一類具有路途感染的傳染病模型

李金仙，徐婷

（山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006）

0 引言

人類社會的發(fā)展遭遇了無數(shù)次的傳染病攻擊，如14世紀(jì)的黑死病奪走了2 500萬歐洲人的性命，17世紀(jì)在墨西哥首次出現(xiàn)的黃熱病流行于非洲和南美洲的熱帶和亞熱帶地區(qū)，而交通運(yùn)輸行業(yè)的迅猛發(fā)展讓傳染病的傳播更快的走向了全球化。2009年3月墨西哥發(fā)現(xiàn)了首例 H1N1型流感病例，到同年7月下旬這一流感就蔓延到了全球168個(gè)國家和地區(qū)；隨后，2015年襲擊巴西的Zika病毒很快席卷了南美、中美洲、加勒比和墨西哥的大部分地區(qū)。直至今日，新型冠狀病毒仍在全球肆虐，給人類生活和生產(chǎn)帶來了巨大的危害［1-2］。

交通運(yùn)輸對傳染病傳播的影響成為學(xué)術(shù)界的關(guān)注點(diǎn)［3-9］。Wang等［6］建立了多斑塊上 SIS模型，得到了斑塊間的人口遷移既可以加速傳染病傳播，也可以削弱其傳播的結(jié)論，但這個(gè)模型忽略了乘客在乘坐交通工具時(shí)染病的可能性；崔景安等［7］和Takeuchi等［8］都研究了兩個(gè)斑塊之間路途感染的傳染病模型，較好解釋了人口流動對于傳染病傳播的影響；陳曉平［9］研究了具有兩種旅行方式的路途感染的 SIS模型，得到了出行乘坐傳染系數(shù)較小的交通工具有利于疾病控制的結(jié)論。

以上研究雖然考慮到了人口遷移對于傳染病傳播的影響，但要么沒有考慮到路途感染對疾病傳播的影響，要么沒有考慮到潛伏者具有傳染力的情形，所以本文作為已有模型的補(bǔ)充，建立了潛伏者具有傳染性的，且具有路途感染的兩個(gè)斑塊之間的易感者-潛伏者-感染者-恢復(fù)者（SEIR）模型，分析了該模型的動力學(xué)行為，得到了其基本再生數(shù)，并分析了路途感染對傳染病傳播的影響。

1 具有兩斑塊的SEIR模型

本節(jié)我們將建立具有兩斑塊的SEIR模型，并利用下一代矩陣計(jì)算得到其基本再生數(shù)。

1.1 模型的建立

假設(shè) i斑塊在 t時(shí)刻的總?cè)丝跒?Ni，記 Si(t)，Ei(t)，Ii(t)和 Ri(t)分別為 i斑塊 t時(shí)刻的易感者、潛伏者、感染者和恢復(fù)者數(shù)量，則 Ni(t)=Si(t)+Ei(t)+Ii(t)+Ri(t)，i=1，2。由圖1所示的傳播倉室圖可得下述封閉模型

圖1 兩斑塊的SEIR模型傳播倉室圖Fig.1 Diffusion chamber diagram ofSEIRmodel for two patches

其中 a 為出生率，μ1，μ2，μ3，μ4分別為易感者，潛伏者，染病者和恢復(fù)者的死亡率；β1，β2分別表示一個(gè)易感者和染病者及潛伏者接觸并感染的概率；τ為潛伏者到染病者的轉(zhuǎn)移率；d為染病者的恢復(fù)率；α為兩斑塊間的擴(kuò)散系數(shù)；γ為采用某種交通工具遷移時(shí)，路途中易感者和潛伏者接觸并感染的概率。

值得一提的是，在上述模型中，我們認(rèn)為染病者由于癥狀已經(jīng)顯現(xiàn)，所以不會在兩斑塊間遷移。另外，我們假設(shè)，路途中未被傳染的易感者數(shù)量必為非負(fù)值，即

1.2 無病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

則平衡點(diǎn)E*處對應(yīng)的特征方程的所有根均具有負(fù)實(shí)部，因此 E*是局部漸近穩(wěn)定。由于系統(tǒng)(3)是一個(gè)合作的不可約系統(tǒng)，則

顯然，系統(tǒng)( 4 )的輔助線性系統(tǒng)有一個(gè)平衡點(diǎn)E0=(0，0，0，0，0，0)且輔助線性系統(tǒng)右邊的系數(shù)矩陣為 J=F0?V0，根據(jù)文獻(xiàn)［10］中定理 2證明過程，如果 R0<1，則 s(J)=s(F0?V0)<0，所以矩陣J的所有特征值具有負(fù)實(shí)部，因此系統(tǒng) (4)的輔助線性系統(tǒng)的每個(gè)解趨于零，由比較定理可得：Ei(t)→0，Ii(t)→0，Ri(t)→0，t→∞，所以，系統(tǒng) (1)的極限系統(tǒng)為(3)，再結(jié)合 E*是全局漸近穩(wěn)定的，知當(dāng) R0<1時(shí)，系統(tǒng) (1)的無病平衡點(diǎn) P0是全局漸近穩(wěn)定的。

1.3 地方病平衡點(diǎn)的存在性

為了保證地方病平衡點(diǎn)的存在性，我們首先討論系統(tǒng) (1)的耗散性和持續(xù)性，設(shè)系統(tǒng) (1)具有初始條件 x0=(S1(0)，E1(0)，I1(0)，R1(0)，S2(0)，E2(0)，I2(0)，R2(0))的解為 x(t，x0)，由系統(tǒng)的生物學(xué)意義，我們在 R8+上考慮問題。

2 結(jié)論

本文主要研究公共交通對傳染病傳播的影響，建立并分析了兩斑塊間路途感染的 SEIR模型，利用下一代矩陣的方法計(jì)算得出了該模型的基本再生數(shù)以及無病平衡點(diǎn)。研究結(jié)果表明，當(dāng)基本再生數(shù) R0<1時(shí)，模型的無病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的；當(dāng) β2+γα>μ2，β1>d+μ3時(shí)，地方病平衡點(diǎn)存在，且系統(tǒng)是一致持久的。遺憾的是，條件 β2+γα>μ2，β1>d+μ3與條件 R0>1之間存在間隙，有待進(jìn)一步填補(bǔ)。

我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)人們出行時(shí)所選取交通方式的感染率 γ越大，則基本再生數(shù) R0的值就會越大，即傳染病在該交通方式下就越容易傳播。所以當(dāng)我們通過采取人為的措施來控制城市或地區(qū)間的遷移率，限制人們的出行方式，讓人們出行時(shí)選用疾病感染率較低的交通工具，有助于減弱由于路途接觸感染所導(dǎo)致的傳染病傳播及地方性疾病的產(chǎn)生。