天體核反應(yīng)網(wǎng)絡(luò)方程計(jì)算程序PP-chain

利 國(guó)，張?zhí)K雅拉吐，黃美容，王德鑫，李 雪，牛丹丹，蒙古夫

（1.內(nèi)蒙古民族大學(xué) 核物理研究所，內(nèi)蒙古 通遼 028043；2.內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼 028043）

在人類歷史發(fā)展的進(jìn)程中，從未停止過對(duì)宇宙的探索。特別是隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展進(jìn)步，人類對(duì)宇宙的認(rèn)識(shí)得到了很大的發(fā)展。天文學(xué)和物理學(xué)結(jié)合形成的天體物理學(xué)，試圖揭示宇宙的奧秘。期間人們意識(shí)到了各學(xué)科協(xié)同工作的重要性，所以研究微觀世界的核物理與研究宏觀世界的天體物理自然融合形成了前沿交叉學(xué)科——核天體物理學(xué)［1］。核天體物理是應(yīng)用核物理的知識(shí)和規(guī)律來闡釋宇宙演化進(jìn)程中化學(xué)元素合成及演化過程，來說明恒星中核燃燒產(chǎn)生的能量及其對(duì)恒星結(jié)構(gòu)和演化的影響。

宇宙的起點(diǎn)是大爆炸，在大爆炸中產(chǎn)生了氫、氦以及少量的鋰元素，隨著溫度的逐漸降低，在萬有引力的影響下開始形成了主序星，如太陽等。主序星生命中絕大部分時(shí)間處于它們的青壯年時(shí)期，其內(nèi)部主要進(jìn)行的是氫燃燒。氫燃燒的產(chǎn)物是氦，隨著恒星內(nèi)核的氫消耗盡而后形成氦核，自此恒星進(jìn)入了它們的老年階段——紅巨星［2］。與太陽的質(zhì)量差不多的恒星，在經(jīng)歷一系列核過程后，最終演變成一顆黯淡而又矮小的白矮星。質(zhì)量比太陽大的恒星也會(huì)經(jīng)歷其他的核燃燒階段，形成從內(nèi)向外分層的結(jié)構(gòu)，最終以超新星爆發(fā)的形式結(jié)束恒星的一生。

核天體物理學(xué)主要研究元素的合成及天體演化。建立天體核合成的核反應(yīng)網(wǎng)絡(luò)方程，可以模擬天體演化過程中的核素豐度變化、能量的釋放、反應(yīng)路徑等。舒能川［3］、侯素清［4］曾建立并求解了新星爆炸、大爆炸中的核合成過程的核反應(yīng)網(wǎng)絡(luò)方程。筆者旨在建立主序星內(nèi)部進(jìn)行的氫燃燒低溫階段的質(zhì)子-質(zhì)子鏈?zhǔn)椒磻?yīng)（PP-chain）的核反應(yīng)網(wǎng)絡(luò)方程，并利用二階Rosonbrock法來求解該方程，最后得到核反應(yīng)網(wǎng)絡(luò)中涉及的核素的豐度隨時(shí)間變化的情況，并與核天體物理學(xué)界常用計(jì)算程序MESA的結(jié)果進(jìn)行比較。

1 質(zhì)子-質(zhì)子鏈?zhǔn)椒磻?yīng)（PP-chain）

到了主序星階段，恒星的氫燃燒過程就開始了。氫是宇宙中豐度最大的同位素。由4個(gè)氫聚變成1個(gè)氦的過程叫做氫燃燒。氫燃燒需要的最低溫度為7×106K。而且恒星的質(zhì)量至少達(dá)到0.08倍太陽質(zhì)量。氫在平穩(wěn)氫燃燒中轉(zhuǎn)化為氦的2種主要機(jī)制稱為質(zhì)子-質(zhì)子鏈和CNO循環(huán)。

質(zhì)子-質(zhì)子鏈由3個(gè)系列熱核反應(yīng)組成，每個(gè)系列的總體效果都是4個(gè)氫轉(zhuǎn)化為1個(gè)氦，并釋放26.7 MeV的能量。這些鏈之所以被稱為質(zhì)子-質(zhì)子鏈，是因?yàn)樗鼈兪怯?個(gè)質(zhì)子（或1H原子核）的聚變開始的。質(zhì)子-質(zhì)子鏈反應(yīng)有3條不同的途徑，見圖1。

