磁耦合式雙穩(wěn)態(tài)寬頻壓電俘能器的設計和俘能特性1)

張偉 劉 爽 毛佳佳,2) 黎紹佳 曹東興

* (北京工業(yè)大學材料與制造學部,機械結(jié)構非線性振動與強度北京市重點實驗室,北京 100124)

? (香港理工大學土木及環(huán)境工程學系,香港九龍 999077)

引言

隨著微機電系統(tǒng)、自供電無線傳感網(wǎng)絡、低功耗電子設備以及物聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展,振動能量俘獲技術近年來受到了廣泛關注,已經(jīng)成功應用在航空航天工程、機械工程、生物醫(yī)學工程以及眾多可持續(xù)能源工程等領域中[1-3].根據(jù)俘能器對振動能量的不同轉(zhuǎn)換機制,振動俘能器可以分為靜電式[4]、電磁式[5]、壓電式[6-7]、磁致伸縮式[8]、摩擦起電式[9-10]等.由于結(jié)構簡單、便于組裝,并且具有較高的能量轉(zhuǎn)換率,壓電式、磁電式以及壓電-磁電耦合的振動俘能器的動力學行為及其俘能特性已成為國內(nèi)外研究的熱點之一.

傳統(tǒng)的線性振動俘能器的工作效率過于依賴自身的共振頻率,微小的制備誤差便可能導致系統(tǒng)的輸出功率急劇下降[11];并且,傳統(tǒng)的振動俘能器工作頻帶過窄,無法與環(huán)境中隨機、寬頻的振動頻率匹配,導致不能實現(xiàn)預期的俘能效果[2].為了提高振動能量俘獲系統(tǒng)的效率和實用性,急需設計能夠與環(huán)境振動特征相匹配的振動能量俘獲結(jié)構[1],實現(xiàn)低頻寬帶的俘能效果.

非線性系統(tǒng)復雜的動力學行為[12-15]為拓寬振動俘能器的工作頻帶,提高振動俘能器的效率提供了新思路,越來越多的學者將具有非線性剛度[16-18]特征的結(jié)構引入振動俘能器中,形成具有非線性單穩(wěn)態(tài)和雙穩(wěn)態(tài)特性的振動俘能器[5,19-21],使系統(tǒng)的共振頻率發(fā)生偏移,拓寬其工作帶寬.Ramlan等[22]和Liu 和Jing[23]分別在單穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中引入了非線性剛度彈簧和X 型支撐結(jié)構.Chen等[24]利用非線性磁力構造了存在內(nèi)共振的壓電梁俘能器結(jié)構,在更寬的頻帶范圍內(nèi)實現(xiàn)了更大幅度的振動響應.Zhu等[25]和Masana 和Daqaq等[26]利用結(jié)構的幾何非線性,結(jié)合壓電梁的屈曲設計了具有雙穩(wěn)態(tài)特性的壓電俘能器.Li等[27]通過引入非線性磁力研究了磁力雙穩(wěn)態(tài)壓電陶瓷懸臂梁的俘能特性和動力學行為.這些研究均表明,系統(tǒng)的雙穩(wěn)態(tài)非線性跳躍機制能夠顯著拓寬系統(tǒng)的頻響范圍,增大俘能器的有效頻帶寬度[28-29].

由于環(huán)境動載荷存在多方向性、多變性以及多樣性,設計與實際環(huán)境相匹配的高性能振動能量俘獲系統(tǒng)顯得尤為重要[30-31].目前較多的研究都集中在發(fā)展多方向振動能量俘獲動力學,包括兩個方向[32-33]、三個方向[34]、平面內(nèi)任意方向[35-36]以及空間中任意方向[37]的振動能量俘獲系統(tǒng).值得注意的是,這些結(jié)構一旦被設計出來,其工作頻率往往都是固定的,無法根據(jù)環(huán)境中的振動而發(fā)生相應的變化.本文通過引入可移動鉸支座和非線性磁力,實現(xiàn)一類具有可變頻率特征的磁耦合式雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器,實現(xiàn)了低頻寬帶的俘能效果.

本文首先在帶有活動鉸支座的簡支梁一側(cè)添加一對永久磁鐵,并將其簡化為歐拉-伯努力梁,利用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的非線性動力學方程,分析系統(tǒng)的可變頻性;然后利用諧波平衡法對動力學方程進行求解,并研究系統(tǒng)參數(shù)、磁間距、負載阻抗、外激勵頻率和幅值等對系統(tǒng)雙穩(wěn)態(tài)以及俘能特性的影響,從而保證系統(tǒng)的低頻寬帶俘能效果,并進行了實驗驗證.

