì)單胞進(jìn)行網(wǎng)格劃分,取N=16,則設(shè)計(jì)域內(nèi)的單元數(shù)目和染色體長(zhǎng)度分別為36 和72;遺傳算法的參數(shù)選取為:種群規(guī)模20,交叉率0.9,變異率0.02,采用二元錦標(biāo)賽選擇方式,單點(diǎn)交叉方式,設(shè)定迭代次數(shù)1000 為終止條件.

表1 材料屬性Table 1 Properties of the materials

種群規(guī)模Np取值對(duì)優(yōu)化結(jié)果不會(huì)產(chǎn)生影響,但是會(huì)對(duì)優(yōu)化收斂過(guò)程產(chǎn)生影響,即Np取值越大,所需得到Pareto 解集的迭代次數(shù)越少.對(duì)于本文考慮的問(wèn)題而言,因在每一步迭代中要對(duì)種群中所有個(gè)體的帶隙進(jìn)行有限元計(jì)算,增大種群規(guī)模會(huì)導(dǎo)致單次迭代過(guò)程中有限元帶隙計(jì)算次數(shù)大大增加,加大單次迭代的計(jì)算成本.因此,綜合考慮以上因素并通過(guò)數(shù)值試驗(yàn),本算例選取Np=20 .為了提高算法的收斂速度,在初始種群中引入具有帶隙的“種子”結(jié)構(gòu),其余個(gè)體隨機(jī)產(chǎn)生,“種子”單胞構(gòu)型如圖3 所示.

圖3 “種子”結(jié)構(gòu)Fig.3 The seed unit-cell

圖4 為進(jìn)化 1 000 代的Pareto 解集,橫、縱坐標(biāo)分別為目標(biāo)函數(shù)F1和F2的值,可以看出兩個(gè)目標(biāo)之間的制約關(guān)系,即特定頻段的帶隙寬度之和的增大將使得結(jié)構(gòu)質(zhì)量也在同時(shí)變大.

從圖4 中選擇4 個(gè)非支配解A,B,C和D進(jìn)行分析,其拓?fù)錁?gòu)型、能帶結(jié)構(gòu)和透射譜如圖5 所示.由圖5(a)可以發(fā)現(xiàn),非支配解A,B,C和D的拓?fù)錁?gòu)型均由金、環(huán)氧樹脂和硫化橡膠組成且具有相似的特征,即由金和環(huán)氧樹脂組成的夾雜體被硫化橡膠包覆層包裹后嵌入環(huán)氧樹脂基體中.圖5(b)與圖5(c)的對(duì)比表明能帶結(jié)構(gòu)的帶隙范圍與透射譜頻率衰減范圍吻合.由圖5(b)的能帶結(jié)構(gòu)可知,解A,B,C和D的第3 帶隙充分打開,其歸一化帶寬分別為0.017 1,0.022 0,0.025 2 和0.030 0,計(jì)算得到的對(duì)應(yīng)目標(biāo)函數(shù)值如表2 所示.

圖4 附加可制造性約束的多目標(biāo)Pareto 解集Fig.4 Pareto optimal solutions from the MOOP considering the manufacturing constraint

由表2 可知,結(jié)構(gòu)A,B,C的帶隙特定頻段的覆蓋率比D分別小42%,26% 和15%,結(jié)構(gòu)質(zhì)量比D分別小52%,44%和35%,因此,決策者可根據(jù)實(shí)際應(yīng)用情形的目標(biāo)權(quán)重從Pareto 解集中挑選自己所需要的聲子晶體結(jié)構(gòu).

表2 附加可制造性約束優(yōu)化結(jié)構(gòu)目標(biāo)函數(shù)值,S 為單目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果Table 2 The objective function values of the optimized structures from the MOOP and the SOOP considering the manufacturing constraint

為進(jìn)一步理解優(yōu)化結(jié)果的帶隙形成機(jī)理,對(duì)圖5(b1～ b4)帶隙的上、下邊界所對(duì)應(yīng)的振動(dòng)模態(tài)進(jìn)行分析.現(xiàn)以結(jié)構(gòu)D為例進(jìn)行說(shuō)明(構(gòu)型A,B,C的情況與之類似).構(gòu)型D的第3 個(gè)帶隙上、下邊界處對(duì)應(yīng)的振動(dòng)模態(tài)如圖6 所示.