圖1 質(zhì)子-質(zhì)子鏈反應(yīng)Fig.1 PP-chain reaction

這3條鏈都導(dǎo)致氫到氦的轉(zhuǎn)換。由于沒有2He的天然態(tài)，2個(gè)氫原子核之間的反應(yīng)必然涉及1個(gè)質(zhì)子轉(zhuǎn)變?yōu)?個(gè)中子，這個(gè)中子進(jìn)一步與質(zhì)子結(jié)合，得到D（氘原子核，或由1個(gè)質(zhì)子和1個(gè)中子組成的重H）。反應(yīng)產(chǎn)生的D會(huì)在大約2.5 s內(nèi)快速吸收質(zhì)子轉(zhuǎn)變成3He，導(dǎo)致太陽中D與H平衡時(shí)的豐度比例僅有D/H～3×10-18。然后是2個(gè)3He核之間的反應(yīng)，產(chǎn)生1個(gè)4He核和2個(gè)質(zhì)子。這種所謂的PPⅠ鏈基本上發(fā)生在（10～20）×106K的溫度和大約100 g·cm-3的密度下。這就是發(fā)生在太陽內(nèi)部的基本核過程。對(duì)于比太陽大的恒星，如果溫度高于2.0×107K，隨著4He的豐度增加，其本身可以作為催化劑，誘發(fā)所謂的PPⅡ和PPⅢ鏈。這2個(gè)PP鏈的首個(gè)反應(yīng)發(fā)生在3He和4He之間，生成7Be和1個(gè)質(zhì)子。接著，7Be有2種命運(yùn)，在能量相對(duì)較低時(shí)（（2～3）×107K），它俘獲1個(gè)電子生成7Li核。7Li同質(zhì)子反應(yīng)產(chǎn)生8Be，8Be特別不穩(wěn)定，會(huì)在10-16s內(nèi)衰變成2個(gè)4He。這條反應(yīng)鏈被叫做PPⅡ鏈。7Be也可以俘獲1個(gè)質(zhì)子生成8B。8B接著通過β衰變變成8Be，再變成2個(gè)4He，即PPⅢ鏈。

2 核反應(yīng)網(wǎng)絡(luò)方程

為了比較給定環(huán)境中元素或核素的數(shù)目，人們經(jīng)常使用元素豐度來度量核素的多少。元素豐度的計(jì)算公式為：

其中，Ai表示第i個(gè)核素的質(zhì)量數(shù)，Xi表示其占總質(zhì)量的分?jǐn)?shù)，即質(zhì)量分?jǐn)?shù)。由于元素的原子量差別較大，單從質(zhì)量分?jǐn)?shù)還不能直觀比較核素的數(shù)目。因此，人們喜歡使用豐度來研究恒星的元素演變過程。

核素豐度變化（包括產(chǎn)生和消耗）可以用如下微分方程來表示：

其中：Yx代表第x個(gè)核素的豐度；Cx是為避免重復(fù)計(jì)算而設(shè)定的系數(shù)，正值代表產(chǎn)生反應(yīng)，負(fù)值代表消滅反應(yīng)；Rx代表單位體積下核過程的速率（反應(yīng)率），ρ和NA分別代表密度和阿伏伽德羅常數(shù)。等號(hào)右邊的3項(xiàng)分別對(duì)應(yīng)于單體、兩體和三體反應(yīng)。

核反應(yīng)網(wǎng)絡(luò)方程中涉及到的反應(yīng)率取自JINA RECLIB數(shù)據(jù)庫，當(dāng)前版本的數(shù)據(jù)庫將反應(yīng)率作為溫度的函數(shù)，如式（3）所示。只要確定函數(shù)中的7個(gè)參數(shù)ɑ0～ɑ6，就確定了某個(gè)特定的反應(yīng)率，即反應(yīng)率進(jìn)行了參數(shù)化［5］。

表1 PP-chain核反應(yīng)網(wǎng)絡(luò)方程反應(yīng)率參數(shù)Tab.1 PP-chain nuclear reaction network equation reaction rate parameter

3 程序設(shè)計(jì)求解核反應(yīng)網(wǎng)絡(luò)方程

前面已經(jīng)寫出了質(zhì)子-質(zhì)子鏈核反應(yīng)網(wǎng)絡(luò)方程的表達(dá)式（4），該網(wǎng)絡(luò)方程是一個(gè)一階耦合的常微分方程組。其更具一般性的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

要求解微分方程，必須對(duì)初始值進(jìn)行賦值。所以最終求解核反應(yīng)網(wǎng)絡(luò)方程就變?yōu)橐粋€(gè)常微分方程初值問題。

在質(zhì)子-質(zhì)子鏈中，2個(gè)1H融合為1個(gè)2D，這是一個(gè)弱反應(yīng)，反應(yīng)截面非常小，此反應(yīng)過程相當(dāng)漫長(zhǎng)，有幾十億年。而生成的2D俘獲一個(gè)1H生成3He的反應(yīng)，在太陽內(nèi)部條件下反應(yīng)時(shí)間只有幾秒。可見二者相差約17個(gè)量級(jí)。而且各核素豐度數(shù)量級(jí)之間差別也很大。幾乎所有的核反應(yīng)都有類似的情況。所以核反應(yīng)網(wǎng)絡(luò)方程構(gòu)成了剛性微分方程［6］。對(duì)于剛性微分方程，這里利用二階Rosenbrock公式來求解。

