移動(dòng)載荷作用下浮冰的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)1)

孟洋涵 王展 ,**,2)

* (中國(guó)科學(xué)院力學(xué)研究所流固耦合實(shí)驗(yàn)室,北京 100190)

? (中國(guó)科學(xué)院大學(xué)工程科學(xué)學(xué)院,北京 100049)

** (中國(guó)科學(xué)院大學(xué)未來(lái)技術(shù)學(xué)院,北京 100049)

引言

作為經(jīng)典水波理論的擴(kuò)展,水彈性波考慮了自由面的彈性效應(yīng),可用于描述彈性薄板與流體之間的相互作用.對(duì)水彈性波的研究起源于對(duì)高緯度地區(qū)大型冰蓋的利用,這些冰蓋常被作為季節(jié)性的交通通道供車(chē)輛行駛及小型飛機(jī)起飛降落.當(dāng)車(chē)輛或小型飛機(jī)在冰蓋上行駛時(shí),移動(dòng)的壓力源會(huì)激發(fā)一系列在冰層和流體界面處傳播的波,稱(chēng)之為水彈性波,其涉及的回復(fù)力包括重力和冰層變形對(duì)流體施加的彈性.與重力毛細(xì)波不同,水彈性波的波長(zhǎng)可達(dá)到數(shù)十米甚至上百米,因此在實(shí)驗(yàn)中更易觀測(cè).Takizawa[1]和Squire等[2]分別在Lake Saroma 和McMurdo Sound 對(duì)移動(dòng)載荷作用下的冰層響應(yīng)進(jìn)行了測(cè)量,得到了不同運(yùn)動(dòng)速度下的冰層撓度及應(yīng)變.

為了更好地理解運(yùn)動(dòng)載荷下的冰層響應(yīng)問(wèn)題,許多研究者從理論上對(duì)水彈性波進(jìn)行了細(xì)致的研究,但早期的研究多基于線(xiàn)性理論.Kheisin[3]在研究點(diǎn)載荷及線(xiàn)載荷作用下的冰層位移時(shí)發(fā)現(xiàn)線(xiàn)載荷存在兩個(gè)臨界速度,在臨界速度下冰層撓度趨于無(wú)窮.Nevel[4]擴(kuò)展了Kheisin 的分析方法以處理分布在圓形區(qū)域上的均勻載荷,發(fā)現(xiàn)點(diǎn)載荷也存在對(duì)應(yīng)的臨界速度.進(jìn)一步的分析表明這個(gè)臨界速度就是自由水彈性波的最小相速度[5].接著文獻(xiàn)[6]運(yùn)用漸近傅里葉展開(kāi)研究了勻速運(yùn)動(dòng)載荷激發(fā)的遠(yuǎn)場(chǎng)穩(wěn)定波形,發(fā)現(xiàn)臨界速度恰巧為水彈性波的群速度,由此給出了臨界速度處冰層響應(yīng)趨于無(wú)窮的物理解釋.與此同時(shí),他們還在不同的系統(tǒng)參數(shù)下得到了各類(lèi)復(fù)雜的波形包括焦散和零波響應(yīng)區(qū).Babaei等[7]以及van der Sanden 和Short[8]利用衛(wèi)星觀測(cè)了車(chē)輛在冰面上行駛時(shí)所激發(fā)的波形,觀測(cè)結(jié)果驗(yàn)證了文獻(xiàn)[6]對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)波形的理論預(yù)測(cè).Schulkes等[9]在文獻(xiàn)[6]工作的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步考慮了冰層壓應(yīng)力,均勻流以及流體分層對(duì)冰層響應(yīng)的影響.對(duì)于臨界速度處所出現(xiàn)的奇性,Kheisin[10]意識(shí)到可以從瞬態(tài)冰層動(dòng)力學(xué)響應(yīng)入手,分析結(jié)果表明,當(dāng)線(xiàn)載荷以最小相速度cmin運(yùn)動(dòng)時(shí)水彈性波振幅與t1/2成正比,t為時(shí)間參數(shù).Schulkes 和Sneyd[11]則在研究勻速線(xiàn)載荷作用下的時(shí)間依賴(lài)響應(yīng)時(shí)得到了第二個(gè)臨界速度(g為重力加速度,H為水深),當(dāng)載荷以此速度運(yùn)動(dòng)時(shí)水彈性波振幅與t1/3成正比.然而Nugroho等[12]的研究結(jié)果卻發(fā)現(xiàn)在三維情況下,當(dāng)載荷運(yùn)動(dòng)速度為時(shí)仍然可以得到穩(wěn)態(tài)有界波形,并不會(huì)出現(xiàn)水彈性波振幅無(wú)限增長(zhǎng)的情況,因此并不能稱(chēng)之為臨界速度.Miles 和Sneyd[13]探究了加速載荷作用下的冰層響應(yīng),研究結(jié)果顯示將載荷從靜止逐漸加速到兩個(gè)臨界速度可以避免冰層響應(yīng)在臨界速度處的奇異.

