海洋柔性立管防彎器結(jié)構(gòu)非線性剛度拓?fù)鋬?yōu)化1)

范志瑞 楊志勛 許 琦 蘇 琦 牛 斌 趙國忠

* (大連理工大學(xué)工程力學(xué)系,工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,大連 116024)

? (哈爾濱工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,哈爾濱 150001)

** (大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,大連 116024)

引言

海洋柔性立管是連接海上浮體及海底井口的關(guān)鍵裝備,被譽(yù)為海洋浮式生產(chǎn)系統(tǒng)的“血管”[1-2].如圖1 所示,在服役過程中,由于風(fēng)浪流及浮體運(yùn)動的作用,立管與浮體間的連接部位會因彎曲變形過大而造成結(jié)構(gòu)的失效破壞.因此,防彎器在防止立管的過彎失效,以及提高立管結(jié)構(gòu)安全性等方面具有重要的意義[3].

圖1 柔性立管與防彎器結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram about the flexible riser and bend stiffener

國內(nèi)外學(xué)者對防彎器結(jié)構(gòu)的分析方法做了大量研究,并提出了不同的結(jié)構(gòu)分析模型.如Deruntz[4]所建立的細(xì)長梁分析模型,Boet 和Out[5]提出的變截面梁理論模型,Tong等[6]提出的斜拉力懸臂梁模型,以及Drobyshevski[7]建立的異形梁模型等.上述研究中多采用梁模型對防彎器結(jié)構(gòu)開展性能分析,可有效降低防彎器結(jié)構(gòu)建模和分析的成本.然而,梁結(jié)構(gòu)的分析精度依賴于實(shí)際防彎器結(jié)構(gòu)的長細(xì)比,特別對于深水應(yīng)用的防彎器,當(dāng)長細(xì)比較小時(shí),采用梁結(jié)構(gòu)可能會造成較大的分析誤差.為了能夠更加準(zhǔn)確地獲得防彎器性能,本文研究中將采用能夠反映防彎器截面/整體真實(shí)構(gòu)型的平面/實(shí)體有限元模型.

結(jié)構(gòu)優(yōu)化是提高防彎器結(jié)構(gòu)性能的有效設(shè)計(jì)方法.Tanaka等[8]以柔性立管的最大曲率,以及防彎器尺寸、最大應(yīng)變和端部最大彎矩為約束,采用遺傳算法對防彎器進(jìn)行了輕量化設(shè)計(jì).Yang 和Wang[9]采用最優(yōu)拉丁超立方方法建立了考慮材料、幾何和載荷不確定性的柔性立管疲勞分析代理模型,通過優(yōu)化提高了防彎器結(jié)構(gòu)的疲勞可靠性.Tang等[10]以質(zhì)量和疲勞強(qiáng)度設(shè)置為目標(biāo),以柔性立管的最大曲率為約束,對防彎器的結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化.然而,上述基于尺寸優(yōu)化的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)所提供的設(shè)計(jì)自由度有限,難以充分發(fā)揮防彎器結(jié)構(gòu)的性能.拓?fù)鋬?yōu)化方法[11-14]能夠在給定的目標(biāo)函數(shù)和約束條件下,獲得設(shè)計(jì)域內(nèi)最優(yōu)的材料分布,發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的創(chuàng)新構(gòu)型,從而相比傳統(tǒng)的尺寸優(yōu)化在更大程度上提高結(jié)構(gòu)的性能.因此,本文研究中采用拓?fù)鋬?yōu)化方法對防彎器進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化.

實(shí)際的海洋工程中,防彎器由合成樹脂材料構(gòu)造而成,同時(shí)在位運(yùn)行中,由于惡劣的海洋環(huán)境載荷往往發(fā)生幾何大變形.因此在防彎器結(jié)構(gòu)分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)中需要考慮幾何和材料的非線性影響[10].與線彈性結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化不同,在結(jié)構(gòu)的非線性分析中,外載荷與位移響應(yīng)之間表現(xiàn)為非線性映射關(guān)系.這使得結(jié)構(gòu)剛度的描述既可以采用切線剛度陣,也可以采用割線剛度陣,且兩者所描述的結(jié)構(gòu)剛度性能往往具有較大差異,如圖2 所示.Wallin等[15]的研究表明以結(jié)構(gòu)割線剛度最大化和切線剛度最大化為目標(biāo)時(shí),優(yōu)化結(jié)果具有很大的不同.Kemmler等[16]對非線性剛度優(yōu)化中的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行了總結(jié),其包括割線剛度(end-compliance)[15,17]、切線剛度(endstiffness)[15]、應(yīng)變能[18]以及余能[19]等.實(shí)際工程中應(yīng)根據(jù)實(shí)際需要選取恰當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù).