1 結(jié)構模型和基本假設

如圖1 所示,帶固定永磁鐵α的壓電梁,總長度為L,建立(x,z)坐標系,梁一側(cè)x=0 為固定鉸支座約束,另一側(cè)為活動鉸支座約束,活動鉸支座能夠發(fā)生縱向位移L1∈(0,L],但無橫向位移.固定永磁鐵α與固定永磁鐵β之間的距離為D,兩磁鐵的長度分別為Lα和Lβ,寬度為Bα和Bβ,厚度為Hα和Hβ.梁基礎層厚度為H,在基礎層的上下兩側(cè)分別鋪設厚度為Hp的壓電陶瓷,形成壓電雙晶片的串聯(lián)構型.

圖1 磁耦合式雙穩(wěn)態(tài)寬頻壓電俘能器模型Fig.1 Model of piezoelectric energy harvester with magnetically coupled bistable wide-band

結(jié)構受到豎向簡諧加速度激勵(t) 作用,考慮基本假設:(1)壓電梁為歐拉-伯努力梁,只發(fā)生橫向振動;(2)壓電層和基礎層均為各向同性材料,且壓電層和基礎層之間為理想粘結(jié);(3)壓電層中瞬時感應電場的場強在其總長度上是均勻分布的;(4)不考慮永磁鐵的變形,但考慮其轉(zhuǎn)動慣量;(5)磁偶極子模型[38]適用.

2 理論模型的建立

2.1 分布參數(shù)多場耦合能量函數(shù)的描述

基于假設(1),壓電外伸梁的軸向應變S1

式中w(x,t) 為梁的橫向位移.

基礎層和壓電層的本構關系分別為

式中,vR1(t) 為負載阻抗R1兩 端的電壓,vR2(t) 為負載阻抗R2兩端的電壓.

系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù) ? (x,t) 為

式中,T,U,We和Um分別為系統(tǒng)的動能、內(nèi)勢能、電勢能和磁勢能

基于假設(5),系統(tǒng)的磁力勢能可表示為[38]

式中,下角標“b”,“p”和“ α ”分別表示基礎層、壓電層和永磁鐵 α ;ρ,A,M,m,J和I分別表示質(zhì)量密度、橫截面面積、質(zhì)量、磁化強度、轉(zhuǎn)動慣量和慣性矩;B為基礎梁的厚度;V為永磁鐵的體積;μ0為真空磁導率;Br為磁鐵的剩余磁通量密度[38].

2.2 壓電俘能器動力學方程的建立

壓電外伸梁的橫向位移w(x,t) 可以表示為

式中,Wi(x) 為第i階模態(tài)振型,qi(t) 為廣義模態(tài)坐標.為實現(xiàn)模態(tài)解耦,并保證振型惟一性,進一步將模態(tài)振型標準化,引入下述正交條件

一般來講,壓電俘能器的一階固有頻率在結(jié)構的位移響應中發(fā)揮主導作用[38],引入伽遼金一階截斷對位移函數(shù)w進行求解

由于C1,C2,···,C8必須滿足邊界條件,有

其中,ζ=(C1,C2,···,C8)T,A為系數(shù)矩陣.通過求解式(19)得到系統(tǒng)的一階固有頻率 ω1及其振型函數(shù)W1(x).

將式(15)代入式(11),并進行泰勒級數(shù)展開,有

將式(15)代入式(6)、式(8)、式(10),結(jié)合式(13)和式(19)計算拉格朗日函數(shù)式(5),代入拉格朗日方程有

3 動力學方程的求解

3.1 諧波平衡分析

假設式(23)的穩(wěn)態(tài)解為

式中,a0(t) 表示系統(tǒng)的平衡位置.將式(25) 代入式(23),令方程兩邊的常數(shù)項、含有 s in(ωbt) 以及含有 c os(ωbt) 的系數(shù)分別相等,忽略高次諧波項,得到

3.2 穩(wěn)定性分析

4 數(shù)值分析

基礎層、壓電層和磁鐵分別選用鈹青銅、壓電陶瓷PZT-5H 和釹鐵硼,表1 給出了具體的材料參數(shù)和幾何參數(shù)[20].