在對(duì)冰層動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的實(shí)驗(yàn)研究中,Wilson[14]最早發(fā)現(xiàn)了觀測(cè)點(diǎn)處冰層最大垂直位移對(duì)應(yīng)的時(shí)刻與載荷經(jīng)過(guò)觀測(cè)點(diǎn)的時(shí)刻之間的差異.隨后Beltaos[15],Takizawa[1]以及Squire等[2]在他們的實(shí)驗(yàn)中證實(shí)了這種滯后效應(yīng)的存在.同時(shí)Takizawa[1]在控制方程中引入耗散項(xiàng)對(duì)實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的滯后效應(yīng)進(jìn)行了解釋,但其所考慮的僅是穩(wěn)態(tài)冰層響應(yīng)而無(wú)法得到冰層響應(yīng)的時(shí)歷曲線(xiàn).Hosking等[16],Wang等[17]利用記憶函數(shù)在線(xiàn)性理論中引入黏彈性得到了臨界速度V=cmin處的有界冰層響應(yīng)以及滯后行為.

黏性項(xiàng)的引入能夠合理地解釋實(shí)驗(yàn)中所出現(xiàn)的滯后效應(yīng),但利用線(xiàn)性理論對(duì)臨界速度附近的大振幅冰層動(dòng)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行探究仍然存在較大的局限,因此非線(xiàn)性對(duì)于描述移動(dòng)載荷作用下的冰層效應(yīng)同樣重要.P?r?u 和Dias[18]在考慮線(xiàn)性理論中的兩個(gè)共振(奇點(diǎn))情況時(shí)首次引入非線(xiàn)性效應(yīng)并得到了臨界速度附近的有界冰層位移.Dinvay等[19]考慮非線(xiàn)性、黏性以及慣性效應(yīng),利用Dirichilet-Neumman 算子建立了能夠描述各類(lèi)運(yùn)動(dòng)載荷下冰層響應(yīng)的完全色散弱非線(xiàn)性模型并通過(guò)數(shù)值計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果之間的對(duì)比驗(yàn)證了模型的有效性.但是需要指出的是由于非線(xiàn)性項(xiàng)僅保留至二階,該模型對(duì)應(yīng)的非線(xiàn)性薛定諤方程是不準(zhǔn)確的.在利用二階模型計(jì)算臨界速度附近的冰層動(dòng)力學(xué)響應(yīng)時(shí)所得到的數(shù)值結(jié)果可能會(huì)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在較大差異.除此之外,他們所關(guān)注的實(shí)驗(yàn)均為水深較小的情況,而未對(duì)Squire等[2]在深水中的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行討論.因此仍需要發(fā)展更為準(zhǔn)確的非線(xiàn)性黏彈性理論來(lái)描述不同水深情況下臨界速度cmin附近的冰層大幅度撓曲.

通過(guò)對(duì)相關(guān)的擬微分算子進(jìn)行展開(kāi)并將非線(xiàn)性項(xiàng)保留到三階,本文將完全非線(xiàn)性二維問(wèn)題轉(zhuǎn)化為僅與自由面上變量相關(guān)的一維系統(tǒng),即三階截?cái)嗄Ｐ?為驗(yàn)證三階截?cái)嗄Ｐ偷臏?zhǔn)確性及其相對(duì)于二階模型[19]的優(yōu)勢(shì),本文從理論和數(shù)值上對(duì)波包型孤立波解進(jìn)行了探究.理論上不考慮黏性和外加載荷的作用,采用多重尺度方法推導(dǎo)三階非線(xiàn)性Schr?dinger 方程,基于此方程預(yù)測(cè)不同水深下孤立波解的存在性以及三階截?cái)嗄Ｐ偷臏?zhǔn)確性.數(shù)值上仍然暫不考慮黏性和外加載荷,計(jì)算完全歐拉方程、三階截?cái)嗄Ｐ鸵约岸A截?cái)嗄Ｐ驮趦蓚€(gè)典型水深下的孤立波解及分岔曲線(xiàn).數(shù)值結(jié)果表明,三階截?cái)嗄Ｐ湍軌蜉^好地與歐拉方程吻合,其精度遠(yuǎn)高于二階截?cái)嗄Ｐ?最后將黏性和外加載荷考慮在內(nèi),基于發(fā)展的三階截?cái)嗄Ｐ蛯?duì)兩個(gè)工況中移動(dòng)載荷作用下的浮冰動(dòng)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值模擬并將數(shù)值結(jié)果與實(shí)驗(yàn)記錄進(jìn)行對(duì)比.

