復(fù)合干摩擦的準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的亞諧共振1)

牛江川 張婉潔 申永軍 王軍

(石家莊鐵道大學(xué)交通工程結(jié)構(gòu)力學(xué)行為與系統(tǒng)安全國家重點實驗室,石家莊 050043)

(石家莊鐵道大學(xué)機械工程學(xué)院,石家莊 050043)

引言

由于工程中存在的巨大需求,振動控制技術(shù)一直是研究熱點[1].隔振技術(shù)是振動控制的主要手段之一,而非線性隔振可以改善隔振系統(tǒng)的性能,因此成為了隔振技術(shù)的研究熱點.陸澤琦和陳立群[2]綜述了近年來非線性隔振理論和應(yīng)用的研究進(jìn)展,以及高靜態(tài)低動態(tài)剛度隔振及其非線性阻尼加強形式和雙層非線性隔振.高雪等[3]以分段雙線性分段光滑隔振系統(tǒng)為理論模型,系統(tǒng)研究了摒除不利于隔振的非線性動力學(xué)現(xiàn)象設(shè)計方法.Ding等[4]利用解析法和數(shù)值法研究了具有彈性支承端的黏彈性梁的隔振.

由于準(zhǔn)零剛度非線性隔振系統(tǒng)具有寬頻帶隔振特性,因此受到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注[5-13].目前學(xué)者們主要研究準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的結(jié)構(gòu),單頻激勵下的力和位移傳遞特性及幅頻響應(yīng)特性,隔振性能的提高以及其在不同領(lǐng)域中的推廣應(yīng)用.在準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)設(shè)計方面,徐道臨等[14]設(shè)計了一種具有高靜態(tài)剛度、低動態(tài)剛度的非線性低頻隔振器,并利用諧波平衡法分析了系統(tǒng)的動力學(xué)特性,推導(dǎo)了系統(tǒng)的力傳遞率.Wang等[15]提出了一種相當(dāng)緊湊的準(zhǔn)零剛度隔振器,由一對相互排斥的磁環(huán)和一個節(jié)省空間的波形彈簧并聯(lián)而成.Gao 和Teng[16]針對重型機械低頻干擾振動的隔離問題,提出了一種以波紋管結(jié)構(gòu)為彈性元件,以加壓氣體和不可壓縮液體為工作介質(zhì)的高靜態(tài)低動態(tài)剛度油氣隔振器.Wang等[17]提出了一種具有雙準(zhǔn)零剛度機構(gòu)的新型非線性超低頻隔振器.在準(zhǔn)零剛度隔振性能的提高方面,Wen等[18]通過半主動控制策略對準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)進(jìn)行控制以擴大其有效位移范圍.Zhang等[19]通過附加慣容非線性能量阱克服準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)中較小的動態(tài)剛度可能導(dǎo)致的低頻振動.Liu等[20]通過引入可調(diào)諧非線性慣容來增強準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的隔振性能.Donmez等[21]通過在準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)中的垂直彈簧上串聯(lián)干摩擦阻尼,降低準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)在共振區(qū)域的傳遞率.在準(zhǔn)零剛度隔振的推廣應(yīng)用方面,Ding 和Chen[22]分析了準(zhǔn)零剛度隔振器對初始彎曲結(jié)構(gòu)多模態(tài)彎曲振動的隔振效果.趙含等[23]建立了基于準(zhǔn)零剛度隔振器的推進(jìn)軸系縱振動力學(xué)模型,應(yīng)用諧波平衡法求解出系統(tǒng)的力傳遞率.趙權(quán)等[24]研制了一種空間占比小的準(zhǔn)零剛度車載隔振系統(tǒng),采用平均法求解了系統(tǒng)在車體簡諧位移激勵下的動力學(xué)響應(yīng)以及位移傳遞率.