對(duì)于求解常微分方程組，需給定初值［7］。質(zhì)子-質(zhì)子鏈核反應(yīng)網(wǎng)絡(luò)方程，初值即各核素的初始豐度。由于質(zhì)子-質(zhì)子鏈?zhǔn)呛阈茄莼谝徊降牡谝浑A段氫燃燒，所以初始豐度選取恒星剛剛形成時(shí)的元素構(gòu)成，大約75%的氫，25%的氦。換算成豐度表示見表2。

表2 PP-chain核反應(yīng)網(wǎng)絡(luò)方程初始核素豐度Tab.2 PP-chain nuclear reaction network equation initial nuclide abundance

核反應(yīng)網(wǎng)絡(luò)方程中的反應(yīng)率是溫度的函數(shù)，而且方程中還需知道反應(yīng)物質(zhì)的密度。筆者采取了質(zhì)子-質(zhì)子鏈氫燃燒的典型的溫度T9=0.015，ρ=160 g·cm-3。核反應(yīng)的時(shí)間設(shè)定為1×1022s，在這個(gè)時(shí)間內(nèi)能進(jìn)行完整的質(zhì)子-質(zhì)子鏈氫燃燒。

4 程序運(yùn)行結(jié)果

恒星天體物理實(shí)驗(yàn)?zāi)KMESA（Modules for Experiments in Stellar Astrophysics）是一套開源、穩(wěn)固、高效、線程安全的庫，適用于計(jì)算恒星天體物理的廣泛應(yīng)用。MESA有很多模塊構(gòu)成，不同模塊用于實(shí)現(xiàn)不同的模擬功能［8］。其中，net模塊可以用來求解核反應(yīng)網(wǎng)絡(luò)方程。在該模塊下，首先建立核反應(yīng)網(wǎng)絡(luò)方程文件（.net），該文件內(nèi)需寫入核反應(yīng)涉及到的核素和核反應(yīng)式。然后在列表文件（inlist_one_zone_burn）中設(shè)定溫度、密度、反應(yīng)時(shí)間以及需要輸出的數(shù)據(jù)。運(yùn)行程序后就可得到核素豐度隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)文件。筆者將以MESA程序的結(jié)果作為標(biāo)準(zhǔn)驗(yàn)證此次自主設(shè)計(jì)的程序的正確性。

本次設(shè)計(jì)的程序與MESA的運(yùn)行結(jié)果比較情況見圖2?？梢钥吹剑瑲淙紵_始時(shí)，只有75%的1H和25%的4He。隨著時(shí)間的推移，3He、7Li、7Be、8B豐度增加，過了1012s后各核素豐度達(dá)到了平衡階段，一直持續(xù)到1017s。之后除了4He外，其他核素豐度逐漸減少，即逐漸完成了從氫核合成變成氦的氫燃燒階段。同時(shí)也可以發(fā)現(xiàn)，自主設(shè)計(jì)的程序與MESA的運(yùn)行結(jié)果很好地符合，都很好地反應(yīng)了氫燃燒過程中化學(xué)元素含量的演化情況。從而證明自主設(shè)計(jì)程序的計(jì)算結(jié)果是可靠的。

圖2 PP-chain核素豐度隨時(shí)間的演化情況Fig.2 Evolution of PP-chain nuclide abundance with time

MESA的主要功能是模擬恒星演化，需要各模塊之間相互配合實(shí)現(xiàn)模擬功能。因此，MESA程序結(jié)構(gòu)復(fù)雜占用計(jì)算機(jī)內(nèi)存空間較大，而且必須在Linux和Mac操作系統(tǒng)下使用。而此次自主設(shè)計(jì)程序?qū)ｉT用來求解核反應(yīng)網(wǎng)絡(luò)方程，占用內(nèi)存小，程序結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，能根據(jù)需要方便地進(jìn)行修改。

5 結(jié)束語

根據(jù)恒星演化第一步氫燃燒階段發(fā)生的核反應(yīng)，建立了PP-chain核反應(yīng)網(wǎng)絡(luò)方程。由于核反應(yīng)網(wǎng)絡(luò)方程是剛性的，在給定了初始核素豐度、溫度、密度和演化時(shí)間的情況下，利用二階Rosenbrock公式進(jìn)行了求解。求解核反應(yīng)網(wǎng)絡(luò)方程后，得到了各核素豐度隨時(shí)間的演化情況。結(jié)果準(zhǔn)確地模擬了PP-chain氫燃燒的演化過程，并且與MESA的運(yùn)行結(jié)果一致。說明本文的核反應(yīng)網(wǎng)絡(luò)方程的建立和求解方法是準(zhǔn)確的?；诒竟ぷ鳎乱徊接?jì)劃建立和求解更大的核反應(yīng)網(wǎng)絡(luò)方程，從而對(duì)恒星及宇宙中其他演化過程進(jìn)行模擬。