圖2 切線剛度 Ktan 與割線剛度 Kcot 的定義,其中 F 和 u 分別為結(jié)構(gòu)的載荷和位移Fig.2 The definition of tangent stiffness Ktan and secant stiffness Kcot,where F and u are the force and displacement of a structure,respectively

綜上所述,本文在考慮材料和幾何非線性情況下,以結(jié)構(gòu)剛度最大化為目標(biāo),對柔性立管的防彎器結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化.并在此基礎(chǔ)上,對不同設(shè)計(jì)假設(shè)下所得優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對比,探尋不同載荷方向?qū)Ψ缽澠鞒休d能力的影響.

1 海洋柔性立管防彎器拓?fù)鋬?yōu)化問題描述

對圖1 中柔性立管及防彎器的工作過程進(jìn)行抽象,可得圖3 所示簡化的力學(xué)模型.其中,模型的上端固定,在立管下端部施加波浪載荷.本文研究中涉及2D 和3D 兩種防彎器設(shè)計(jì)方案,為了避免兩種方案中復(fù)雜的載荷轉(zhuǎn)換關(guān)系,采用了Dirichlet 邊界條件來模擬波浪載荷的作用,即在y-z平面內(nèi),立管端部施加位移ap,且ap與y軸之間的夾角記為 θ .

圖3 海洋柔性立管、防彎器力學(xué)模型及邊界條件Fig.3 The mechanical model and boundary conditions of ocean flexible riser and the bend stiffener

關(guān)于Dirichlet 邊界條件下的線彈性結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題,Niu等[20]采用了以結(jié)構(gòu)支反力Rp與節(jié)點(diǎn)位移ap之間的點(diǎn)積進(jìn)行定義的目標(biāo)函數(shù)c,即

然而,如前所述,當(dāng)結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)非線性特征時(shí),結(jié)構(gòu)剛度的描述比較復(fù)雜.以下將對上式的力學(xué)意義進(jìn)行進(jìn)一步分析.

圖4 給出了不同結(jié)構(gòu)剛度下支反力隨位移變化示意圖.由圖可知,當(dāng)位移加載結(jié)束時(shí),曲線2 的支反力大于曲線1,即Rp2＞Rp1.同時(shí),曲線2 所對應(yīng)的結(jié)構(gòu)割線剛度也大于曲線1 的對應(yīng)值,即 α2＞α1.因此,就割線剛度角度而言,曲線2 所對應(yīng)的結(jié)構(gòu)剛度大于曲線1.與此同時(shí),由于位移ap已經(jīng)給定,式(1)所示目標(biāo)函數(shù)的值與具體的加載過程無關(guān),而僅與加載結(jié)束時(shí)的支反力水平相關(guān).此時(shí),式(1)與結(jié)構(gòu)割線剛度所反映的結(jié)構(gòu)性能一致,即支反力越大,結(jié)構(gòu)的割線剛度越大.

圖4 式(1)所定義目標(biāo)函數(shù)的力學(xué)含義Fig.4 Nature of the objective defined by Eq.(1)

此外,在圖4 中,曲線2 始終位于曲線1 的上方,因此曲線2 與坐標(biāo)軸圍成的面積大于曲線1,即曲線2 所對應(yīng)的結(jié)構(gòu)應(yīng)變能大于曲線1.并且,在加載結(jié)束點(diǎn)處,曲線2 的切線斜率大于曲線1.但是,上述情況并不表示式(1)所示目標(biāo)函數(shù)可以反映結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能和切線剛度水平.這是因?yàn)閼?yīng)變能水平與整體的加載過程相關(guān),而切線剛度則與加載結(jié)束點(diǎn)附近的鄰域相關(guān).如圖5 和圖6 所示,曲線2 的割線剛度大于曲線1,但是前者的應(yīng)變能和切線剛度均小于后者.