1 數(shù)學(xué)模型及數(shù)值方法

考慮密度為 ρ,水深為h的不可壓縮、無(wú)黏流體,其頂部自由面覆蓋密度為 ρi,厚度為d的無(wú)限大冰層,可通過(guò)彈性形變對(duì)流體施加回復(fù)力.假設(shè)冰層在受到移動(dòng)載荷作用前沒(méi)有受到壓縮或拉伸.流體底部為剛性邊界,不可穿透.建立二維笛卡爾坐標(biāo)系,使x軸與未發(fā)生形變時(shí)的冰層重合,y軸垂直向上,與重力加速度g的方向相反,冰層位移為 η (x,t) .流體運(yùn)動(dòng)無(wú)旋,因此引入速度勢(shì)函數(shù) ?,其滿(mǎn)足Laplace方程

自由面上的運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)條件為

其中,P為冰層彈性變形引起的回復(fù)力,p(x,t) 表示施加的外力載荷.采用Toland[20]提出的水彈性模型,同時(shí)考慮冰層的慣性及黏性,于是自由面上的法向應(yīng)力平衡方程為

其中Pa為大氣壓,恒為常數(shù),為冰層的彈性剛度,κ 為冰層曲率,s為弧長(zhǎng)參數(shù),黏性參數(shù)b＞0.本文將冰層視為各向同性材料,一方面是由于各向異性材料所涉及的彈性參數(shù)過(guò)于復(fù)雜,在建立數(shù)學(xué)模型描述法向應(yīng)力突變時(shí)會(huì)存在較大的困難;另一方面,Takizawa[1]在實(shí)驗(yàn)中測(cè)量了冰層在橫向和縱向上的彈性模量,兩者之間差異不大.Squire等[2]也指出真實(shí)彈性模量與冰層響應(yīng)并不直接相關(guān),更為重要的是實(shí)驗(yàn)中的有效彈性模量,因此本文采用了簡(jiǎn)化的各向同性假設(shè)[6,19,21,22]并使用了實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到的有效彈性模量.此外底部邊界處滿(mǎn)足不可穿透條件 ?y=0,y=-h.

1.1 三階截?cái)嗄Ｐ?/h3>

為了計(jì)算載荷作用下的冰層響應(yīng)并將數(shù)值結(jié)果與已有的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,引入Dirichilet-Neumman (DtN)算子對(duì)原始?xì)W拉方程進(jìn)行近似處理.利用該算子可避免求解自由邊界上的Laplace 方程,將自由面處的邊界條件轉(zhuǎn)化為以正則變量表達(dá)的形式,消去邊界條件對(duì)y坐標(biāo)的依賴(lài),將原始的二維問(wèn)題轉(zhuǎn)換為一維系統(tǒng).同時(shí)可對(duì)慣性項(xiàng)所引入的二階時(shí)間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)進(jìn)行處理,便于進(jìn)行后續(xù)的時(shí)間依賴(lài)計(jì)算.令自由面處的速度勢(shì)函數(shù) ξ (x,t)=?(x,η(x,t),t),定義DtN 算子

Craig 和Sulem[23]已經(jīng)證明當(dāng) η 的范數(shù)小于一個(gè)確定的值,G (η) 是解析的并且可以展開(kāi)為級(jí)數(shù)形式

其前三項(xiàng)可寫(xiě)為

其中 D=(-?xx)1/2.深水情況下 G0=D,其他兩項(xiàng)形式不變.由此,慣性項(xiàng) ηtt可用DtN 算子表示

這里保留至關(guān)于 ξ 的三階項(xiàng).將用DtN 算子表示的各項(xiàng)代入自由面的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)條件,可得

算子F 定義為

將1 +αG0記為K.對(duì)算子F 取逆算子可得

則動(dòng)力學(xué)邊界條件可進(jìn)一步寫(xiě)為

這里將式(5)和式(7)稱(chēng)為三階截?cái)嗄Ｐ?

1.2 數(shù)值方法

本文將通過(guò)擬譜法在周期域上對(duì)三階截?cái)嗄Ｐ瓦M(jìn)行數(shù)值求解,所有的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)均在傅里葉空間中計(jì)算,而非線(xiàn)性項(xiàng)則在物理空間中進(jìn)行計(jì)算.首先對(duì)方程式(5)和式(7)進(jìn)行傅里葉變換

由于 ξ 和 η 均為實(shí)數(shù),關(guān)于p,q的兩方程實(shí)際上是等價(jià)的,因此對(duì)三階截?cái)嗄Ｐ偷那蠼饪梢院?jiǎn)化為對(duì)下式的求解