表1 系統(tǒng)的幾何參數(shù)和材料參數(shù)[20]Table 1 Geometric and material parameters of the system[20]

圖2 給出了系統(tǒng)的線性剛度s1和非線性剛度s2隨磁鐵間距D以及長度比變化的曲線.如圖所示,系統(tǒng)線性剛度s1對磁鐵間距D和外伸長度比ε=L1/(L-L1)的改變均非常敏感,即調(diào)節(jié)長度比和磁鐵間距能夠?qū)崿F(xiàn)結(jié)構的可變頻性,而系統(tǒng)非線性剛度s2只對磁鐵間距D的變化較為敏感.隨著磁鐵間距D的減小,即非線性磁力的增大,系統(tǒng)開始出現(xiàn)非線性剛度s2,線性剛度s1從正值變?yōu)樨撝?系統(tǒng)從單穩(wěn)態(tài)變?yōu)殡p穩(wěn)態(tài).并且,系統(tǒng)進入雙穩(wěn)態(tài)所需的磁鐵間距D隨著長度比 ε 的增大而減小.

圖2 磁鐵間距和長度比對系統(tǒng)剛度的影響Fig.2 Effects of magnet spacing and length ratio on stiffness

圖3 給出了磁鐵間距D=30 mm,35 mm,40 mm,100 mm)與系統(tǒng)雙穩(wěn)態(tài)特性之間的關系,其中彈性勢能UE=Ub+Ups、總勢能、Um為磁勢能.當總勢能Ut出現(xiàn)兩個勢阱和一個勢壘,系統(tǒng)存在兩個穩(wěn)定的平衡點和一個不穩(wěn)定的平衡點,即系統(tǒng)表現(xiàn)為雙穩(wěn)態(tài)特性.隨著D的增大,系統(tǒng)的磁勢能減小,兩勢阱間的深度降低,直至勢壘消失.隨著長度比 ε 的增大,兩勢阱間的深度也降低,系統(tǒng)的雙穩(wěn)態(tài)特性更容易實現(xiàn).

圖3 系統(tǒng)的勢能曲線Fig.3 Potential energy curves of the system

為了研究加速度激勵幅值Zb、激勵頻率f、長度比 ε 以及負載阻抗R1=R2=R等參數(shù)對系統(tǒng)俘能特性和動力學行為的影響,在后續(xù)的分析中磁鐵間距均取為D=35 mm,即系統(tǒng)在各長度比下的線性剛度均為負值,在外激勵的作用下,系統(tǒng)呈現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)特性,出現(xiàn)大幅阱間運動和小幅阱內(nèi)運動,進而增大系統(tǒng)的俘能效率.

當Zb=1 m/s2時,圖4 給出了加速度激勵頻率f和長度比 ε 對壓電俘能器的位移頻響曲線(a)和輸出功率(b)的影響.實線表示系統(tǒng)的穩(wěn)定響應,虛線表示不穩(wěn)定響應.在低頻段(0 Hz 附近),大幅阱間運動引起較大的輸出功率,尤其是長度比 ε 較小的系統(tǒng).在式(28)中注意到,系統(tǒng)的輸出功率不僅與系統(tǒng)振幅 η 有關,還與節(jié)點處轉(zhuǎn)角相關系數(shù) θ1和 θ2有關.由于 長度比 ε=0.6 的 轉(zhuǎn)角相關系數(shù)大于 ε=0.4 的轉(zhuǎn)角相關系數(shù),在低頻范圍內(nèi),長度比 ε=0.6 的系統(tǒng)具有較高的輸出頻率.同時,隨著外激勵頻率的增大,較大長度比(ε=0.8 和 ε=1.0)系統(tǒng)以阱內(nèi)運動為主,較小的長度比(ε=0.2,0.4,0.6)系統(tǒng)以阱間運動為主,因此,在較高頻率范圍內(nèi),ε=0.2,0.4,0.6 具有較高的輸出功率.

圖4 外激勵頻率和長度比對(a)振幅和(b)輸出功率的影響Fig.4 Effects of frequency and length ratio on (a) vibration amplitude and (b) output power

從以上的分析可知,系統(tǒng)總存在一個長度比使得系統(tǒng)輸出功率達到最大,實現(xiàn)壓電俘能器低頻寬帶的俘能特性.圖5 給出了系統(tǒng)的工作頻帶以及對應的輸出功率.針對不同的環(huán)境振動頻率,給出了較為合適的長度比,以及對應的輸出功率.圖中不同顏色表示不同的長度比,可以通過調(diào)節(jié)結(jié)構中可移動鉸支座的位置來實現(xiàn),從而保證在環(huán)境變化過程中,獲得最高的輸出功率.