圖5 應(yīng)變能與式(1)所定義目標(biāo)函數(shù)的不同F(xiàn)ig.5 The Difference between the strain energy and the objective defined by Eq.(1)

圖6 切線剛度與式(1)所定義目標(biāo)函數(shù)的不同F(xiàn)ig.6 The difference between the tangent stiffness and the objective defined by Eq.(1)

綜上分析,本研究中采用Dirichlet 邊界條件下割線剛度作為優(yōu)化目標(biāo),立管防彎器結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化列式可描述為

式中,z為所有設(shè)計(jì)域內(nèi)單元密度設(shè)計(jì)變量集合,a為節(jié)點(diǎn)位移場,R(a,z) 為不平衡載荷向量,n為結(jié)構(gòu)內(nèi)單元的總數(shù),g為材料用量體分比約束,ξ0為給定的材料用量體分比上限,ξ=V/V0為優(yōu)化后的材料體分比.其中,V0為結(jié)構(gòu)的總體積,V為優(yōu)化后材料所占的體積.

2 Dirichlet 邊界條件下結(jié)構(gòu)非線性分析

2.1 Dirichlet 邊界條件下的結(jié)構(gòu)非線性分析方法

彈性體的虛功平衡方程可表示為

式中,u為彈性體的位移場,E為Green-Lagrange 應(yīng)變張量,S為二階Piola-Kirchhoff 應(yīng)力張量,t為作用在彈性體外邊界的牽引力.

對式(3)進(jìn)行泰勒展開,并取一階截?cái)?可得

與此同時(shí),引入Galerkin 方法對上式進(jìn)行有限元離散化,即

式中,N為形函數(shù)矩陣,a為單元位移場u的節(jié)點(diǎn)值.

對式(4)右端第一項(xiàng)進(jìn)行推導(dǎo)可得非線性迭代的平衡條件

式中,Fint和Fext分別為內(nèi)外力載荷向量,其表達(dá)式如下

對式(4)右端第二項(xiàng)進(jìn)行推導(dǎo)可得切線剛度陣的表達(dá)式為

式中,D為本構(gòu)矩陣,R為結(jié)構(gòu)應(yīng)力相關(guān)矩陣,B和H均為單元的應(yīng)變-位移矩陣.關(guān)于非線性分析的具體理論詳見文獻(xiàn)[21].

在本文研究中采用Dirichlet 邊界條件來模擬海洋波浪載荷的作用.如圖7 所示,結(jié)構(gòu)的邊界 ?Ω 上施加位移條件的邊界包含兩種,即固定邊界 ?Ωz和非零位移邊界 ?Ωp,并且 ?Ωu=?Ωz∪?Ωp,?Ωz∩?Ωp=? .除Dirichlet 邊界外的其它自由邊界記作 ?Ωf,即?Ωf=?Ω-?Ωu.為了后續(xù)推導(dǎo)方便,在此約定下標(biāo)“ u ”,“ f ”,“ z ”和“ p ”分別表示與邊界 ?Ωu,?Ωf,?Ωz和?Ωp相關(guān)的物理量.

圖7 Dirichlet 邊界條件結(jié)構(gòu)分析示意圖Fig.7 Illustration of Dirichlet boundary conditions

Dirichlet 邊界條件作用下的Newton-Raphson 迭代過程中,邊界上無任何外載荷作用,即

嚴(yán)格意義上而言,Newton-Raphson 迭代過程中內(nèi)外力的平衡條件R=0 是指所有位于邊界 ?Ωf上的節(jié)點(diǎn)所對應(yīng)的不平衡載荷向量Rf取值為0,即