準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)引入的非線性剛度特性在單頻激勵下可能引起系統(tǒng)的次共振.例如,Liu 和Yu[25]利用半解析法和數(shù)值法研究了準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)周期1 響應(yīng)中存在的超諧共振.另外,由于干摩擦阻尼減振技術(shù)在工程中應(yīng)用廣泛[26-29],因此本文通過干摩擦阻尼器對準(zhǔn)零剛度非線性隔振系統(tǒng)的共振響應(yīng)進(jìn)行控制.首先利用平均法求解復(fù)合干摩擦阻尼器的準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)在簡諧激勵下的主共振近似解析解,然后再根據(jù)增量方程求解系統(tǒng)的1/3 次亞諧共振近似解析解.推導(dǎo)系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)方程,分析定常解的穩(wěn)定性,并獲得系統(tǒng)主共振和亞諧共振的力傳遞率.然后詳細(xì)分析準(zhǔn)零剛度和干摩擦阻尼的振動抑制以及隔力效果.

1 系統(tǒng)模型

復(fù)合干摩擦阻尼器的準(zhǔn)零剛度非線性隔振系統(tǒng)的物理模型示意圖如圖1 所示.圖1中m表示系統(tǒng)的質(zhì)量,c是隔振系統(tǒng)的等效線性黏性阻尼,k和k1分別表示隔振系統(tǒng)垂直彈簧的線性剛度和水平彈簧的線性剛度,fc為干摩擦阻尼器提供的庫倫摩擦力.Fcosωt表示外部激勵,其中F為激勵幅值,ω為激勵角頻率.Lh為質(zhì)量塊處于靜平衡位置時水平彈簧的長度,水平彈簧的原始長度為L0.

圖1 準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)模型Fig.1 Quasi-zero-stiffness vibration isolation system model

水平彈簧在垂直方向提供的彈性恢復(fù)力可以表示為

根據(jù)牛頓第二運動定律,建立準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)在外部激勵下的動力學(xué)運動方程

為了方便求解式(2),將式(1)寫成多項式形式.利用泰勒公式將式(1)在x=0 處展開,式(1)可以表示為

令Lh=0.7L0,根據(jù)式(4a)可以得水平彈簧在垂直方向彈性恢復(fù)力的值,根據(jù)式(4b)得到其三階近似值,如圖2 所示.從圖中可以看出,當(dāng)x≤0.2L0時三階近似可以很好的表示水平彈簧在垂直方向的恢復(fù)力.

圖2 水平彈簧在垂直方向的彈性恢復(fù)力位移曲線Fig.2 Restoring force-displacement curve of horizontal springs in vertical direction

2 主共振

首先利用平均法求解準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的主共振近似解析解,并分析主共振定常解的穩(wěn)定性.

2.1 主共振近似解析解

研究復(fù)合干摩擦的準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的主共振,并令

設(shè)式(7a)的周期解為

其中,φ=ωt+θ,振幅a和相位θ隨t緩慢變化.

根據(jù)平均法可以得到一個振動周期T=2π/ω 內(nèi)振幅和相位的平均值為

首先計算式(9)的第一部分,可以得到

計算式(9)的第二部分時,需要分為兩種情況:振幅a＞0 和a＜0 .當(dāng)振幅a＞0 時,可以得到

類似地,可以計算振幅a＜0 的情況.于是,式(9)的第二部分可以表示為

聯(lián)合式(10)和式(12),并替換含有小參數(shù)的變量,可以得到

2.2 定常解及其穩(wěn)定性

將系統(tǒng)主共振穩(wěn)態(tài)運動的定常解振幅和相位分別表示為和,令式(13)中的=0 和=0,可以得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)運動方程

根據(jù)式(14)可以得到復(fù)合干摩擦的準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)主共振的幅頻響應(yīng)方程和相頻響應(yīng)方程

從式(15a)中可以看出,準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)通過負(fù)線性剛度的形式改變系統(tǒng)的等效固有頻率使其為0.摩擦力以等效阻尼的形式影響系統(tǒng)的主共振幅頻響應(yīng),其值與激勵頻率以及振幅有關(guān).而且穩(wěn)態(tài)振幅越小,摩擦力的等效阻尼越大.