在數(shù)值求解方程式(8) 后,可以進(jìn)一步得到ξ和η

2 模型驗(yàn)證及數(shù)值結(jié)果

2.1 孤立波解及模型驗(yàn)證

本節(jié)從自由波包型孤立波解入手,通過(guò)比較完全歐拉方程、三階截?cái)嗄Ｐ秃投A截?cái)嗄Ｐ偷墓铝⒉ń?驗(yàn)證三階截?cái)嗄Ｐ偷臏?zhǔn)確性,說(shuō)明三階截?cái)嗄Ｐ拖啾扔诙A截?cái)嗄Ｐ蚚19]更為合理.在弱非線(xiàn)性理論中,波包型孤立波存在的條件是:群速度與相速度在非色散點(diǎn)相等且在此波數(shù)下對(duì)應(yīng)波包方程為焦聚型.在不考慮慣性項(xiàng)的情況下,水彈性波所對(duì)應(yīng)的三階非線(xiàn)性薛定諤方程(NLS) 的性質(zhì)會(huì)在臨界水深hc=233發(fā)生變化[22].當(dāng)水深小于臨界深度時(shí),NLS是焦聚型,波包型孤立波從振幅無(wú)限小的周期波分岔而來(lái).而當(dāng)水深大于臨界深度時(shí),NLS 變?yōu)榻股⑿?此時(shí)只存在有限振幅的波包型孤立波解.為了更好地理解自由波包型孤立波解的存在性并對(duì)三階截?cái)嗄Ｐ偷臏?zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證,首先令三階截?cái)嗄Ｐ椭械酿ば韵禂?shù) β=0,在無(wú)外力作用下推導(dǎo)考慮冰層慣性的三階NLS 方程.對(duì)弱非線(xiàn)性水彈性波,假設(shè)η～O(ε),?～O(ε),這里 ε 是用來(lái)衡量波陡的小參數(shù).由此,自由面上的勢(shì)函數(shù)可在y=0 處展開(kāi)為

因此自由面上的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)條件在y=0 處展開(kāi)為

為了得到波包的控制方程,引入慢變量X=εx,T=εt和 τ=ε2t.設(shè)解的形式為

這里 θ=kx-ωt,c.c.代表復(fù)共軛,i 為虛數(shù)單位.將解式(9)和式(10)代入運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)邊界條件中,在O(ε) 階得到

從上式可知 φ11=?11/cosh(kh) .同時(shí)要使上述方程存在非零解需要滿(mǎn)足可解性條件

上式為水彈性波的色散關(guān)系式.

在O(ε2) 階,可以得到

其中

為水彈性波的群速度.在O(ε3) 階時(shí),由可解性條件經(jīng)過(guò)繁復(fù)的計(jì)算最終可以得到波包的控制方程,即三階非線(xiàn)性薛定諤方程

D0,D1和D2的具體表達(dá)式見(jiàn)附錄.為了后文討論方便,分別將色散項(xiàng)和非線(xiàn)性項(xiàng)的系數(shù)記作 λ,γ .令慣性項(xiàng)系數(shù)為0,得到的三階NLS 與Milewski 和Wang[25]所推導(dǎo)的方程退化到二維情形下的形式是一致的.考慮深水情況h→∞,則此時(shí)色散項(xiàng)和非線(xiàn)性項(xiàng)的系數(shù)變?yōu)?/p>

需要指出的是,二階截?cái)嗄Ｐ蚚19]保留了原始?xì)W拉方程的色散關(guān)系,對(duì)應(yīng)三階NLS 方程的色散項(xiàng)系數(shù)與本文所推導(dǎo)的是一致的,但其在對(duì)原始方程進(jìn)行近似時(shí)僅將非線(xiàn)性項(xiàng)保留至二階,因此對(duì)應(yīng)的NLS 中非線(xiàn)性項(xiàng)的系數(shù)是不準(zhǔn)確的.

為了驗(yàn)證三階截?cái)嗄Ｐ偷臏?zhǔn)確性,本文重點(diǎn)關(guān)注了水深h=6.8 m和h=250 m 時(shí)的NLS 方程性質(zhì)及孤立波解.在不考慮慣性項(xiàng)影響時(shí),水深h=6.8 m對(duì)應(yīng)焦聚型NLS,水深h=250 m 對(duì)應(yīng)焦散型NLS.現(xiàn)在在方程中加入慣性項(xiàng),在水深較小的情形下(h=6.8 m ＜hc)參考Takizawa[1]實(shí)驗(yàn)中冰層的物理參數(shù)取慣性系數(shù) α=0.069,考慮慣性后的NLS 仍然為焦聚型但非線(xiàn)性項(xiàng)的系數(shù)有所增大,孤立波由振幅無(wú)限小的周期波分岔而來(lái),理論上此時(shí)的三階截?cái)嗄Ｐ蜁?huì)具有較高的精度.進(jìn)一步地,數(shù)值計(jì)算波包型孤立波解以證明這一點(diǎn).對(duì)于完全歐拉方程,采用保形映射將原不規(guī)則物理域映射為規(guī)則的矩形區(qū)域再結(jié)合牛頓迭代求解(關(guān)于此算法的詳細(xì)介紹可見(jiàn)文獻(xiàn)[22]).將由數(shù)值計(jì)算得到的二階截?cái)嗄Ｐ秃腿A截?cái)嗄Ｐ偷姆植砬€(xiàn)與完全歐拉方程的分岔曲線(xiàn)進(jìn)行對(duì)比(圖1).在較大振幅范圍內(nèi),三階截?cái)嗄Ｐ退鶎?duì)應(yīng)的分岔曲線(xiàn)均與完全歐拉方程的分岔曲線(xiàn)吻合得很好,充分說(shuō)明了三階截?cái)嗄Ｐ驮谠撍钋闆r下具有較高的精度,是一個(gè)好的近似模型.而二階截?cái)嗄Ｐ偷姆植砬€(xiàn)在分岔點(diǎn)附近與完全歐拉方程的分岔曲線(xiàn)相比仍然具有較為明顯的差異,這表明二階截?cái)嗄Ｐ偷木容^差.同時(shí)對(duì)相同波速下二階截?cái)嗄Ｐ?、三階截?cái)嗄Ｐ鸵约巴耆珰W拉方程的孤立波解進(jìn)行比較后發(fā)現(xiàn),三階截?cái)嗄Ｐ偷慕馀c完全歐拉方程的解基本吻合,兩者之間的相對(duì)振幅差異約為10-2,而二階截?cái)嗄Ｐ偷慕鈩t與完全歐拉的解相差較大.