圖5 附加可制造性約束的多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果Fig.5 Pareto optimal solutions from the MOOP considering the manufacturing constraint

由圖6 可以看出優(yōu)化結(jié)果的帶隙機(jī)理為局域共振型.其振動(dòng)特性可近似的通過(guò)簡(jiǎn)化的等效“彈簧-質(zhì)量”系統(tǒng)進(jìn)行描述,相應(yīng)的帶隙上、下邊界的頻率可由下式進(jìn)行估算[26-27]

圖6 結(jié)構(gòu)D 的帶隙邊界所對(duì)應(yīng)的振動(dòng)模態(tài)Fig.6 Vibration modes corresponding to the band-gap edges of the optimized structure D

其中,flow和fupp分別為帶隙的下邊界和上邊界頻率,K為包覆層(彈簧)的動(dòng)態(tài)等效剛度,M1和M2分別為金散射體和環(huán)氧樹脂基體的動(dòng)態(tài)等效質(zhì)量.

由圖5 中的優(yōu)化結(jié)果構(gòu)型可以看出,優(yōu)化構(gòu)型中僅剩下3 種材料,材料初始分布中的硅橡膠在優(yōu)化過(guò)程中被淘汰掉,包覆層全部由彈性模量更大的硫化橡膠構(gòu)成,使得彈性包覆層動(dòng)態(tài)等效剛度增加.由式(12)可知,當(dāng)其他參數(shù)不變時(shí),K的增大將導(dǎo)致帶隙起始(下邊界)和截止(上邊界)頻率均會(huì)出現(xiàn)不同程度的上升.由于截止(上邊界)頻率上升幅度更大,因而帶隙范圍變寬,帶隙對(duì)特定頻率段的覆蓋率隨之提高.

另外,通過(guò)對(duì)比圖5(a),4 種構(gòu)型發(fā)現(xiàn),金散射體的占比不斷提高,即M1逐步增大,而K與M2基本保持不變.由式(12)可知,M1的增大將導(dǎo)致帶隙起始(下邊界)和截止(上邊界)頻率降低,而起始(下邊界)頻率相比截止(上邊界頻率降幅更大,因而帶隙范圍變寬,帶隙對(duì)特定頻率段的覆蓋率隨之提高.即F1與F2同時(shí)增大,這種制約關(guān)系與圖4 十分吻合.

為了說(shuō)明多目標(biāo)和單目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果的差異,本文對(duì)只考慮了目標(biāo)函數(shù)F1的單目標(biāo)帶隙優(yōu)化問(wèn)題也進(jìn)行了求解,圖7 給出了單目標(biāo)進(jìn)化曲線、近似最優(yōu)解S的拓?fù)錁?gòu)型、能帶結(jié)構(gòu)和透射譜.

從圖7(a)中可明顯看出拓?fù)錁?gòu)型隨迭代進(jìn)程的演化過(guò)程,即隨著進(jìn)化代數(shù)的增加,包覆層的硅橡膠(黃)分布減小而硫化橡膠(藍(lán))分布增加,金散射體分布變化不大;進(jìn)化800 代左右后種群的最佳適應(yīng)度收斂到穩(wěn)定值,表明種群進(jìn)化趨于完善,對(duì)應(yīng)的個(gè)體即為近似最優(yōu)解S,其拓?fù)錁?gòu)型(圖7(b))由硫化橡膠包覆著金嵌入環(huán)氧樹脂基體中,能帶結(jié)構(gòu)(見圖7(c))顯示可在第3 和第4 能帶間打開歸一化帶寬為0.030 2 的帶隙,由此計(jì)算得到結(jié)構(gòu)S的目標(biāo)函數(shù)值同樣在表2 中給出以作對(duì)比.對(duì)比D和S的結(jié)果發(fā)現(xiàn),兩者對(duì)特定頻段的覆蓋率十分接近,雖然S比D的特定頻段覆蓋率高2%,但其質(zhì)量卻比D大18%,所以從結(jié)構(gòu)整體的角度來(lái)講,結(jié)構(gòu)D比S更優(yōu),這說(shuō)明多目標(biāo)優(yōu)化不僅可以得到和單目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果接近的非支配解,還可以得到其他的多目標(biāo)優(yōu)化非支配解集,因此較單目標(biāo)優(yōu)化更具有優(yōu)越性.

圖7 單目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果Fig.7 The optimized solutions from the SOOP

此外,為說(shuō)明考慮可制造性優(yōu)化的有效性和優(yōu)勢(shì),圖8 給出了未附加可制造性約束的多目標(biāo)優(yōu)化Pareto 解集.從圖8 內(nèi)選擇與考慮可制造性約束的4 個(gè)非支配解的目標(biāo)函數(shù)值具有可比擬性的解A′,B′,C′和D′分析,其拓?fù)錁?gòu)型分別如圖9 所示.