利用式(14)消去式(16)中的三角函數(shù),進(jìn)一步得到準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)主共振的特征方程為

將式(17)中的行列式展開,得到準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)主共振穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特征方程為

由于c/m+2fc/(πmω|)＞0,于是可以得到復(fù)合干摩擦的準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)主共振定常解漸近穩(wěn)定的條件為

3 亞諧共振

在準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)主共振近似解析解的基礎(chǔ)上得到系統(tǒng)的增量方程,利用平均法計算系統(tǒng)的1/3 次亞諧共振近似解析解,并分析亞諧共振定常解的穩(wěn)定性.

3.1 亞諧共振近似解析解

在主共振響應(yīng)的基礎(chǔ)上,研究復(fù)合干摩擦的準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的1/3 次亞諧共振.首先,計算增量方程.令

將其代入到式(5)中,并利用主共振近似解析解進(jìn)行化簡,消去其同次諧波項,可以得到

設(shè)式(21a)的周期解為

其中,ψ=ωt/3+? .

根據(jù)平均法可以得到一個公共振動周期T0=6π/ω內(nèi)振幅和相位的平均值為

計算式(23)的第一部分,可以得到

直接計算式(23)的第二部分比較困難,因此引入符號函數(shù)的一階泰勒公式[30]

其中,δ (y) 為關(guān)于變量y的狄拉克函數(shù).

根據(jù)式(25),P22可以近似為

將式(26) 中的狄拉克函數(shù)利用傅里葉級數(shù)展開,可以得到

其中,v0,vn和wn為傅里葉系數(shù).其周期為T1=π/ω .

計算傅里葉系數(shù),可以得到

于是,式(27)可以表示為

計算式(23)的第二部分,可以得到

聯(lián)合式(24)和式(30),并替換含有小參數(shù)的變量,可以得到

3.2 亞諧共振的定常解

根據(jù)式(32)可以得到準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)1/3 次亞諧共振的幅頻響應(yīng)方程和相頻響應(yīng)方程

從式(33a)中可以看出,摩擦力以等效阻尼的形式影響系統(tǒng)的亞諧共振幅頻響應(yīng)特性,其值與激勵頻率以及主共振的振幅有關(guān).

于是可以得到準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的1/3 次亞諧共振的近似解析解

其中,和由式(15)確定,和由式(33)確定.需要注意的是,由于在推導(dǎo)幅頻響應(yīng)方程的過程中進(jìn)行了平方處理,所以根據(jù)幅頻響應(yīng)方程計算的解析解數(shù)量會增多,因此需要將其代入穩(wěn)態(tài)運動方程進(jìn)行驗證.

3.3 定常解的存在條件及其穩(wěn)定性

首先分析準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)1/3 次亞諧共振定常解的存在條件.令z=,將準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)方程重新整理為

根據(jù)一元二次代數(shù)方程存在正實根的條件,可以得到1/3 次亞諧共振的存在條件為

顯然,式(36)中的第二個條件覆蓋了第一個條件.因此,準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)1/3 次亞諧共振定常解的存在條件可以重新整理為

當(dāng)k2=0 時,激勵頻率滿足式(37)準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)就會存在1/3 次亞諧共振.顯然,亞諧共振的存在條件與主共振的振幅以及摩擦力相關(guān).

利用式(32)消去式(38)中的三角函數(shù),進(jìn)一步得到系統(tǒng)亞諧共振的特征方程為

將行列式展開,得到系統(tǒng)1/3 次亞諧共振的特征方程為

由于S2＞0,于是可以得到準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)1/3 次亞諧共振定常解漸近穩(wěn)定的條件為

4 力傳遞率

根據(jù)圖1 所示的準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)模型,傳遞到基礎(chǔ)的合力G可以表示為

利用傳遞到基礎(chǔ)的力幅值和激勵幅值的比值表示力傳遞率.于是,可以得到準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的力傳遞率為

其中,‖‖ 表示對力取模.