圖1 (a) 水深 h=6.8 m,慣性系數(shù) α=0.069 時(shí),孤立波解分岔圖.實(shí)線(xiàn):完全歐拉方程的分岔曲線(xiàn),短劃線(xiàn):三階截?cái)嗄Ｐ偷姆植砬€(xiàn),點(diǎn)線(xiàn):二階截?cái)嗄Ｐ偷姆植砬€(xiàn).(b) 波速 c=1.287 8 時(shí),歐拉方程、三階截?cái)嗄Ｐ秃投A截?cái)嗄Ｐ偷墓铝⒉ń?實(shí)線(xiàn):完全歐拉方程,短劃線(xiàn):三階截?cái)嗄Ｐ?點(diǎn)線(xiàn):二階截?cái)嗄Ｐ虵ig.1 (a) Bifurcation curves of wavepacket solitary waves for h=6.8 m and α=0.069 .Solid line:full Euler equations,dashed line:third-truncation model,dotted line:quadratic-truncation model.(b) The typical profiles for c=1.287 8 .Solid line:full Euler equations,dashed line:third-truncation model,dotted line:quadratic-truncation model

對(duì)水深較大的情況(h=250 m ＞hc),在參照Squire等[2]實(shí)驗(yàn)中的冰層參數(shù)后取慣性系數(shù)α=0.069.此時(shí)由于慣性項(xiàng)的影響,NLS 方程由焦散型變?yōu)榻咕坌?因此三階截?cái)嗄Ｐ驮谒钶^大的情況下仍然會(huì)具有較高的準(zhǔn)確性.同樣地,數(shù)值計(jì)算了該水深下二階截?cái)嗄Ｐ?、三階截?cái)嗄Ｐ图巴耆珰W拉方程的孤立波解及分岔曲線(xiàn)(圖2).從圖中可以看出,當(dāng)孤立波振幅較小時(shí)三階截?cái)嗄Ｐ团c完全歐拉方程的分岔曲線(xiàn)基本吻合,但在中等振幅時(shí)兩者會(huì)出現(xiàn)一定的差異,這與水深h=6.8 m 時(shí)的情況略有不同.產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因在于三階NLS 方程非線(xiàn)性項(xiàng)的系數(shù):當(dāng)h=250 m 時(shí),雖然由于慣性項(xiàng)的加入使得方程由焦散型變?yōu)榻咕坌?但此時(shí)的非線(xiàn)性項(xiàng)系數(shù)γ是一個(gè)非常接近于0 的正數(shù),焦聚的特點(diǎn)表現(xiàn)得不明顯,這導(dǎo)致三階截?cái)嗄Ｐ偷臏?zhǔn)確性相比于水深h=6.8 m時(shí)略有下降.但在此水深情況下,二階截?cái)嗄Ｐ团c完全歐拉方程之間的差距較水深h=6.8 m 時(shí)更大,完全無(wú)法反映出完全歐拉方程在對(duì)應(yīng)波速處的波高,其精度遠(yuǎn)小于三階截?cái)嗄Ｐ?因此在水深較大的情況下使用二階截?cái)嗄Ｐ褪遣缓线m的.圖2(b)進(jìn)一步展示了波速c=1.287 8 時(shí),二階截?cái)嗄Ｐ汀⑷A截?cái)嗄Ｐ秃屯耆珰W拉方程的孤立波解波形比對(duì)比.因此綜合兩種水深下三階截?cái)嗄Ｐ秃投A截?cái)嗄Ｐ团c歐拉方程之間的對(duì)比,三階截?cái)嗄Ｐ惋@然具有較高的準(zhǔn)確性,是一個(gè)更為合理的簡(jiǎn)化模型.

圖2 (a) 水深 h=250 m,慣性 α=0.069 時(shí),孤立波解分岔圖.實(shí)線(xiàn):完全歐拉方程的分岔曲線(xiàn),短劃線(xiàn):三階截?cái)嗄Ｐ偷姆植砬€(xiàn),點(diǎn)線(xiàn):二階截?cái)嗄Ｐ偷姆植砬€(xiàn).(b) 波速 c=1.287 8 時(shí),歐拉方程、三階截?cái)嗄Ｐ秃投A截?cái)嗄Ｐ偷墓铝⒉ń?實(shí)線(xiàn):完全歐拉方程,短劃線(xiàn):三階截?cái)嗄Ｐ?點(diǎn)線(xiàn):二階截?cái)嗄Ｐ虵ig.2 The bifurcation curves of wavepacket solitary waves for h=250 m and α=0.069 .Solid line:full Euler equations,dashed line:third-truncation model,dotted line:quadratic-truncation model.(b) The typical profiles for c=1.287 8 .Solid line:full Euler equations,dashed line:third-truncation model,dotted line:quadratic-truncation model