而對于施加位移約束的邊界 ?Ωu,內(nèi)外力的差值則不為0.該差值即為結(jié)構(gòu)的支反力

結(jié)合式(10),Dirichlet 邊界下的支反力可進(jìn)一步表示為

此時(shí),上述支反力又可進(jìn)一步分解為位于邊界?Ωz上的Rz和邊界 ?Ωp上的Rp.相應(yīng)地,不平衡載荷向量R可分解為以下3 部分

對R(a+da) 進(jìn)行泰勒展開,并取一階截?cái)嗫傻?/p>

式中,?R(a)/?a為結(jié)構(gòu)的切線剛度陣K.且根據(jù)式(14),其可進(jìn)一步寫為如下分塊矩陣格式

2.2 Neo-Hookean 材料分析

研究采用Neo-Hookean 超彈性材料來模擬防彎器和立管的材料非線性行為,其應(yīng)變能密度函數(shù)表達(dá)式為

式中,J=det(F),F為應(yīng)變梯度張量,C=FTF為右Cauchy 應(yīng)變張量,K為體模量,G為剪切模量.

根據(jù)二階Piola-Kirchhoff 應(yīng)力張量S和剛度張量D的定義可得兩者的表達(dá)式分別為

3 數(shù)值處理方法及靈敏度分析

3.1 對稱算子

在實(shí)際運(yùn)行中,防彎器結(jié)構(gòu)往往受到往復(fù)性波浪載荷的作用.為了保證防彎器具有較好的承載能力,通常要求防彎器為對稱結(jié)構(gòu).為了保證優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)的對稱性,研究中引入了對稱算子M,此時(shí)初始設(shè)計(jì)變量z與變換后的設(shè)計(jì)變量之間滿足如下關(guān)系

以下引入3 自由度系統(tǒng)來簡要闡述對陣矩陣的構(gòu)造方法.初始的設(shè)計(jì)變量所構(gòu)成的向量z為

同時(shí)要求設(shè)計(jì)變量具有如下對稱關(guān)系

則對稱矩陣可以定義為如下兩種方式

在式(26)中,對稱算子的構(gòu)造涉及所有設(shè)計(jì)變量,并且M=MT.在式(27)中,由于z3變量取值總與z1相等,因此在構(gòu)造對稱算子M時(shí),可略去z3.相應(yīng)地,此時(shí)對稱算子M為非對稱矩陣.需注意的是,在實(shí)際優(yōu)化中,M通常為稀疏矩陣.并且,對稱矩陣更容易實(shí)施轉(zhuǎn)置等運(yùn)算.因此,研究中采用了式(26)所定義的對稱算子.

3.2 過濾及懲罰策略

在拓?fù)鋬?yōu)化過程中,常會遇到棋盤格、網(wǎng)格依賴以及灰度單元等數(shù)值不穩(wěn)定問題.對于棋盤格和網(wǎng)格依賴性問題,拓?fù)鋬?yōu)化中常采用的方法包括靈敏度過濾[22-23]和密度過濾[24]等.密度過濾可有效克服優(yōu)化過程中的棋盤格現(xiàn)象.在本文研究中,為了提高結(jié)構(gòu)分析和優(yōu)化的效率,基于MPI (massage passing interface)進(jìn)程通信協(xié)議及PETSc庫[25-26]建立了并行分析和優(yōu)化框架.然而,在并行計(jì)算過程中,單元信息及設(shè)計(jì)變量會在不同的進(jìn)程中存儲.當(dāng)采用傳統(tǒng)的密度過濾時(shí),需要頻繁的進(jìn)程通信來獲取臨近的單元信息,從而造成大量的進(jìn)程通信成本.

為了克服傳統(tǒng)密度過濾方法在并行計(jì)算中的不足,本研究采用了基于Helmholtz-PDE 方程的過濾方法[27],以下簡稱PDE 過濾.PDE 過濾的控制方程可寫為如下格式

式中,為過濾前所有單元密度構(gòu)成的向量,ρ 為過濾后所有節(jié)點(diǎn)密度構(gòu)成的向量.Kf和Tf的定義如下

式中,Nf為形函數(shù),Kd為過濾半徑相關(guān)的正定矩陣,d為過濾的維度,ri為維度i的過濾半徑;vi為過濾的方向矢量.當(dāng)各個(gè)方向的過濾半徑相同,且vi為單位向量時(shí),各向異性的過濾則退化為各向同性過濾.過濾后單元內(nèi)各高斯積分點(diǎn)處的單元密度可通過下式求得