根據(jù)主共振的近似解析解,可以得到準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)主共振的力傳遞率為

根據(jù)亞諧共振的近似解析解,可以得到準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)1/3 次亞諧共振的力傳遞率為

根據(jù)式(2),式(42)可以重新表示為

于是,可以得到準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)力傳遞率的另外一種表示形式

從式(47) 中可以直觀的看出當(dāng)外部激勵幅值F≠0且=0 時,力傳遞率 η=1 .

5 數(shù)值解驗證

根據(jù)文獻(xiàn)[19]選取一組準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的參數(shù):m=60 kg,c=200 N·s/m,k1=2179 kN/m,Lh/L0=0.7,k=2(L0/Lh-1)k1=1867.7 kN/m,L0=0.5 m,F=1 kN.根據(jù)式(2)利用龍格庫塔法分別繪制摩擦力fc=0 N和fc=50 N 時系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線,如圖3 所示.圖中的橫坐標(biāo)為激勵頻率與原線性系統(tǒng)固有頻率的比值,即 γ=ω/ω0.根據(jù)式(15) 和式(34),利用近似解析解繪制系統(tǒng)的主共振(primary resonance,PR) 和1/3 次亞諧共振(subharmonic resonance,SR)的幅頻響應(yīng)曲線,并根據(jù)穩(wěn)定性條件分別得到穩(wěn)定解和不穩(wěn)定解.從圖3 中可以看出,無論是否存在干摩擦力的作用,準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的主共振和亞諧共振的幅頻響應(yīng)的近似解析解和數(shù)值解都具有很好的一致性.準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的主共振響應(yīng)中存在明顯的幅值跳躍現(xiàn)象.準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的亞諧共振僅在一定激勵頻率范圍內(nèi)存在,而且出現(xiàn)在主共振區(qū)域.當(dāng)無摩擦阻尼器時,從數(shù)值解中還可以看出比較明顯的超諧共振以及其他低次亞諧共振.當(dāng)復(fù)合干摩擦阻尼器時,不但使得系統(tǒng)的1/3 次亞諧共振區(qū)域變小,并且消除了其他低次的亞諧共振.

圖3 幅頻響應(yīng)響應(yīng)曲線對比Fig.3 Comparison of amplitude-frequency response curves

圖3 幅頻響應(yīng)響應(yīng)曲線對比(續(xù))Fig.3 Comparison of amplitude-frequency response curves (continued)

根據(jù)式(2),利用數(shù)值解分別繪制摩擦力fc=0 N和fc=50 N 時準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)傳遞到基礎(chǔ)的力傳遞率曲線,如圖4 所示.根據(jù)式(44)和式(45),利用近似解析解繪制系統(tǒng)的主共振和1/3 次亞諧共振的力傳遞率曲線.從圖4 中可以看出,無論是否存在干摩擦力的作用,準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的主共振和亞諧共振的力傳遞率的近似解析解和數(shù)值解也都具有很好的一致性.通過復(fù)合干摩擦阻尼器,使得準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的亞諧共振力傳遞頻帶變小,但是也增大了系統(tǒng)在有效隔振頻帶內(nèi)的主共振力傳遞率.

圖4 力傳遞率對比Fig.4 Comparison of force transmissibility

6 振動控制效果分析

接下來利用近似解析解分析準(zhǔn)零剛度參數(shù)以及干摩擦阻尼對準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)幅頻響應(yīng)和力傳遞特性的影響.