2.2 運(yùn)動(dòng)載荷下的冰層非線(xiàn)性響應(yīng)

基于三階截?cái)嗄Ｐ褪?5)和式(7),接下來(lái)將重點(diǎn)對(duì)勻速載荷作用下的冰層響應(yīng)進(jìn)行計(jì)算,并將數(shù)值結(jié)果分別與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比.實(shí)驗(yàn)中各物理參數(shù)的單位及具體取值如表1 所示.首先關(guān)注Takizawa[1]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.該實(shí)驗(yàn)是在日本北海道的L a k e Saroma 完成的,根據(jù)實(shí)驗(yàn)中所記錄的參數(shù)可確定慣性項(xiàng)系數(shù) α=0.069 2,而外加載荷p(x-Ut) 則通過(guò)數(shù)值擬合靜止載荷下的冰層撓度來(lái)確定.在實(shí)驗(yàn)中Takizawa 觀察并記錄了載荷經(jīng)過(guò)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的時(shí)間與監(jiān)測(cè)點(diǎn)處冰層最大垂直位移出現(xiàn)時(shí)間的差異,這種滯后效應(yīng)一般考慮是由于黏性效應(yīng)造成的.在實(shí)驗(yàn)中黏性的來(lái)源是多樣的,包括冰層本身的黏性,覆蓋在冰層上的積雪的影響以及冰層與流體界面處的邊界層效應(yīng)等.Hosking等[16]及Wang等[17]引入雙參數(shù)記憶函數(shù)建立黏彈性模型對(duì)運(yùn)動(dòng)載荷下的浮冰動(dòng)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行研究.基于V＜cmin時(shí)滯后時(shí)間基本保持不變的特點(diǎn),Hosking等[16]通過(guò)對(duì)多組數(shù)據(jù)進(jìn)行試驗(yàn)并與實(shí)驗(yàn)記錄進(jìn)行對(duì)比確定了最佳的記憶函數(shù)參數(shù)A0和a0.Dinvay等[19]假設(shè)阻尼與垂直速度成正比,利用耗散項(xiàng) -bηt擬合黏性效應(yīng),并將黏性系數(shù)視為待定參數(shù),在數(shù)值計(jì)算中通過(guò)反復(fù)試驗(yàn)優(yōu)化滯后時(shí)間來(lái)確定b.除此之外,這類(lèi)確定待定系數(shù)的方法也在毛細(xì)重力波問(wèn)題中得到了應(yīng)用.Cho等[26]等在考慮黏性耗散對(duì)穩(wěn)定及瞬時(shí)波形的影響時(shí)也將耗散項(xiàng)系數(shù)作為一個(gè)待定參數(shù)并通過(guò)將數(shù)值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行擬合對(duì)比來(lái)確定具體取值.本文采用較為簡(jiǎn)化的線(xiàn)性耗散模型 -βηt描述實(shí)驗(yàn)中的黏性效應(yīng),β 的確定與上述參數(shù)的確定方法類(lèi)似[16,19,26]:選取多組黏性系數(shù)并數(shù)值計(jì)算同一黏性系數(shù)下不同載荷速度對(duì)應(yīng)的波形和滯后時(shí)間,將數(shù)值結(jié)果與實(shí)驗(yàn)記錄對(duì)比直至兩者能夠較好吻合從而確定最佳黏性系數(shù) β .經(jīng)過(guò)反復(fù)實(shí)驗(yàn)確定黏性系數(shù) β=0.4,此時(shí)數(shù)值結(jié)果與Takizawa[1]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合得最好.

表1 淺水[1]及深水[2]實(shí)驗(yàn)中各物理參數(shù)的取值及單位Table 1 Values and units of the physical parameters in the shallow-water[1] and deep-water[2] experiments