研究中,采用SIMP 方法對單元的材料屬性進(jìn)行插值.在傳統(tǒng)線彈性拓?fù)鋬?yōu)化中,SIMP 方法的插值格式通常表述為對材料彈性模量或者單元?jiǎng)偠染仃嚨牟逯?在非線性優(yōu)化問題中則略有區(qū)別,通常將其表述為對應(yīng)變能密度函數(shù)的插值,即

為了改善優(yōu)化過程中的灰度單元現(xiàn)象.在此,引入了Heaviside 懲罰策略[28-30],并且Heaviside 函數(shù)表達(dá)式為

圖8 Heaviside 函數(shù)的性質(zhì)Fig.8 The characteristic of Heaviside function

綜合上述PDE 過濾、SIMP 插值以及Heaviside 懲罰,最終單元應(yīng)變能密度的插值格式為

3.3 靈敏度分析

采用伴隨法對優(yōu)化靈敏度進(jìn)行推導(dǎo),則引入伴隨向量 λ 后的目標(biāo)函數(shù)可寫為

同時(shí),聯(lián)合式(16)可知,伴隨向量 λ 可通過下式求得

此時(shí),目標(biāo)函數(shù)對單元密度設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)可寫為

考慮PDE 過濾時(shí),上式可進(jìn)一步整理為

為了靈敏度分析的求解,對上式中的物理量進(jìn)行如下變換

此時(shí),式(39)可進(jìn)一步整理為

根據(jù)式(7)中內(nèi)力Fint的表達(dá)式,可得

式中,?=Bκ .

進(jìn)一步地,考慮優(yōu)化中的SIMP 插值以及Heaviside 懲罰,上式可進(jìn)一步寫為如下離散格式

聯(lián)合式(44)、式(50)和式(53)即可求得目標(biāo)函數(shù)對設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù).進(jìn)一步地,根據(jù)式(23)可得目標(biāo)函數(shù)對z的導(dǎo)數(shù)為

4 數(shù)值算例

采用上述所建立非線性分析和優(yōu)化理論對防彎器結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化.算例中,所有參數(shù)均采用無量綱化處理.防彎器的彈性模量E1=210,柔性立管的彈性模量為E2=2100,兩種材料的泊松比均為μ=0.3 .在Newton-Raphson 迭代中,采用均勻的載荷增量步.為了保證迭代的穩(wěn)定性,所有算例均經(jīng)過預(yù)先試算來確定恰當(dāng)載荷增量步數(shù)目.一般而言,載荷增量步數(shù)目的設(shè)置要保證每個(gè)增量步只需要3 至4 次迭代即可收斂.迭代收斂的條件為不平衡載荷向量的2-范數(shù)小于10-6,即 ‖R‖≤10-6.

為了保證優(yōu)化過程的穩(wěn)定性,采用了連續(xù)化懲罰策略.在優(yōu)化前期,采用較小的懲罰指數(shù),以降低優(yōu)化過程陷入局部最優(yōu)的概率.后期則采用較大的懲罰指數(shù),以使得優(yōu)化結(jié)果逐漸趨于0/1 化.具體的懲罰策略如下:(1) 初始的SIMP 懲罰指數(shù)p和Heaviside 懲罰指數(shù) β 均設(shè)置為1.0;(2) 在后續(xù)優(yōu)化迭代中,SIMP 懲罰指數(shù)每5 步迭代增加0.05;(3) 當(dāng)SIMP 懲罰指數(shù)達(dá)到3.0 后,其保持不變;Heaviside懲罰指數(shù)將會每5 步增加0.5,直至其達(dá)到12.0.

4.1 算例1 防彎器2D 拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

本算例假設(shè)防彎器在位運(yùn)行中會受到沿各個(gè)方向的波浪載荷的作用(各方向概率相等),因此要求防彎器為旋轉(zhuǎn)對稱結(jié)構(gòu).此時(shí),防彎器的設(shè)計(jì)問題可退化為如圖9 所示的2D 平面問題.防彎器的尺寸為R1=1800,R2=300,L1=2400,L2=900 .其左端固定,右端截面上施加方向豎直向上、大小為ap=200的指定位移.為了保證防彎器與柔性立管的配合,在防彎器與立管的接觸區(qū)域設(shè)置厚度為30 的不可設(shè)計(jì)域.