6.1 準(zhǔn)零剛度參數(shù)的影響

當(dāng)干摩擦力fc=0 N 時,利用近似解析解分別繪制原線性系統(tǒng)(表示為L0=0 m),以及準(zhǔn)零剛度水平彈簧原長分別為L0=0.1 m,L0=0.5 m 以及L0=1 m 時,系統(tǒng)的主共振和亞諧共振幅頻響應(yīng)曲線及力傳遞率曲線,如圖5 所示.為了使對比效果更清晰,圖中僅顯示準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的穩(wěn)定解.從圖5(a)中可以看出,由于引入準(zhǔn)零剛度隔振器,使得系統(tǒng)的共振頻率向低頻處轉(zhuǎn)移,因此對于高頻激勵起到了很好的振幅抑制效果.隨著準(zhǔn)零剛度水平彈簧原長的增大,主共振峰值逐漸變大,主共振頻率逐漸減小,亞諧共振的區(qū)域也逐漸變小.從圖5(b)中可以看出,準(zhǔn)零剛度隔振器明顯降低了原系統(tǒng)的起始隔振頻率.準(zhǔn)零剛度水平彈簧原長越大,有效的起始隔振頻率越低,而且最大力傳遞率也越小.

圖5 不同準(zhǔn)零剛度參數(shù)的振動控制效果Fig.5 Effect of different quasi-zero-stiffness parameters

圖5 不同準(zhǔn)零剛度參數(shù)的振動控制效果(續(xù))Fig.5 Effect of different quasi-zero-stiffness parameters (continued)

6.2 干摩擦的影響

當(dāng)準(zhǔn)零剛度水平彈簧原長為L0=0.5 m 時,利用近似解析解分別繪制準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)在干摩擦力fc=0 N,fc=100 N 以及fc=500 N 時,系統(tǒng)的主共振和亞諧共振幅頻響應(yīng)曲線及力傳遞率曲線,如圖6所示,圖中同樣僅顯示系統(tǒng)的穩(wěn)定解.從圖6(a)中可以看出,隨著干摩擦力的增大,不但可以消除準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的亞諧共振,而且能夠有效降低主共振的幅值.從圖6(b)中可以看出,隨著摩擦力的增大,準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的起始隔振頻率逐漸減小.同時,干摩擦力會導(dǎo)致準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)在有效隔振頻率范圍內(nèi)的力傳遞率增大.特別是當(dāng)外部激勵無法克服干摩擦的作用時,系統(tǒng)的振幅為0,但是系統(tǒng)的力傳遞率為1,也就無法起到隔力的效果.

圖6 不同干摩擦力的振動控制效果Fig.6 Effect of different dry friction force

7 結(jié)論

本文利用增量平均法研究了復(fù)合干摩擦阻尼器的準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的1/3 次亞諧共振.通過幅頻響應(yīng)方程可以看出,干摩擦力以等效阻尼的形式影響系統(tǒng)的主共振和亞諧共振的幅頻響應(yīng).對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性進(jìn)行了判斷,并推導(dǎo)了準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)亞諧共振的存在條件.通過與數(shù)值解獲得的準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線進(jìn)行對比,驗證了主共振和亞諧共振近似解析解的準(zhǔn)確性.準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的亞諧共振被轉(zhuǎn)移到了低頻處的主共振區(qū)域,并且可以通過增大干摩擦力消除系統(tǒng)的亞諧共振.通過比較系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)和力傳遞率,可以發(fā)現(xiàn):準(zhǔn)零剛度水平彈簧原長越大,起始隔振頻率越低,但是在低頻處的主共振振幅越大;干摩擦力的引入,不但可以有效抑制準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的共振振幅,而且可以降低系統(tǒng)的起始隔振頻率,但是會導(dǎo)致系統(tǒng)在有效隔振頻帶內(nèi)力傳遞率的增大.因此,當(dāng)以準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的振幅抑制為目標(biāo)時,可以選用干摩擦阻尼器;當(dāng)以降低系統(tǒng)的力傳遞率為目標(biāo)時,不宜選用干摩擦阻尼器.