圖3 展示了不同運(yùn)動(dòng)速度的載荷作用下的冰層動(dòng)力學(xué)響應(yīng),總體而言數(shù)值結(jié)果較為準(zhǔn)確反映了實(shí)驗(yàn)結(jié)果的主要特征.在準(zhǔn)靜態(tài)情形下,即U=2.2 m/s和U=4.2 m/s,數(shù)值結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合得非常好.當(dāng)載荷移動(dòng)速度增大至U=5.5 m/s,此時(shí)速度接近于最小相速度,載荷兩側(cè)開(kāi)始有波形成的趨勢(shì).載荷速度為 6 .2 m/s 時(shí),載荷前后出現(xiàn)明顯的波動(dòng),位于載荷前端的波長(zhǎng)較短而后側(cè)的波長(zhǎng)較長(zhǎng),三階截?cái)嗄Ｐ偷臄?shù)值計(jì)算結(jié)果較好地捕捉到了這兩類(lèi)波.這說(shuō)明三階截?cái)嗄Ｐ湍軌驕?zhǔn)確地反映出以最小相速度為分界點(diǎn),不同速度下冰層響應(yīng)的差異.進(jìn)一步增大載荷移動(dòng)速度至U=8.9 m/s,此時(shí)載荷速度大于淺水中的重力波速度,載荷后側(cè)的重力波消失,出現(xiàn)“聲影區(qū)”[6].圖3(c)～圖3(e)中的冰層最大撓度與實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本一致,但載荷兩側(cè)的波形與實(shí)驗(yàn)記錄存在一些差異.這可能是因?yàn)樵跀?shù)值計(jì)算中所采用的黏性項(xiàng)較為簡(jiǎn)單而實(shí)驗(yàn)中黏性來(lái)源相對(duì)復(fù)雜,隨著載荷運(yùn)動(dòng)速度的增大,-βηt與實(shí)際黏性項(xiàng)產(chǎn)生的效果有所差異.除此之外,本文在建模時(shí)假設(shè)冰層厚度均勻,但在實(shí)驗(yàn)中冰層厚度不均.這些因素都可能會(huì)對(duì)載荷作用下產(chǎn)生的水彈性波波形造成影響.除了對(duì)比不同載荷速度下的冰層垂直位移,實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的滯后效應(yīng)在數(shù)值模擬中也得到了關(guān)注.實(shí)驗(yàn)中Takizawa[1]記錄了不同速度下載荷經(jīng)過(guò)測(cè)量點(diǎn)的時(shí)刻及該時(shí)刻下載荷在y方向上的位置,在圖3 中以紅點(diǎn)表示.在數(shù)值計(jì)算中選取任意一點(diǎn)為觀測(cè)點(diǎn)后可得到該點(diǎn)處冰層垂直位移的時(shí)歷曲線(xiàn),同時(shí)記錄移動(dòng)載荷通過(guò)該點(diǎn)的時(shí)間及對(duì)應(yīng)的垂向位置并在圖3中以藍(lán)點(diǎn)表示,從圖中可以看出數(shù)值計(jì)算得到的滯后時(shí)間在各個(gè)速度下都與實(shí)驗(yàn)結(jié)果較為吻合.

圖3 三階截?cái)嗄Ｐ偷臄?shù)值結(jié)果與文獻(xiàn)[1]實(shí)驗(yàn)中所記錄的冰層形變對(duì)比.其中虛線(xiàn)代表Takizawa 的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,紅點(diǎn)代表實(shí)驗(yàn)中的運(yùn)動(dòng)載荷經(jīng)過(guò)冰層形變測(cè)量?jī)x的垂直位置.實(shí)線(xiàn)表示三階截?cái)嗄Ｐ褪?5)和式(7)的數(shù)值結(jié)果,藍(lán)點(diǎn)代表數(shù)值計(jì)算中載荷經(jīng)過(guò)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的垂向位置Fig.3 Comparisons of the numerical results of Eq.(3) the numerical results of cubic-truncation model and the experimental records of Ref.[1].The dashed lines represent the experimental data,and the red dots indicates the position of the load as it passed the deflectometer.The solid lines shows the numerical results of Eqs.(5) and (7),and the blue dots indicates the z-position of the load as it passes the point where the time series are obtained

在Squire等[2]的實(shí)驗(yàn)中,冰層厚度d=1.6 m,冰層彈性剛度D=1.8×109N·m,移動(dòng)載荷重量為2100 kg.與Takizawa[1]不同的是,Squire等[2]在實(shí)驗(yàn)中將多個(gè)應(yīng)變計(jì)安裝在載荷運(yùn)動(dòng)軌道兩側(cè),測(cè)量的是移動(dòng)載荷作用下的冰層應(yīng)變.因此需要對(duì)數(shù)值計(jì)算得到的冰層垂直位移 η 進(jìn)一步處理以得到冰層線(xiàn)應(yīng)變

其中,d為冰層厚度,κ*為無(wú)量綱前的冰層曲率[27].

考慮要與Squire 的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比,在基于三階截?cái)嗄Ｐ瓦M(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí),取 G0=(-?xx)1/2以對(duì)應(yīng)于深水情形.圖4 展示了三階截?cái)嗄Ｐ偷臄?shù)值計(jì)算結(jié)果與Squire等[2]實(shí)驗(yàn)結(jié)果之間的對(duì)比,載荷速度分別為 4 .5 m/s,1 7.5 m/s,1 8.4 m/s,2 0.8 m/s,前兩個(gè)載荷速度為亞臨界,后兩個(gè)速度為超臨界速度.在亞臨界速度下,數(shù)值結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合得比較好,不僅能夠擬合冰層應(yīng)變的幅值,而且能夠反映出隨著載荷速度的增大應(yīng)變曲線(xiàn)寬度逐漸變窄的趨勢(shì).當(dāng)載荷以較為接近最小相速度的速度 1 7.5 m/s 運(yùn)動(dòng)時(shí),載荷兩側(cè)逐漸升高并形成凹槽.在圖4(c)和圖4(d)中,數(shù)值預(yù)測(cè)的最大應(yīng)變值略大于實(shí)驗(yàn)結(jié)果,尤其是應(yīng)變曲線(xiàn)中載荷前端的波形.造成差異的原因除了以上在淺水實(shí)驗(yàn)中所提及的兩個(gè)因素外,也可能是由于本文所采用的是二維模型,但在實(shí)驗(yàn)中所測(cè)得的應(yīng)變是三維情形下冰層的應(yīng)變,從而導(dǎo)致兩者所得到的結(jié)果存在差別.但在超臨界速度下,數(shù)值計(jì)算仍然較為有效地捕捉到了載荷前后所形成的彈性波和重力波.在數(shù)值計(jì)算中同樣觀察到了最大應(yīng)變值點(diǎn)與載荷通過(guò)點(diǎn)之間的時(shí)間差異,但由于Squire等[2]只是指出了滯后效應(yīng)的存在,沒(méi)有明確記錄差異時(shí)間,因此無(wú)法對(duì)滯后的時(shí)間進(jìn)行對(duì)比.