圖9 算例1 中懸臂梁結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)域及邊界條件Fig.9 Geometry of the admissible domain and boundary conditions about the cantilever beam considered in example 1

有限元計(jì)算中,該結(jié)構(gòu)被離散為20 400 個(gè)4 節(jié)點(diǎn)平面單元,MPI 進(jìn)程數(shù)為10.在結(jié)構(gòu)優(yōu)化中,約束材料用量體分比上限 ξ0=0.5,PDE 過濾半徑為30.此外,采用式(23)和式(26)構(gòu)建了對稱算子M,以保證優(yōu)化結(jié)果的對稱性.

優(yōu)化后防彎器的拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型如圖10 所示.對圖10 所示構(gòu)型進(jìn)行旋轉(zhuǎn)操作,即可得3D 的防彎器構(gòu)型,如圖11 所示.由圖9 可知,施加指定位移場ap后,防彎器的變形主要以彎曲為主,同時(shí)伴隨面內(nèi)的剪切.因此,在優(yōu)化后的結(jié)果中,材料主要分布在防彎器的外側(cè),用于提高截面的慣性矩,進(jìn)而增強(qiáng)結(jié)構(gòu)的彎曲剛度.同時(shí),在防彎器的內(nèi)部與立管相連接的區(qū)域出現(xiàn)了交叉的斜撐結(jié)構(gòu),其主要用于抵抗防彎器內(nèi)部出現(xiàn)的剪切變形.

圖10 算例1 中防彎器2D 拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Fig.10 The 2D optimized result of bend stiffener in example 1

圖11 算例1 中旋轉(zhuǎn)操作后所得防彎器優(yōu)化結(jié)果剖面圖Fig.11 Sectional view about the optimized results of bend stiffener in example 1 obtained by using rotation operation

4.2 算例2 防彎器3D 拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

考慮到由于波浪、海流等環(huán)境載荷在特定海域、特定浮式平臺處的方向性,使得作用在防彎器上的載荷往往也呈現(xiàn)特定的方向性.此時(shí),最優(yōu)的立管防彎器不再具有軸對稱特征,必須按照3D 結(jié)構(gòu)開展非線性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì).在本算例的結(jié)構(gòu)分析和優(yōu)化中,仍然采用如圖9 所示幾何尺寸.由于波浪載荷的往復(fù)性,此時(shí)要求優(yōu)化后的結(jié)果具有x-z平面的對稱性,如圖12 所示.與算例1 相同,結(jié)構(gòu)左端固定,右端立管截面施加沿y軸豎直向上的指定位移場ap,大小為200.由于載荷、邊界條件及結(jié)構(gòu)變形也具有x-y平面的對稱性,僅選取防彎器和立管中z≥0 的部分進(jìn)行有限元分析和優(yōu)化.

圖12 算例2 中所采用的結(jié)構(gòu)有限元模型Fig.12 The FEM model used in example 2

有限元計(jì)算中,結(jié)構(gòu)整體被離散為494 080 個(gè)8 節(jié)點(diǎn)實(shí)體單元,此例求解時(shí)設(shè)置MPI 進(jìn)程數(shù)為50.需注意的是,對圖10 所示2D 優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行旋轉(zhuǎn)操作形成3D 結(jié)構(gòu)時(shí),由于各平面單元在旋轉(zhuǎn)路徑上掃略所產(chǎn)生的體積不同,會使得圖11 所示3D 結(jié)構(gòu)的材料用量體分比與圖10 有所不同.本算例中,優(yōu)化所采用的材料用量體分比約束的上限與圖11 所示3D 構(gòu)型的實(shí)測體分比保持一致.此外,PDE 過濾半徑設(shè)為30.同時(shí),與算例1 類似,為了保證防彎器與立管的配合,圖12中的區(qū)域(含柔性立管區(qū)域)設(shè)定為不可設(shè)計(jì)域.