圖8 未附加可制造性約束多目標(biāo)Pareto 解集Fig.8 Pareto optimal solutions from the MOOP without the manufacturing constraint

從圖9 可以看出,未考慮可制造性約束的結(jié)果構(gòu)型中A′和B′存在多個(gè)金(綠)、硅橡膠(黃)和環(huán)氧樹脂(灰)孤立單元,C′和D′對(duì)角線位置存在多個(gè)環(huán)氧樹脂(灰)孤立單元.對(duì)4 種結(jié)構(gòu)單胞內(nèi)的孤立材料單元進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如表3 所示.

表3 單胞的孤立材料單元數(shù)Table 3 The number of the isolated elements in the unit-cells

圖9 未附加可制造性約束多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果Fig.9 The optimized solutions from the MOOP without the manufacturing constraint

由以上結(jié)果分析可見,未考慮可制造性約束的多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果均存在孤立材料單元,而圖5 中附加可制造性約束的優(yōu)化結(jié)果則有效地避免了這種情況的發(fā)生,表明本文所提出的考慮可制造性約束的聲子晶體多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化方法可在滿足帶隙等性能指標(biāo)的前提下同時(shí)兼顧到實(shí)際制造加工的可行性,有效提高了優(yōu)化結(jié)果的實(shí)用性.

3 結(jié)論

本文針對(duì)聲子晶體拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果常會(huì)出現(xiàn)制造性能欠佳的問(wèn)題,通過(guò)引入可制造性附加約束,建立了考慮可制造性約束的二維多相聲子晶體多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化模型,基于NSGA-II 和有限元法對(duì)二維四相正方晶格聲子晶體面內(nèi)模態(tài)進(jìn)行多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì),得到了多目標(biāo)Pareto 解集,數(shù)值算例表明了本文模型的有效性,所得主要結(jié)論如下.

(1) 通過(guò)對(duì)比引入可制造性附加約束的多目標(biāo)優(yōu)化與相應(yīng)的單目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果發(fā)現(xiàn),Pareto 解集內(nèi)可以找到與單目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果接近的非支配解;但多目標(biāo)的優(yōu)化解在一定程度上可優(yōu)于單目標(biāo)優(yōu)化近似最優(yōu)解,表明多目標(biāo)優(yōu)化不僅可以得到和單目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果近似非支配解,還可以得到其他的多目標(biāo)非支配解集.

(2) 通過(guò)對(duì)比引入和不考慮可制造性附加約束的多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果發(fā)現(xiàn),引入可制造性附加約束可有效避免通常優(yōu)化結(jié)果中存在孤立材料單元的情況,其優(yōu)化結(jié)果在滿足帶隙性能指標(biāo)的同時(shí)可兼顧到制造加工的可行性,更具有實(shí)用價(jià)值.

本文算例針對(duì)二維正方晶格,驗(yàn)證了協(xié)同考慮帶隙性能和可制造性約束的多目標(biāo)優(yōu)化方法的可行性和有效性,但該方法對(duì)其他類型的晶格,比如二維三角晶格和六角蜂窩晶格、甚至三維體心立方晶格等等,也同樣適用.其中,單胞離散及材料編碼方案的選擇、可制造性約束的添加和優(yōu)化算法的選擇可根據(jù)具體問(wèn)題進(jìn)行確定.對(duì)于三維晶格而言,材料初始分布構(gòu)型的選取、復(fù)雜三維網(wǎng)格的劃分、計(jì)算規(guī)模大、優(yōu)化效率低等仍是其拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題的主要挑戰(zhàn)[28],同時(shí)也是該方面研究工作未來(lái)需要加強(qiáng)的一個(gè)方向.

最后需要強(qiáng)調(diào)指出的是,影響聲子晶體優(yōu)化結(jié)果可制造性的因素很多,比如孤立材料單元問(wèn)題,超細(xì)而導(dǎo)致剛度超弱鏈接單元問(wèn)題,不同材料連通域的個(gè)數(shù)問(wèn)題,微結(jié)構(gòu)奇形怪狀問(wèn)題和微結(jié)構(gòu)邊界或組元界面非光滑問(wèn)題等.本文提出的多目標(biāo)優(yōu)化模型主要以避免出現(xiàn)孤立材料單元而提高多相聲子晶體優(yōu)化結(jié)構(gòu)的可制造性能,其他方法比如避免出現(xiàn)超細(xì)超弱鏈接單元[20,29-30],力求微結(jié)構(gòu)邊界或組元邊界具有一定的光滑度[31]等也是提高其可制造性的有效措施,值得引起科研和實(shí)用工作者的高度重視.