圖4 三階截?cái)嗄Ｐ偷臄?shù)值結(jié)果與文獻(xiàn)[2]實(shí)驗(yàn)中所測(cè)量的冰層應(yīng)變對(duì)比,圖中應(yīng)變值量級(jí)為 1 0-6 .虛線(xiàn)代表Squire 的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,實(shí)線(xiàn)表示三階截?cái)嗄Ｐ褪?5)和式(7)的數(shù)值結(jié)果Fig.4 The comparison of microstrain between the numerical results of cubic-truncation model and numerical records of Ref.[2].The microstrain is of 1 0-6 .Dashed lines:experimental records,solid lines:numerical approximation of the cubic-truncation model Eqs.(5) and (7)

3 結(jié)論

本文主要考慮非線(xiàn)性,慣性及黏性效應(yīng)的影響,研究了移動(dòng)載荷作用下的浮冰動(dòng)力學(xué)響應(yīng).通過(guò)對(duì)Dirichilet-Neumman 算子進(jìn)行展開(kāi)將原始的完全非線(xiàn)性問(wèn)題簡(jiǎn)化為僅與自由面上的變量相關(guān)的三階截?cái)嗄Ｐ?接著重點(diǎn)關(guān)注了此二維水彈性問(wèn)題中的自由孤立波解以驗(yàn)證三階截?cái)嗄Ｐ偷臏?zhǔn)確性.在不考慮黏性和外力載荷下,由多重尺度方法推導(dǎo)了三階NLS 方程并基于此方程對(duì)波包型孤立波解的存在性和三階截?cái)嗄Ｐ偷臏?zhǔn)確性進(jìn)行了探究.慣性項(xiàng)的引入使得三階NLS 方程在淺水和深水中均表現(xiàn)為焦聚型,因此理論上三階截?cái)嗄Ｐ驮谌我馑钕露寄軌蜉^好地近似完全歐拉方程.另一方面,對(duì)二階截?cái)嗄Ｐ?、三階截?cái)嗄Ｐ秃屯耆珰W拉方程的分岔曲線(xiàn)和孤立波解進(jìn)行數(shù)值求解并對(duì)比.數(shù)值結(jié)果表明任意水深下三階截?cái)嗄Ｐ驮谝欢ㄕ穹秶鷥?nèi)都能夠與完全歐拉方程較好地吻合,是一個(gè)好的近似模型,而二階截?cái)嗄Ｐ蛣t在任意水深下都與完全歐拉方程存在較大的差異,精度較差.進(jìn)一步地,利用所得到的三階截?cái)嗄Ｐ蛯?duì)勻速運(yùn)動(dòng)載荷作用下的冰層響應(yīng)進(jìn)行了計(jì)算,并將數(shù)值結(jié)果與Takizawa[1](淺水情況)和Squire等[2](深水情況)實(shí)驗(yàn)分別進(jìn)行了對(duì)比,結(jié)果表明此三階截?cái)嗄Ｐ湍軌蜉^好地?cái)M合移動(dòng)載荷作用下冰層的垂直位移及應(yīng)變情況.

附錄

在推導(dǎo)考慮慣性項(xiàng)的三階非線(xiàn)性薛定諤方程中,將解式(9)和式(10)代入原始?xì)W拉方程中,得到各階方程.這里給出推導(dǎo)的大致思路以及最終得到的三階非線(xiàn)性薛定諤方程的系數(shù)表達(dá)式.首先解Laplace 方程,可以得到

這里n表示階數(shù),j表示模態(tài),Qnj表示更低階的項(xiàng).于是可以得到

這里Pnj和Rnj仍然表示低階項(xiàng).在O(ε) 階,由這兩個(gè)方程的可解性條件,可以得到色散關(guān)系式.

在O(ε2) 階,可以得到群速度cg

不難驗(yàn)證cg=ωk.同時(shí)也可以得到A22和 φ22的表達(dá)式

這里

在O(ε3) 階,同樣利用可解性條件,在復(fù)雜的計(jì)算之后,給出非線(xiàn)性薛定諤的系數(shù)表達(dá)式