考慮載荷方向的防彎器優(yōu)化結(jié)果如圖13 和圖14 所示.其中,圖14 中所示構(gòu)型為圖13 所得防彎器構(gòu)型經(jīng)x-y平面對稱操作后得到.由圖14 可知,優(yōu)化后的防彎器呈現(xiàn)出明顯的“H”型構(gòu)型.與算例1 不同,該構(gòu)型主要用于抵抗沿y軸方向的載荷.其中,位于上下兩側(cè)的翼板主要用于提高結(jié)構(gòu)的彎曲剛度;而中間的腹板則用于抵抗彎曲變形過程所產(chǎn)生的剪切變形.

圖13 算例2 中防彎器3D 拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Fig.13 The 3D optimized result of bend stiffener in example 2

圖14 算例2 中對稱操作后所得優(yōu)化結(jié)果Fig.14 The optimized results obtained by symmetry operation in example 2

以下將對圖11 和圖14 所示優(yōu)化結(jié)果在不同波浪載荷方向下的承載能力進(jìn)行對比.如第3 節(jié)所述,當(dāng)ap的大小一定時(shí),位移施加端的支反力越大,則對應(yīng)結(jié)構(gòu)的剛度也越大.因此,選用支反力指標(biāo)對兩種設(shè)計(jì)方案進(jìn)行對比.在對比分析中,立管右端y-z平面內(nèi)所施加位移ap的幅值固定為200.提取立管右端面所有節(jié)點(diǎn)的支反力,并且以所提取支反力的合力大小為指標(biāo),對結(jié)構(gòu)的承載能力進(jìn)行量化.不同θ取值情況下,兩種設(shè)計(jì)方法的支反力對比如圖15 所示.

由圖15 可知,由于圖11 所示優(yōu)化結(jié)果為旋轉(zhuǎn)對稱結(jié)構(gòu)(各方向載荷概率相等),因此其對各個(gè)方向的波浪載荷具有相同的承載能力.而對于圖14 所示優(yōu)化結(jié)果,在不同波浪載荷方向下的承載能力則呈現(xiàn)出明顯的不同.具體而言,如圖15 所示在相當(dāng)大的角度范圍內(nèi)(除 θ 位于 [ 80,100] 和 [ 260,280]),3D拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的承載能力則顯著優(yōu)于2D 的優(yōu)化設(shè)計(jì);而當(dāng)載荷方向位于剛度薄弱區(qū)域,即θ ∈[80,100]∪[260,280]范圍時(shí),其承載能力弱于圖11 所示優(yōu)化結(jié)果.此時(shí),對防彎器的安裝提出了更嚴(yán)格的要求,即在安裝過程中,需要對海域波浪載荷方向進(jìn)行預(yù)先勘測,避免波浪載荷方向應(yīng)避開防彎器的剛度薄弱區(qū)域.

圖15 不同載荷方向(θ)下,算例1 和算例2 優(yōu)化結(jié)果的剛度對比Fig.15 Stiffness comparison between the optimized results of example 1 and 2 with different loading directions (θ)

5 結(jié)論

本文建立了Dirichlet 邊界條件下考慮材料和幾何非線性的防彎器結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型及框架.為了保證優(yōu)化結(jié)果的對稱性,研究引入了對稱算子,并給出了對稱算子的具體構(gòu)建方法.采用伴隨法進(jìn)行了靈敏度分析,并且引入了并行計(jì)算方法,提高了結(jié)構(gòu)分析和優(yōu)化的效率.數(shù)值算例部分,給出了基于2D 和3D 拓?fù)鋬?yōu)化的防彎器創(chuàng)新設(shè)計(jì)方案.通過對此兩種方案的承載能力進(jìn)行了對比,主要得到以下結(jié)論:

(1) 當(dāng)不考慮特定的波浪載荷方向時(shí),可采用旋轉(zhuǎn)對稱假設(shè)的防彎器結(jié)構(gòu)創(chuàng)新設(shè)計(jì),其能夠保證在任意載荷方向下,防彎器均具有較好的承載能力.

(2) 當(dāng)海域內(nèi)的波浪載荷具有特定的方向時(shí),可采用平面對稱假設(shè)的防彎器設(shè)計(jì)方案.需注意的是,安裝過程中載荷方向應(yīng)避開防彎器的剛度薄弱區(qū)域.