圖5 工作帶寬及對應的輸出功率Fig.5 Working frequency band and corresponding output power

當ε=0.2和Zb=1 m/s2時,圖6給出了激勵頻率f和負載阻抗R對系統(tǒng)阱間運動6(a)和阱內(nèi)運動6(b)輸出功率P的影響.當 ε=0.2 和f=4 Hz 時,圖7給出了激勵幅值Zb和負載阻抗R對系統(tǒng)阱間運動7(a)和阱內(nèi)運動7(b)輸出功率P的影響.由圖可知,阱間運動的輸出功率明顯高于阱內(nèi)運動;不管是阱間運動還是阱內(nèi)運動,均存在最優(yōu)負載阻抗Ropt.并且,系統(tǒng)的最優(yōu)負載阻抗隨著激勵頻率的增大而減小,對激勵幅值的變化不敏感.

圖6 頻率和負載阻抗對輸出功率的影響Fig.6 Effects of frequency and load resistance on output power

圖7 激勵幅值和負載阻抗對輸出功率的影響Fig.7 Effects of amplitude and load resistance on output-power

圖8 分析了長度比 ε 對系統(tǒng)最優(yōu)負載阻抗Ropt的影響.如圖所示,隨著長度比的增大,阱間運動和阱內(nèi)運動對應的最優(yōu)阻抗均增大,并且阱間運動的最優(yōu)阻抗大于阱內(nèi)運動的最優(yōu)阻抗.

圖8 長度比對最優(yōu)負載阻抗的影響Fig.8 Effect of length ratio on optimal load resistance

為了進一步說明R1和R2對最優(yōu)負載阻抗的影響,以加速度激勵z¨b=cos(8πt) 為例,圖9 給出了系統(tǒng)阱間運動時,R1和R2對輸出功率的影響.當給定R2的阻值時,系統(tǒng)的輸出功率對橫坐標R1的變化非常敏感,即能夠得到一個最優(yōu)的負載阻抗R1opt;當給定R1的阻值時,橫坐標R2內(nèi)的變化對系統(tǒng)的俘能特性影響并不明顯,即R1對系統(tǒng)的最優(yōu)負載阻抗的貢獻較大.

圖9 不同外激勵下R1和R2 對最優(yōu)負載阻抗的影響Fig.9 Effects of R1 and R2 on optimal load resistance under different external excitation

5 實驗驗證

為了說明本文的正確性,利用圖10 所示的磁耦合式雙穩(wěn)態(tài)寬頻壓電俘能器實體模型和實驗設備對系統(tǒng)的振動特性和俘能效果進行了驗證.

圖10 實驗設備Fig.10 Experimental equipment

圖11(a) 對比了相同加速度激勵z¨b=cos(28πt)作用下,長度比ε=0.2和ε=0.4系統(tǒng)振動特性的理論和實驗結(jié)果.在不同外激勵頻率下,圖11(b)對比驗證了不同長度比下系統(tǒng)的輸出電壓和輸出功率.由圖可知,關于系統(tǒng)的振動特性,實驗與理論結(jié)果吻合較好,而系統(tǒng)的輸出電壓和輸出功率出現(xiàn)誤差,分別在10%和20%左右.輸出電壓的誤差主要來源于壓電材料在制備過程中,其壓電系數(shù)無法與理論值完全一致.并且導線和實驗儀器均存在內(nèi)阻,系統(tǒng)的輸出功率對電阻的變化較為敏感,導致系統(tǒng)輸出功率的誤差較大.因此,本文設計的磁耦合式寬頻壓電俘能器的正確性和有效性得到了驗證.

圖11 振動和俘能特性的實驗驗證Fig.11 Experimental verifications of vibration and energy capture characteristics

6 結(jié)論

本文提出了一種具有雙穩(wěn)態(tài)特性的磁耦合式寬頻壓電俘能器,通過建立其非線性動力學模型,分析并討論了不同參數(shù)對系統(tǒng)俘能特性的影響,并對結(jié)果進行了實驗驗證,主要結(jié)論如下:

(1)非線性磁力的引入使系統(tǒng)出現(xiàn)負剛度,呈現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)特性,實現(xiàn)超低頻環(huán)境下的俘能需求;

(2) 通過調(diào)節(jié)可移動鉸支座的位置,實現(xiàn)系統(tǒng)的可變頻性,匹配環(huán)境中隨機、寬頻的振動特性;

(3) 隨著長度比的增大,系統(tǒng)進入雙穩(wěn)態(tài)所需的磁鐵間距變小;

(4) 系統(tǒng)最優(yōu)阻抗對外激勵頻率和長度比的變化較為敏感,對外激勵幅值的變化不敏感.

附錄

式(26)可改寫為非線性自治系統(tǒng)的形式